《2022版高中数学第一章导数及其应用1.3.2.1利用导数研究函数的极值课件新人教B版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022版高中数学第一章导数及其应用1.3.2.1利用导数研究函数的极值课件新人教B版选修22（90页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用导数研究函数的极值第1课时利用导数研究函数的极值【自我预习自我预习】1.1.函数极值的定义函数极值的定义满足条件满足条件: :已知函数已知函数y=f(x),y=f(x),设设x x0 0是定义域是定义域(a,b)(a,b)内任一内任一点点, ,存在存在_._.一个包含一个包含x x0 0的开区间的开区间(1)(1)极大值点与极大值极大值点与极大值条件条件: :对于开区间内所有点对于开区间内所有点x,x,都有都有_;_;结论结论:f(x):f(x)在点在点x x0 0处取得处取得_,_,_为函数为函数f(x)f(x)的的一个极大值点一个极大值点; ;记作记作:y:y极大值极大值=_.=_.f
2、(x)f(xf(x)f(xf(x)f(x0 0) )极小值极小值x x0 0f(xf(x0 0) )(3)(3)极值与极值点极值与极值点极值极值:_:_统称为极值统称为极值; ;极值点极值点:_:_统称为极值点统称为极值点. .极大值与极小值极大值与极小值极大值点与极小值点极大值点与极小值点2.2.函数的单调性与极值函数的单调性与极值(1)x(1)x0 0是是(a,b)(a,b)上的极大值点且上的极大值点且f(x)f(x)在在x=xx=x0 0是可导的是可导的f(xf(x0 0)=_;)=_;x(a,xx(a,x0 0) )时时,f(x)_0,f(x),f(x)_0,f(x)是是_的的; ;x
3、(xx(x0 0,b),b)时时,f(x)_0,f(x),f(x)_0,f(x)是是_的的. .增加增加减少减少0 0 (2)x(2)x0 0是是(a,b)(a,b)上的极小值点且上的极小值点且f(x)f(x)在在x=xx=x0 0是可导的是可导的f(xf(x0 0)=_;)=_;x(a,xx(a,x0 0) )时时,f(x)_0,f(x),f(x)_0,f(x)是是_的的; ;x(xx(x0 0,b),b)时时,f(x)_0,f(x),f(x)_0,f(x)是是_的的. .0 0 增加增加3.3.求可导函数求可导函数y=f(x)y=f(x)的极值的步骤的极值的步骤(1)(1)求导数求导数_.
4、_.(2)(2)求方程求方程_的所有实数根的所有实数根. .f(x)f(x)f(x)=0f(x)=0(3)(3)对每个实数根进行检验对每个实数根进行检验, ,判断在每个根的判断在每个根的_,_,导函数导函数f(x)f(x)的符号如何变化的符号如何变化. .如果如果f(x)f(x)的符号的符号_,_,则则f(xf(x0 0) )是极大值是极大值; ;如果如果f(x)f(x)的符号的符号_,_,则则f(xf(x0 0) )是极小值是极小值; ;如果在如果在f(x)=0f(x)=0的根的根x=xx=x0 0的左右侧的左右侧_,_,则则f(xf(x0 0) )不是极值不是极值. .左右侧左右侧由正变负
5、由正变负由负变正由负变正符号不变符号不变【思考思考】(1)(1)极大值一定比极小值大吗极大值一定比极小值大吗? ?提示提示: :不一定不一定. .由函数的图象容易得出函数的极大值也由函数的图象容易得出函数的极大值也可能比极小值还小可能比极小值还小. .(2)(2)导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ?提示提示: :导数值为导数值为0 0的点不一定是函数的极值点的点不一定是函数的极值点, ,还要看在还要看在这一点附近导数的正负情况这一点附近导数的正负情况. .【自我总结自我总结】1.1.对于极值的两点说明对于极值的两点说明(1)(1)函数的极值是一个局部性的
6、概念函数的极值是一个局部性的概念, ,是仅对某一点的是仅对某一点的左右两侧区域而言的左右两侧区域而言的. .极值点是区间内部的点而不会是极值点是区间内部的点而不会是端点端点. .(2)(2)若若f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值, ,那么那么f(x)f(x)在该区间内一在该区间内一定不是单调函数定不是单调函数, ,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值. .2.2.函数取极值的充要性函数取极值的充要性(1)(1)可导函数的极值点是导数为零的点可导函数的极值点是导数为零的点, ,但是导数为零但是导数为零的点不一定是极值点的点不一定是极值点, ,即即“函数函数y=f
