线性系统的频域分析方法

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1、（A)A)引言引言(1)高阶系统高阶系统的分析的分析难以进行难以进行；(2)当系统某些元件的当系统某些元件的传递函数难以列写传递函数难以列写时，整个系统的时，整个系统的分析工作将分析工作将无法进行无法进行； 用用时域法时域法分析系统的性能比较直观、准确，但是求分析系统的性能比较直观、准确，但是求解系统的时域响应往往比较繁杂。解系统的时域响应往往比较繁杂。1.时域分析法的缺点时域分析法的缺点 频域分析法频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的是二十世纪三十年代发展起来的研究研究自动控制系统的一种自动控制系统的一种经典工程实用经典工程实用方法方法。是一种利用是一种利用频率特性频率特性进行控制系统分析

2、的进行控制系统分析的图解方法图解方法，可方便地用，可方便地用于控制工程中的于控制工程中的系统分析与设计系统分析与设计。2.频域频域分析分析法法 频域性能指标频域性能指标与与时域性能指标时域性能指标之间有着之间有着内在的联内在的联系系，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频域分析法与时域求出时域性能指标或反之。因此，频域分析法与时域分析法是分析法是统一的统一的。频域分析法频域分析法的优点的优点(1)不必求解系统的特征根，采用较为简单的图不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解法来研究系统的稳定性。解法来研究系统的稳定

3、性。由于频率响应法主由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而形象直观且计算量少因而形象直观且计算量少。(2)系统的频率特性可用实验方法测出。系统的频率特性可用实验方法测出。频率特频率特性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测定定，这对于难以列写微分方程式的元件或系统这对于难以列写微分方程式的元件或系统来说，具有重要的实际意义。来说，具有重要的实际意义。(3)频域分析法不仅适用于线性定常系统的分频域分析法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系析研究，还可以推广应用于某些

4、非线性控制系统。统。(4)便于系统分析和校正。便于系统分析和校正。根据系统的频率性根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，性能的影响，便于分析和校正。便于分析和校正。2.频域频域分析分析法法第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法本章主要内容：本章主要内容：5.1 5.1 频率特性频率特性5.2 5.2 典型环节和开环频率特性曲线的绘制典型环节和开环频率特性曲线的绘制5.3 5.3 频率域稳定判据频率域稳定判据5.4 5.4 稳定裕度稳定裕度

5、5.5 5.5 闭环系统的频域性能指标闭环系统的频域性能指标6第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法本章要求：本章要求：正确理解基本概念；正确理解基本概念；掌握开环频率特性曲线的绘制；掌握开环频率特性曲线的绘制；熟练运用频率域稳定判据；熟练运用频率域稳定判据；掌握稳定裕度的概念；掌握稳定裕度的概念；了解闭环频域性能指标。了解闭环频域性能指标。75.1 5.1 频率特性频率特性本节主要内容：本节主要内容： 1、频率特性的基本概念频率特性的基本概念 2、频率特性的几何表示频率特性的几何表示8G(S)R(sR(s) )C(s)C(s) 系统结构图如图系统结构图如图: 设系统传递函数为

6、设系统传递函数为 特征方程的根。特征方程的根。G(s)=(S-S1)(S-S2)(S-Sn)U(s)r(t)=AsintS1,S2Sn输出响应输出响应c(t)?R(s)=AS2+2C(s)=G(s)R(s)C(s)=(S-S1)(S-S2)(S-Sn)U(s)AS2+2一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念1.1.频率特性的定义频率特性的定义C(s)=A2SjA1S+jBiSSini=1+c(t)=A1e-jtejt+A2ni=1esit+Bi将将C(s)按部分分式展开按部分分式展开: 拉氏反变换得拉氏反变换得: 设系统是稳定的，即设系统是稳定的，即S1,S2Sn的实的实部均小于零。部均

7、小于零。 系统的稳态响应为系统的稳态响应为cs(t)=limc(t)=A1e-jtejt+A2t求待定系数求待定系数:A1=G(s)AS2+2(S+j)S=-j=G(-j)-2jA=-2jA|G(j)|e-j G(j)同理同理:A2=G(j)2jA=2jA|G(j)|ejG(j)代入代入-2jcs(t)=A|G(j)|ejG(j) t+e-jG(j) t+=A|G(j)|sinG(j) t+A1 系统正弦信号作用下的稳态系统正弦信号作用下的稳态输出是与输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为值之比为|G(j)|,稳态输出与输入间的相稳态输出与输入

