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1、一、填空题1.(2015泰州一检)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为_.解析由正弦定理可知(bc)(bc)(ac)a，b2c2a2ac，即a2c2b2ac.cos B，B30.答案302.(2015南通调研)在ABC中，cos A，cos B，BC4，则AB_.解析cos A，cos B，sin A，sin B，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B0，ABC，AB5.答案53.(2016苏北四市模拟)在ABC中，ACcos A3BCcos B，且cos C，则A_.解析由题意及正弦定理，得s
2、in Bcos A3sin Acos B，tan B3tan A，0A，B90，又cos C，故sin C，tan C2，而ABC180，tan(AB)tan C2，即2，将tan B3tan A代入，得2，tan A1或tan A，而0A90，则A45.答案454.(2016苏、锡、常、镇模拟)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边长，若a1，b，AC2B，则sin C_.解析由AC2B，且ABC，得到B，cos B，又a1，b，根据余弦定理得：b2a2c22accos B，即c2c20，解得c2，c1(舍去)，又sin B，b，根据正弦定理得sin C1.答案15.(201
3、6石家庄模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin Aacos C，则sin Asin B的最大值是_.解析由csin Aacos C，得sin Csin Asin Acos C，又在ABC中sin A0，所以sin Ccos C，tan C，C(0，)，所以C.所以sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin，A，所以当A时，sin Asin B取得最大值.答案6.(2015南京调研)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知ac2b，sin Bsin C，则cos A_.解析由sin Bsin C，得bc，代入ac2b，得ac，
4、则由余弦定理得cos A.答案7.(2015广东卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案18.(2016陕西八校联考)设ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且满足Sa2(bc)2，bc8，则S的最大值为_.解析Sa2(bc)2，bc8，bcsin A2bc(b2c2a2)2bc2bccos A，即sin A4cos A4.联立解得sin A，Sbcsin Abc，当且仅当bc4时取等号.答案9.(2016南京月考) 如图，在ABC中，D是边AC
5、上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为_.解析设BDa，则由题意可得BC2a，ABADa，在ABD中，由余弦定理得cos A，所以sin A.在ABC中，由正弦定理得，所以，解得sin C.答案二、解答题10.(2015湖南卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A，且B为钝角.(1)证明：BA；(2)求sin Asin C的取值范围.(1)证明由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sin Bsin.又B为钝角，因此A，故BA，即BA.(2)解由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsi
6、n Acos 2A2sin 2Asin A12.因为0A，所以0sin A，因此2.由此可知sin Asin C的取值范围是.11.(2016烟台一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3，b5，c7.(1)求角C的大小；(2)求sin的值.解(1)由余弦定理，得cos C.0C，C.(2)由正弦定理，得sin B，C，B为锐角，cos B.sinsin Bcos cos Bsin .12.(2013江苏卷) 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，
7、甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理，得BCsin A500(m).乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.