7、(x)y=f(x)在一点的导数值在一点的导数值为零是函数为零是函数y=f(x)y=f(x)在这点取极值的必要条件在这点取极值的必要条件, ,而非充分而非充分条件条件”. .(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是ff(x(x0 0)=0,)=0,且在且在x x0 0左侧和右侧左侧和右侧f(x)f(x)的符号不同的符号不同. .(3)(3)如果在如果在x x0 0的两侧的两侧f(x)f(x)的符号相同的符号相同, ,则则x x0 0不是不是f(x)f(x)的的极值点极值点. .3.3.对于函数极值点的认识对于函数极值点的认识(1
8、)(1)函数函数f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值, ,它的极值点的分布是它的极值点的分布是有规律的有规律的, ,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点相邻两个极大值点之间必有一个极小值点, ,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. .(2)(2)当函数当函数f(x)f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时在某区间上连续且有有限个极值点时, ,函数函数f(x)f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的现的. .(3)(3)从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看, ,曲线在极值点处切线的斜率曲线在
9、极值点处切线的斜率为为0,0,并且并且, ,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正曲线在极大值点左侧切线的斜率为正, ,右侧右侧为负为负; ;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负曲线在极小值点左侧切线的斜率为负, ,右侧为正右侧为正. .【自我检测自我检测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点的点一定是函数的极值点. . ( () )(2)(2)函数的极小值一定小于它的极大值函数的极小值一定小于它的极大值. .( () )(3)(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值函数在定义域内有一个极大值和一个极小
10、值. .( () )(4)(4)若若f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内有极值内有极值, ,那么那么f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内不是内不是单调函数单调函数. . ( () )提示提示: :(1).(1).导数值为导数值为0 0的点不一定是函数的极值点的点不一定是函数的极值点. .(2).(2).有的函数的某个极小值大于它的某个极大值有的函数的某个极小值大于它的某个极大值. .(3).(3).有的函数只有一个极大值或极小值有的函数只有一个极大值或极小值; ;有的函数有有的函数有一个极大值和一个极小值一个极大值和一个极小值; ;有的函数有多个极小值和极有的函数有多个极小值和极大
11、值大值; ;也有的函数无极值也有的函数无极值. .(4).(4).若若f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内有极值内有极值, ,那么那么f(x)f(x)极值点的两极值点的两侧附近其单调性一定相反侧附近其单调性一定相反, ,所以它在所以它在(a,b)(a,b)内不是单调内不是单调函数函数. .2.2.已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的导函数的导函数y=f(x)y=f(x)的图象如图的图象如图, ,则则( () )A.A.函数函数f(x)f(x)有有1 1个极大值点个极大值点,1,1个极小值点个极小值点B.B.函数函数f(x)f(x)有有2 2个极大值点个极大值点,2,2个极小值点个极
12、小值点C.C.函数函数f(x)f(x)有有3 3个极大值点个极大值点,1,1个极小值点个极小值点D.D.函数函数f(x)f(x)有有1 1个极大值点个极大值点,3,3个极小值点个极小值点【解析解析】选选A.A.由由f(x)f(x)的图象可知的图象可知, ,在在x=xx=x2 2附近当附近当xxx0,f(x)0,函数单调递增函数单调递增, ,当当xxxx2 2时时,f(x)0,f(x)0,函数函数单调递减单调递减, ,故点故点x x2 2是函数的极大值点是函数的极大值点, ,同理同理x x3 3是函数的极是函数的极小值点小值点,x,x1 1,x,x4 4不是极值点不是极值点. .3.3.下列函数
