《(江苏专用)高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题 理-人教版高三数学试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(江苏专用)高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题 理-人教版高三数学试题(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、课时3定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1已知椭圆1(a0,b0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足1,2.(1)求椭圆的标准方程;(2)若123,试证明:直线l过定点并求此定点.解(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b1,且(2a)2(2b)22(2c)2,又a2b2c2,所以a23.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为xt(ym),由1知(x1,y1m)1(x0x1,y1),y1my11,由题意y10,1
2、1.同理由2知21.123,y1y2m(y1y2)0,联立得(t23)y22mt2yt2m230,由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0,且有y1y2,y1y2,代入得t2m232m2t20,(mt)21,由题意mt0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:y0y1与直线AF相交于点M,与直线x相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.解(1)设F(c,0),因为b1,所以c,直线OB方程为yx,直线BF的方程为y(xc),解得B(,).又
3、直线OA的方程为yx,则A(c,),kAB.又因为ABOB,所以()1,解得a23,故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a,则直线l的方程为y0y1(y00),即y.因为直线AF的方程为x2,所以直线l与AF的交点为M(2,);直线l与直线x的交点为N(,).则.因为P(x0,y0)是C上一点,则y1,代入上式得,即所求定值为.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定
4、值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.如图,在平面直角坐标系xOy中,点F(,0),直线l:x,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长TS是否为定值?请说明理由.解(1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQFP,RQ是线段FP的垂直平分线.点Q在线段FP的垂直平分线上,PQQF,又PQ是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y22x(x0).(2)弦长TS为定值.理由如下:取曲线
5、C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d|x0|x0,圆的半径rMA,则TS22,因为点M在曲线C上,所以x0,所以TS22,是定值.题型三探索性问题例3(2015湖北)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连结,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DNON1,MN3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1) 求曲线C的方程;(2) 设动直线l与两定直线l1:x2y0和l2:x2y0分别交于P,Q两点.若直线l
6、总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解(1)设点D(t,0)(|t|2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,2,且|1,所以(tx,y)2(x0t,y0),且即且t(t2x0)0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t2x0,故x0,y0,代入xy1,可得1,即所求曲线C的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x4或x4,都有SOPQ448.当直线l的斜率存在时,设直线l:ykxm,由消去y,可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以64k2m24
7、(14k2)(4m216)0,即m216k24.(*1)又由可得P;同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和PQ|xPxQ|,可得SOPQPQd|m|xPxQ|m|.(*2)将(*1)代入(*2)得,SOPQ8.当k2时,SOPQ888;当0k2时,SOPQ88.因0k2,则0b0)以抛物线y28x的焦点为顶点,且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l:ykxm与椭圆E相交于A,B两点,与直线x4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足(其中O为坐标原点),试问在x轴上是否存在一点T,使得为定值?若存在,求出点T的坐标及的值;若不存在,请说明理由.解(1)抛物线y28x的焦点为椭圆E的顶点
8、,即a2.又,故c1,b.椭圆E的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x1x2,y1y2),联立得(4k23)x28kmx4m2120.由根与系数的关系,得x1x2,y1y2k(x1x2)2m.将P代入椭圆E的方程,得1,整理,得4m24k23.设T(t,0),Q(4,m4k),(4t,m4k),.即.4k234m2,.要使为定值,只需2为定值,则1t0,t1,在x轴上存在一点T(1,0),使得为定值.21.设而不求,整体代换典例(16分)椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(
9、2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连结PF1,PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,若k20,证明为定值,并求出这个定值.思维点拨第(3)问,可设P点坐标为(x0,y0),写出直线l的方程;联立方程组消去y得关于x的一元二次方程,则0;变为,把k与均用x0,y0表示后可消去.规范解答解(1)由于c2a2b2,将xc代入椭圆方程1,得y.2分由题意知1,即a2b2.又e,所以a2,b1.所以椭圆C的方程为y21.4分(2)设
10、P(x0,y0) (y00),又F1(,0),F2(,0),所以直线PF1,PF2的方程分别为lPF1:y0x(x0)yy00,lPF2:y0x(x0)yy00.6分由题意知.由于点P在椭圆上,所以y1.所以.8分因为m,2x02,可得,所以mx0.因此m.10分(3)设P(x0,y0) (y00),则直线l的方程为yy0k(xx0).联立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.12分由题意0,即(4x)k22x0y0k1y0.又y1,所以16yk28x0y0kx0,故k.14分由(2)知,所以8,因此为定值,这个定值为8.16分温馨提醒对题目涉及的变量巧妙地引进参