《(江苏专用)高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(江苏专用)高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数yAsin(x)的图象及应用教师用书 理 苏教版1.yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0,0),xR振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x) (A0,0)的图象的步骤如下【知识拓展】1.由ysin x到ysin(x)(0,0)的变换:向左平移个单位长度而非个单位长度.2.函数yAsin(x)的对称轴由xk,kZ确定;对称中心由xk,kZ确定其横坐标.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打
2、“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的.()(2)将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度,得到函数ysin(x)的图象.()(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()(4)函数yAsin(x)的最小正周期为T.()(5)把ysin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为ysin x.()(6)若函数yAcos(x)的最小正周期为T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()1.(教材改编)y2sin(x)的振幅,频率和初相分别为_.答案2,解析由题意知A2,f,初相为.2.
3、(教材改编)将ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,便得到函数f(x)的图象,则f(x)_.答案sin x解析将函数ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,便得到函数f(x)2sin xsin x的图象.3.(2016全国甲卷改编)函数yAsin(x)的部分图象如图所示,则函数的表达式为_.答案y2sin解析由图可知,T2,所以2,由五点作图法可知2,所以,所以函数的解析式为y2sin.4.(2016南通模拟)已知函数f(x)Acos(x)的图象如图所示,f(),则f()_.答案解析由题图知,函数f(x)的周期T2(),所以f()f()f().
4、5.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中,画出三个函数f(x)sin(2x),g(x)sin(2x),h(x)cos(x)的部分图象(如图),则a,b,c对应的函数依次是_.答案h(x),f(x),g(x)解析由于函数f(x),g(x),h(x)的最大值分别是,1,1,因此结合图形可知,曲线b为f(x)的图象;又g(x),h(x)的最小正周期分别是、2,因此结合图形可知,曲线a,c分别是h(x),g(x)的图象.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: x02xAsin(x)0
5、550(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为,求的最小值.解(1)根据表中已知数据,解得A5,2,.数据补全如下表:x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin,得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k,0),kZ.令2x2k,解得x,kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称,所以令,解得,kZ.由0可知,当k1时,取得最小值.引申探究在本例(2)中,将f(x)图象上所有点向左平移个
6、单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)的解析式,并写出g(x)图象的对称中心.解由(1)知f(x)5sin(2x),因此g(x)5sin2(x)5sin(2x).因为ysin x的对称中心为(k,0),kZ.令2xk,kZ,解得x,kZ.即yg(x)图象的对称中心为(,0),kZ.思维升华(1)五点法作简图:用“五点法”作yAsin(x)的简图,主要是通过变量代换,设zx,由z取0,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换:由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.把函数ysin x的图
7、象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移个单位,得到的函数图象的解析式是_.答案ycos 2x解析由ysin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的解析式为ysin 2x,再向左平移个单位得ysin 2(x),即ycos 2x.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2如图是函数yAsin(x)(A0,0,|0,0)解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A,B.(2)求,确定函数的周期T,则.(3)求,常用方法如下:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高
8、点或最低点代入.五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0;“第二点”(即图象的“峰点”)为x;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x;“第四点”(即图象的“谷点”)为x;“第五点”为x2.(2016徐州模拟)已知函数f(x)sin(x) (0,|)的部分图象如图所示,则yf(x)取得最小值时x的集合为_.答案x|xk,kZ解析根据所给图象,周期T4(),故,2,因此f(x)sin(2x),另外图象经过点(,0),代入有2k(kZ),再由|,得,f(x)sin(2x),当2x2k (kZ),即xk(kZ)时,yf(x)
9、取得最小值.题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3(2015陕西改编) 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为_.答案8解析由题干图易得ymink32,则k5.ymaxk38.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是_.答案(2,1)解析方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin,x.设2xt,则t,题目条件可转化为sin t,t有两个不同的实数根.y和ysi
10、n t,t的图象有两个不同交点,如图:由图象观察知,的范围为(1,),故m的取值范围是(2,1).引申探究例4中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m的取值范围是_.答案2,1)解析由例4知,的范围是,2m0,)的图象关于直线x对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)当x0,时,求函数yf(x)的最大值和最小值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T,从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称,所以2k,kZ,由,得k0,所以.综上,2,.(2)由(1)知f(x)sin(2x),当x0,时,2x,当2x,即x时,f(x)最大
11、值;当2x,即x0时,f(x)最小值.思维升华(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.已知函数f(x)cos(3x),其中x,m,若f(x)的值域是1,则m的取值范围是_.答案,解析画出函数的图象.由x,m,可知3x3m,因为f()cos 且f()cos 1,要使f(x)的值域是1,只要m,即m,.4.三角函数图象与性质的综合问题典例(14分)已知函数f(x)2sin()cos()sin(x).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.思维点拨(1)先将f(x)化成yAsin(x)的形式再求周期;(2)将f(x)解析式中的x换成x,得g(x),然后利用整体思想求最值.规范解答解(1)f(x)2sin()