13、中下列函数中x=0x=0是极值点的函数是是极值点的函数是( () )A.f(x)=-xA.f(x)=-x3 3B.f(x)=-cosxB.f(x)=-cosxC.f(x)=sinx-xC.f(x)=sinx-xD.f(x)=D.f(x)= 【解析解析】选选B.A.y=-3xB.A.y=-3x2 200恒成立恒成立, ,所以函数在所以函数在R R上递上递减减, ,无极值点无极值点. .B.y=sinx,B.y=sinx,当当-x0-x0时函数单调递减时函数单调递减; ;当当0x0x时函时函数单调递增且数单调递增且y|y|x=0x=0=0,=0,故故B B符合符合. .C.y=cosx-10C.y
14、=cosx-10恒成立恒成立, ,所以函数在所以函数在R R上递减上递减, ,无极值无极值点点. .D.y= D.y= 在在(-,0)(-,0)与与(0,+)(0,+)上递减上递减, ,无极值点无极值点. .4.4.函数函数y=xy=x3 3-3x-3x2 2-9x(-2x2)-9x(-2x2)有有( () )A.A.极大值极大值5,5,极小值极小值-27-27B.B.极大值极大值5,5,极小值极小值-11-11C.C.极大值极大值5,5,无极小值无极小值D.D.极小值极小值-27,-27,无极大值无极大值【解析解析】选选C.y=3xC.y=3x2 2-6x-9=0,-6x-9=0,得得x=-
15、1x=-1或或x=3,x=3,当当-2x-1-2x0;,y0;当当-1x2-1x2时时,y0,y0,当当x=-1x=-1时时,y,y极大值极大值=5;=5;x x取不到取不到3,3,无极小值无极小值. .5.5.下列函数存在极值的是下列函数存在极值的是( () )A.f(x)=A.f(x)= B.f(x)=x-eB.f(x)=x-ex xC.f(x)=xC.f(x)=x3 3+x+x2 2+2x-3+2x-3D.f(x)=xD.f(x)=x3 3【解析解析】选选B.B.因为因为A A中中f(x)= f(x)= 令令f(x)=0f(x)=0无解无解, ,所以所以A A中函数无极值中函数无极值;B
16、;B中中f(x)=1-ef(x)=1-ex x, ,令令f(x)=0f(x)=0可得可得x=0.x=0.当当x0x0,f(x)0,当当x0x0时时,f(x)0,f(x)0,所以所以f(x)f(x)在在x=0x=0处取极大值处取极大值,f(0)=-1;C,f(0)=-1;C中中f(x)=3xf(x)=3x2 2+2x+2,=+2x+2,=4-24=-200.4-24=-200,r0),(a0,r0),(1)(1)求求f(x)f(x)的定义域的定义域, ,并讨论并讨论f(x)f(x)的单调性的单调性. .(2)(2)若若 =400,=400,求求f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)内的极值内的
17、极值. .世纪世纪金榜导学号金榜导学号【解题探究解题探究】1.1.由由y=xf(x)y=xf(x)的图象的图象, ,能否得出能否得出f(x)=0f(x)=0时的时的x x值值? ?提示提示: :能能, ,当当x=-3,3x=-3,3时时,f(x)=0.,f(x)=0.2.2.怎样求函数的极值点、极值怎样求函数的极值点、极值? ?提示提示: :由由f(x)=0f(x)=0得出极值点得出极值点, ,判断极值点的类型后再判断极值点的类型后再将极值点代入函数求极值将极值点代入函数求极值. .【解析解析】1.1.选选D.D.由函数由函数y=xf(x)y=xf(x)的图象可知的图象可知, ,当当x0x0时
18、时,f(3)=0,f(3)=0,当当x3x0,f(x)0,当当x3x3时时, ,f(x)0,f(x)0,故当故当x=3x=3时时,f(x),f(x)取极大值取极大值; ;当当x0x0时时,f(-3)=0,f(-3)=0,当当x-3x-3时时,f(x)0,f(x)-3x-3时时,f(x)0,f(x)0,故当故当x=-3x=-3时时,f(x),f(x)取得极小值取得极小值. .2.(1)2.(1)由题意知由题意知x-r,x-r,所以定义域为所以定义域为( (-，-r-r)(-r,+),)(-r,+),f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= 所以当所以当x-rxrxr时时,f(x)0,f(x
19、)0,当当-rxr-rx0.,f(x)0.因此因此,f(x),f(x)的单调减区间是的单调减区间是( (-，-r-r),(r,+);f(x),(r,+);f(x)的单调增区间是的单调增区间是(-r,r).(-r,r).(2)(2)由由(1)(1)可知可知f(x)f(x)在在(0,r)(0,r)上单调递增上单调递增, ,在在(r,+)(r,+)上上单调递减单调递减, ,因此因此,x=r,x=r是是f(x)f(x)的极大值点的极大值点, ,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)内的极大值为内的极大值为f(r)= f(r)= 【方法技巧方法技巧】求可导函数求可导函数f(x)f(x)的极值的