8、间的相位差位差为为G(j)。 系统输入输出曲线系统输入输出曲线 r(t)t0c(t)r(t)c(t)AA G(j )=()G(j)定义定义 :系统的幅频特性：系统的幅频特性：系统的相频特性：系统的相频特性： 系统的频率特性系统的频率特性： G(j)=G(s)S=jjG(j)=|G(j)|e=A()ej()A() =|G(j)|=()G(j)-幅频特性幅频特性幅频特性曲线幅频特性曲线幅频特性：幅频特性：在正弦信号输入下，稳态在正弦信号输入下，稳态输出与输入的幅值之比。输出与输入的幅值之比。1.00A( ) 线性系统线性系统G(s)频率特性的物理意义：频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出

9、和输入的幅值和相位的稳定系统的频率特性等于输出和输入的幅值和相位的变化变化，这就是频率特性的物理意义。这就是频率特性的物理意义。-相频特性相频特性相频特性曲线相频特性曲线相频特性：相频特性： 在正弦信号输入下，稳态输出与输入正弦信号在正弦信号输入下，稳态输出与输入正弦信号的的相位差相位差。j j( ) 线性系统线性系统G(s) 右图为右图为RCRC滤波网络，设电容滤波网络，设电容C C的初始电压为的初始电压为u uo o, ,取输入信取输入信号为正弦信号号为正弦信号 ，曲线如图所示。曲线如图所示。R RC Cu ui i( (t t) )u uo o( (t t) )+ +- -+ +- -i

10、 i ( (t t) )当响应呈稳态时，可以看出当响应呈稳态时，可以看出仍为正弦信号，频率与输入仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定有一定衰减，相位存在一定延迟。延迟。AB15R RC Cu ui i( (t t) )u uo o( (t t) )+ +- -+ +- -i i ( (t t) )其微分方程是其微分方程是网络的传函网络的传函输出电压的瞬态分量输出电压的瞬态分量稳态分量稳态分量右图右图RCRC网络输入网络输入频率响应频率响应16随着随着t t趋于无穷大趋于无穷大, ,瞬态分量趋于零瞬态分量趋于零, ,于是于是都是频率都是

11、频率的函数的函数幅频特性幅频特性相频特性相频特性1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT0-80-60-40-200()12345TTTTT17幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性统称为统称为频率特性频率特性频率特性频率特性频率特性频率特性: : : : 线性定常系统的频率特性是线性定常系统的频率特性是零初零初始条件下始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号稳态输出正弦信号与输入正弦信号的的复数比复数比( (频域）。频域）。2.2.介绍几个名词：介绍几个名词：幅值比幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅值：同频率下输出信号与输入信号的幅值之比。之比。B/AB/A相位差相位

12、差：同频率下输出信号的相位与输入信号：同频率下输出信号的相位与输入信号的相位之差。的相位之差。18幅频特性幅频特性：幅值比与频率之间的关系。幅值比与频率之间的关系。相频特性相频特性：相位差与频率之间的关系。相位差与频率之间的关系。幅相特性幅相特性：将幅频和相频画到一起。将幅频和相频画到一起。矢量端点的轨迹矢量端点的轨迹。193.3.求取频率特性的方法：求取频率特性的方法：q实验法实验法利用传递函数求频率特性的方法：利用传递函数求频率特性的方法：系统的频率特性系统的频率特性G G( (j j) )可以通过系统的传可以通过系统的传递函数递函数G G( (s s) )来求取：来求取：q利用传递函数求

13、利用传递函数求q已知系统的方程，输入正弦函数求其稳态已知系统的方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比一般不用一般不用20例例1:1:设单位反馈控制系统的开环函数为设单位反馈控制系统的开环函数为 ，若输入信，若输入信号为：号为： ，试求，试求(1)(1)稳态输出稳态输出c cssss(t) (2)(t) (2)稳稳态误差态误差e essss(t)?(t)?解解:(1)稳态输出：稳态输出：21(2)稳态误差：稳态误差：22将将G G( (j j) )写成复数形式：写成复数形式：-实频特性实频特性-虚频特性虚频特性幅频特性、相频特性幅频特性

14、、相频特性和实频特性、虚频特和实频特性、虚频特性之间的关系：性之间的关系：4.4.频率特性的表示法频率特性的表示法23 1. 1. 1. 1.幅频幅频幅频幅频相频形式相频形式相频形式相频形式: : : : G G G G(j)=|(j)=|(j)=|(j)=|G G G G(j)| (j)| (j)| (j)| G G G G(j)(j)(j)(j) 2. 2. 2. 2. 实频实频实频实频虚频形式虚频形式虚频形式虚频形式: : : : G G(j)=P()+jQ()(j)=P()+jQ() 3. 3. 3. 3. 三角函数形式三角函数形式三角函数形式三角函数形式: : : : G G G G

