《（江苏专用）高考数学总复习 必做题专题1 空间向量与立体几何试题（含解析）理-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）高考数学总复习 必做题专题1 空间向量与立体几何试题（含解析）理-人教版高三数学试题（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1 空间向量与立体几何【三年高考】1. 【2017江苏高考，22】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=， （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A1B与AC1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与
2、法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值试题解析：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz因为AB=AD=2，AA1=，则（1），则因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为设二面角B-A1D-A的大小为，则因为，所以因此二面角B-A1D-A的正弦值为【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；破“求法向量关”，求出平面的法向量；破“应用公式关”2. 【20
3、15江苏高考，22】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长PABCDQ【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，因为，设平面的法向量为，则，即令，解得，所以是平面的一个法向量从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为（2）因为，设（），又，则，又，从而设，则当且仅当，即时，的最大值为因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值又因为，所以3.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且
4、.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】试题解析：（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD ，故ABPD ，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
5、求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 4.【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2) 。【解析】试题解析：（1）取的中点，连结，。因为是的中点，所以,由得，又,所以。四边形为平行四边形，。又平面，平面，故平面。（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，设则，因为BM与底
6、面ABCD所成的角为45，而是底面ABCD的法向量，所以， ，即。又M在棱PC上，设,则 。【考点】 判定线面平行；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|=。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 5.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面
7、AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) .【解析】（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故【考点】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos
8、 |cos|=.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 6.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.【答案】（）.（）.思路二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量计算即得.（）解法一：取的中点，连接，.因为，所以四边形为菱形，所以.取中点，连接，.则，所以为所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.解法二：以
9、为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因此所求的角为.【考点】1.垂直关系.2. 空间角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等. 7.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，
10、AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（） ；（） 【解析】 （III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.8.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，.点D
11、，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 试题解析：如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得
12、.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE. 【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易. 9【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）证，再证，最后证；（）用向量法求解.试题解析：（I）由已知得，又由得，故.因此，从而.由
13、,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性质线面垂直的性质，常用来证明线线垂直求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角10【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O
14、的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）根据线线、面面平行可得与直线GH与平面ABC平行；（）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到为二面角的平面角直接求解.试题解析：（I）证明：设的中点为,连接,在,因为是的中点，所以又所以在中，因为是的中点，所以，又,所以平面平面，因为平面，所以平面.（II）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以可得故.设是平面的一个法向量. 由可得可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为.解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM平面ABC,可得过点作于点，连接，可得,从而为二面角的平面角.又,是圆的直径，所以