20、步骤的极值的步骤(1)(1)确定函数的定义区间确定函数的定义区间, ,求导数求导数f(x).f(x).(2)(2)求求f(x)f(x)的拐点的拐点, ,即求方程即求方程f(x)=0f(x)=0的根的根. .(3)(3)利用利用f(x)f(x)与与f(x)f(x)随随x x的变化情况表的变化情况表, ,根据极值点根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值左右两侧单调性的变化情况求极值. .【拓展延伸拓展延伸】三次线性函数的极值点的特点三次线性函数的极值点的特点三次线性函数即三次线性函数即f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d(a0)+cx+d(a0)型的函数型的函数, ,因
21、为因为f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c,+2bx+c,得方程得方程3ax3ax2 2+2bx+c=0,+2bx+c=0,以以a0a0为例为例, ,当当00时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立, ,函数无极值点函数无极值点; ;当当00时时, ,方程有两个根方程有两个根x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),函数在函数在x x1 1处取得极大值处取得极大值, ,在在x x2 2处取得极小值处取得极小值. .【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2e ex x, ,求求f(x)f(x)的极小值和极大值的极小值和极大值. .【解析解析
22、】f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,+),f(x)=x(x+2)e(-,+),f(x)=x(x+2)ex x, ,f(x)f(x)与与f(x)f(x)的变化情况如表的变化情况如表: :x x(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,0)(-2,0)0 0(0,+)(0,+)f(xf(x) )+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)4e4e-2-20 0故当故当x=-2x=-2时时,f(x),f(x)取得极大值为取得极大值为f(-2)=4ef(-2)=4e-2-2, ,当当x=0x=0时时,f(x),f(x)取得极小值为取得极小值为f(0)=0.f(0)=0.类型二已知函数极值求参数
23、的值类型二已知函数极值求参数的值( (范围范围) )【典例典例】(2018(2018全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)=f(x)=( (2+x+2+x+axax2 2 )ln(1+x)-2x. )ln(1+x)-2x. (1)(1)若若a=0,a=0,证明证明: :当当-1x0-1x0时时,f(x)0;,f(x)0x0时时,f(x)0.,f(x)0.(2)(2)若若x=0x=0是是f(x)f(x)的极大值点的极大值点, ,求求a.a.【解题探究解题探究】函数函数f(x)f(x)在在x=0x=0处有极值的必要条件是处有极值的必要条件是什么什么? ?提示提示: :函数函数f(x)f(x)在在x
24、=0x=0处有极值的必要条件是处有极值的必要条件是f(0)=0.f(0)=0.【解析解析】(1)(1)当当a=0a=0时时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f(x),f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f(x)设函数设函数g(x)=f(x)=ln(1+x)- g(x)=f(x)=ln(1+x)- 则则g(x)= g(x)= 当当-1x0-1x0时时,g(x)0;,g(x)0x0时时,g(x)0.,g(x)0.故当故当x-1x-1时时,g(x)g(0)=0,g(x)g(0)=0,当且仅当当且仅当x=0x=0时时,g(x)=0,g(x)=0,从而从而f(x)0,f(x)0,当且仅当