15、(j)=(j)=(j)=(j)=A A A A( ( ( ( )cosj()cosj()cosj()cosj( )+j)+j)+j)+jA A A A( ( ( ( )sinj()sinj()sinj()sinj( ) ) ) ) 4. 4. 4. 4. 指数形式指数形式指数形式指数形式: : : : G(j)=A(G(j)=A(G(j)=A(G(j)=A( )e)e)e)ej j j j( ( ( () ) ) )频率特性的表示法频率特性的表示法24由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动和传递函数、

16、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。规律，是描述系统的又一种数学模型。5.频率特性与其它数学模型的关系频率特性与其它数学模型的关系微分方程微分方程频率特性频率特性传递函数传递函数脉冲函数脉冲函数25 例例22：设传递函数为：设传递函数为：微分方程为：微分方程为：频率特性为：频率特性为：26频率特性的频率特性的极坐标图极坐标图（幅相图）（幅相图）/ /奈魁斯特图奈魁斯特图频率特性的频率特性的对数坐标图对数坐标图/ /伯德图伯德图频率特性的频率特性的对数幅相图对数幅相图/ /尼柯尔斯图尼柯尔斯图二、二、 频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法27系统的开环频率特性通

17、常有三种表达形式系统的开环频率特性通常有三种表达形式: :1.1.通过频率特性通过频率特性G G( (j j) )的模的模| | G G( (j j)|)|与相位与相位G G( (j j) )在极坐标中表示的图形在极坐标中表示的图形, ,称为称为极坐标图极坐标图( (Polar plotPolar plot) )或奈魁斯特图或奈魁斯特图( ( Nyquist plotNyquist plot) ) 。 2. 2. 通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形的图形, ,称为称为对数坐标图对数坐标图( (Logarithmic plotLogarithm

18、ic plot) )或伯或伯德图德图( (Bode plotBode plot) )。 3. 3. 用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成的图形来表示系统的频率特性。这种表达频率特性的图形来表示系统的频率特性。这种表达频率特性的图形称为的图形称为对数幅相图（对数幅相图（Log-magnitude-phase Log-magnitude-phase diagramdiagram）或尼柯尔斯图）或尼柯尔斯图( (Nichols chartNichols chart) ) 。 281.1.极坐标图极坐标图 当当：00时，向量时，向量G G( (j j ) )

19、的幅值的幅值| |G(G(j j )| )|和相角和相角j j( () )随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标极坐标图图或或NyqusitNyqusit图（奈氏图）图（奈氏图）。以横轴为实轴、纵轴为虚轴。以横轴为实轴、纵轴为虚轴。-幅相频率特性曲线（幅相频率特性曲线（NyqusitNyqusit曲线）曲线） 是是的偶函数，的偶函数， 是是的奇函数，的奇函数，因此，因此，：0-0-时，时，G G(-(-j j) )与与G G( (j j ) )关于实轴对称。关于实轴对称。G(j 2 2)G(j 1 1) 0ReIm29共轭共轭对称

20、对称共轭共轭对称对称一般作图方法一般作图方法(1)(1)手工绘制手工绘制 取取=0=0和和=两点，必要时还应在两点，必要时还应在00 1时时20lgKK=1时时20lgKK1时时412惯性环节惯性环节传递函数和频率特性传递函数和频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性G(s)=1Ts+1G(j)=1jT+1 A()=11+(T)2()=-tg-1T(1) 奈氏图奈氏图 绘制奈氏图近似方法绘制奈氏图近似方法: 根据根据幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性求出特殊求出特殊点点,然后将它们平滑连接起来然后将它们平滑连接起来. =A()=0()=-90o惯性环节的奈氏图惯性环节的奈氏图 =0A()

21、=1()=0o取特殊点：取特殊点：1=TA()=0.707()=-45o可以证明：可以证明：惯性环节的奈氏图是以惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为为圆心，以圆心，以1/2为半径的半圆。为半径的半圆。ReIm00.7071=T=0-4542传递函数传递函数幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：0K44(2) 伯德图伯德图 1/T频段频段,可可用用0dB渐近线近渐近线近似代替。似代替。L()=20lg11+(T)21T(T)21T(T)2120lgT1L()=-20lgT 1/T频段，频段，可用可用-20dB/dec渐渐近线近似代替近线近似代替两条渐近两条渐近线相交点的频线相交点的频率为率为