25、当且仅当x=0x=0时时,f(x)=0.,f(x)=0.所以所以f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上单调递增上单调递增. .又又f(0)=0,f(0)=0,故当故当-1x0-1x0时时,f(x)0;,f(x)0x0时时,f(x)0.,f(x)0.(2)(i)(2)(i)若若a0,a0,由由(1)(1)知知, ,当当x0x0时时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与这与x=0x=0是是f(x)f(x)的的极大值点矛盾极大值点矛盾. .(ii)(ii)若若a0,a0,设函数设函数h(x)= =ln(1+x)- h(x
26、)= =ln(1+x)- 由于当由于当|x| |x|0,0,故故h(x)h(x)与与f(x)f(x)符号相同符号相同. .又又h(0)=f(0)=0,h(0)=f(0)=0,故故x=0x=0是是f(x)f(x)的极大值点的极大值点, ,当且仅当当且仅当x=0x=0是是h(x)h(x)的极大值点的极大值点. .h(x)= h(x)= 如果如果6a+10,6a+10,则当则当0x 0x 且且|x| |x|0,h(x)0,故故x=0x=0不是不是h(x)h(x)的极的极大值点大值点. .如果如果6a+10,6a+10,则则a a2 2x x2 2+4ax+6a+1=0+4ax+6a+1=0存在根存在
27、根x x1 10,0,故当故当x(xx(x1 1,0),0),且且|x| |x| 时时,h(x)0,h(x)0;,h(x)0;当当x(0,1)x(0,1)时时,h(x)0.,h(x)0.所以所以x=0x=0是是h(x)h(x)的极大值点的极大值点, ,从而从而x=0x=0是是f(x)f(x)的极大值的极大值点点. .综上综上,a= ,a= 【方法技巧方法技巧】由函数的极值由函数的极值( (点点) )求参数的步骤求参数的步骤【变式训练变式训练】已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+(a+6)x+1+(a+6)x+1有极大值和极小值有极大值和极小值, ,则则a a的的取值范围为
28、取值范围为( () )A.-1a2A.-1a2 B.-3a6B.-3a6C.a-1C.a2a2D.a-3D.a6a6【解析解析】选选D.f(x)=3xD.f(x)=3x2 2+2ax+a+6.+2ax+a+6.因为因为f(x)f(x)既有极既有极大值又有极小值大值又有极小值, ,所以所以0,0,即即4a4a2 2-43(a+6)0,-43(a+6)0,即即a a2 2-3a-180,-3a-180,解得解得a6a6或或a-3.a0a0时时, ,令令f(x)0,f(x)0,得得xaxa或或x0,x0,所以所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)和和(a,+)(a,+)上单调递增上单调递增;
29、;令令f(x)0,f(x)0,得得0xa,0xa,所以所以f(x)f(x)在在(0,a)(0,a)上单调递减上单调递减, ,所以当所以当x=0x=0时时,f(x),f(x)取到极大值取到极大值, ,极大值是极大值是f(0)=0.f(0)=0.当当x=ax=a时时,f(x),f(x)取到极小值取到极小值, ,是是f(a)=- af(a)=- a3 3; ;a0a0时时, ,令令f(x)=0,f(x)=0,得得x x1 1=ax=a0x0时时,h(x)0;,h(x)0;当当x0x0时时,h(x)0.,h(x)0.(1)(1)当当a0a0时时,g(x)=(x-a)(x-sin x),g(x)=(x-
30、a)(x-sin x),当当x(-,a)x(-,a)时时,x-a0,g(x),x-a0,g(x)单调递增单调递增; ;当当x(a,0)x(a,0)时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)0,g(x),x-a0,g(x)0,g(x)单调递增单调递增. .所以所以, ,当当x=ax=a时时,g(x),g(x)取到极大值取到极大值, ,极大值是极大值是g(a)=- ag(a)=- a3 3- -sin a,sin a,当当x=0x=0时时,g(x),g(x)取到极小值取到极小值, ,极小值是极小值是g(0)=-a.g(0)=-a.(2)(2)当当a=0a=0时时,g(x)=x(x-sin x
31、),g(x)=x(x-sin x),当当x(-,+)x(-,+)时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)单调递增单调递增; ;所以所以,g(x),g(x)在在(-,+)(-,+)上单调递增上单调递增,g(x),g(x)无极大值也无极大值也无极小值无极小值. .(3)(3)当当a0a0时时,g(x)=(x-a)(x-sin x),g(x)=(x-a)(x-sin x),当当x(-,0)x(-,0)时时,x-a0,g(x),x-a0,g(x)单调递增单调递增; ;当当x(0,a)x(0,a)时时,x-a0,g(x)0,g(x),x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x),x-a0,g(x)
32、0,g(x)单调递增单调递增, ,所以所以, ,当当x=0x=0时时,g(x),g(x)取到极大值取到极大值, ,极大值是极大值是g(0)=-a;g(0)=-a;当当x=ax=a时时,g(x),g(x)取到极小值取到极小值, ,极小值是极小值是g(a)=- ag(a)=- a3 3- -sin a.sin a.综上所述综上所述: :当当a0a0a0时时, ,函数函数g(x)g(x)在在(-,0)(-,0)和和(a,+)(a,+)上单调递增上单调递增, ,在在(0,a)(0,a)上单调递减上单调递减, ,函数既有极大值函数既有极大值, ,又有极小值又有极小值, ,极极大值是大值是g(0)=-a,
33、g(0)=-a,极小值是极小值是g(a)=- ag(a)=- a3 3-sin a.-sin a.【补偿训练补偿训练】 已知函数已知函数f(x)=f(x)= 其中其中aR,aR,且曲线且曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线垂直于处的切线垂直于y=y= (1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值. .【解析解析】(1)(1)对对f(x)f(x)求导得求导得f(x)= f(x)= 由由f(x)f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线垂直于直线处的切线垂直于直线y= y= 知知f(1)=
34、 -a=-2,f(1)= -a=-2,解得解得a= a= (2)(2)由由(1)(1)知知f(x)= f(x)= 则则f(x)= f(x)= 令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=-1x=-1或或x=5.x=5.因因x=-1x=-1不在不在f(x)f(x)的定义域的定义域(0,+)(0,+)内内, ,故舍去故舍去. .当当x(0,5)x(0,5)时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(5,+)(5,+)内为增函数内为增函数; ;由此知函数由此知函数f(x)f(x)在在x=5x=5时取得极小值时取得极小值,f(5)=-ln 5.,f(5)=-ln 5.【规范答题
35、案例规范答题案例】利用极值求参数利用极值求参数【典例典例】(12(12分分) )已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+3ax+3ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=-1x=-1时有时有极值极值0,0,求常数求常数a,ba,b的值的值. .【审题流程审题流程】审结论( (明解明解题方向方向) )审条件条件( (挖解挖解题信息信息) )要求要求a,ba,b的的值, ,需需建立建立a,ba,b的方程的方程组(1)f(x)(1)f(x)在在x=-1x=-1时有极有极值0,0,则f f(-1)=0, f(-1)=0.(-1)=0, f(-1)=0.(2)(2)导数数为0 0的点的点处不一定有极
36、不一定有极值, ,需需验证该点两点两侧的的导数数值符号相反符号相反. .审结论( (明解明解题方向方向) )审条件条件( (挖解挖解题信息信息) )建关系建关系切解切解题突破口突破口 代入代入导函数函数验证两两侧符号符号结果果【规范解答规范解答】因为因为f(x)f(x)在在x=-1x=-1时有极值时有极值0,0,且且f(x)=f(x)=3x3x2 2+6ax+b.+6ax+b.所以所以 即即 解得解得 或或 4 4分分当当a=1,b=3a=1,b=3时时, ,f(x)=3xf(x)=3x2 2+6x+3+6x+3=3(x+1)=3(x+1)2 20,0,所以所以f(x)f(x)在在R R上为增
37、函数上为增函数, ,无极值无极值, ,故舍去故舍去; ; 6 6分分当当a=2,b=9a=2,b=9时时, ,f(x)=3xf(x)=3x2 2+12x+9+12x+9=3(x+1)(x+3).=3(x+1)(x+3).当当x-3,-1x-3,-1时时,f(x),f(x)为减函数为减函数; ;当当x-1,+)x-1,+)时时,f(x),f(x)为增函数为增函数, , 1010分分所以所以f(x)f(x)在在x=-1x=-1时取得极小值时取得极小值. .因此因此a=2,b=9.a=2,b=9. 1212分分答题规则说明答题规则说明: :(1)(1)得关键分得关键分: :在在x=-1x=-1时有极值时有极值, ,列对方程组列对方程组. .(2)(2)得常规分得常规分: :验证验证a,ba,b的值的值, ,能否使得原函数存在极值能否使得原函数存在极值. .