22、转折频率转折频率 =1/T。 渐近线渐近线所产生的所产生的最大误差值为：最大误差值为：L()=20lg11+(T)221=20lg=-3.03dBL()/dB渐近线渐近线转折转折/交接交接频率频率渐近线渐近线精确曲线精确曲线-20020-20dB/decT110T110T相频特性曲线：相频特性曲线：=0()=0o()=-45o=1/T()=-90o0-45-90() T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j j( )-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45 T2.03.04.05.07.0102050100j j( )-63.4-71.

23、5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.445传递函数传递函数: :对数幅频特性对数幅频特性，为对数幅频特性的高频段，为对数幅频特性的高频段 相频特性相频特性 渐近线渐近线精确曲线精确曲线转折频率转折频率当当，为对数幅频特性的低频段，为对数幅频特性的低频段 当当，为对数幅频特性的转折点，为对数幅频特性的转折点转折频率转折频率 46 3积分环节积分环节 传递函数和频率特性传递函数和频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性(1) 奈氏图奈氏图 积分环节奈氏图积分环节奈氏图G(s)=1SG(j)=1jA()=1()=-90o047 (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对

24、数幅频特性： 对数相频特性：对数相频特性： 积分环节的伯德图积分环节的伯德图L()=20lgA()=-20lg()=-90o()10.1100-90L()/dB10.110020-2040-20dB/dec分析：分析： =1,L=0db =10,L=-20db48db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.01传递函数传递函数:G(s)=1/s对数幅频特性对数幅频特性L( )=-20lg 相频特性相频特性分析：分析： =1,L=0db =10,L=-20db49 4微分环节微分环节 传递函数和频率特性传递函数和频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性(

25、1) 奈氏图奈氏图 微分环节奈氏图微分环节奈氏图G(s)=SG(j)=jA()=()=90o0=0=50 (2) 伯德图伯德图微分环节的伯德图微分环节的伯德图对数幅频特性：对数幅频特性： 对数相频特性：对数相频特性：L()=20lgA()=20lg()=90o()10.110L()/dB10.110020-2020dB/dec0905152 5一阶微分环节一阶微分环节传递函数和频率特性：传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：幅频特性和相频特性：G(s)=1+TsG(j)=1+jTA()= 1+(T)2()=tg-1T(1) 奈氏图奈氏图 1ReIm0=0一阶微分环节奈氏图一阶微分环节奈氏图

26、=0A()=1()=0o= A()=()=90o53-转折转折/ /交接频率交接频率高频渐近线斜率为高频渐近线斜率为2020dB/DecdB/Dec对数幅频特性：对数幅频特性：相频特性：相频特性：低频渐近线为低频渐近线为0 0dBdB的水平线的水平线(2) (2) 伯德图伯德图db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.05102054对数幅频特性：对数幅频特性：L()=20lg1+(T)2一阶微分一阶微分环节的频率特性与惯性环节环节的频率特性与惯性环节成反比成反比 , 所以它们的所以它们的伯德图对称于横轴伯德图对称于横轴.G(j

27、)=1+jT1+jTG(j)=1L()=20lg1+(T)2155db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020微分微分环节环节惯性环节惯性环节56二阶微分环节二阶微分环节（）奈氏图（）奈氏图57-转折转折/ /交接频率交接频率（）伯德图（）伯德图高频渐近线斜率为高频渐近线斜率为4040dB/DecdB/Dec对数幅频特性：对数幅频特性：相频特性：相频特性：低频渐近线为低频渐近线为0 0dBdB的水平线的水平线58伯德图伯德图59 振荡环节振荡环节 传递函数和频率特性：传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：幅频特性和相

28、频特性：G(s)=s2+2n2ns+n2G(j)=n2n2-2+j2nA()=(nn22-2)2+(2n)2=(1-2n1)222n)2+(60 振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图(1) 奈氏图奈氏图=0A()=1()=0oReIm01=0=n=0.8=0.6=0.4 =n()=-90o=A()=0()=-180oA()=21 振荡环节的频振荡环节的频率特性曲线因率特性曲线因值值的的不同而异不同而异.61(2) 伯德图伯德图对数幅频特性：对数幅频特性：(1-)2+()22n22n1L()=20lgnL()-40lgn 对数相频特性：对数相频特性：=0()=0o()=-90o=n()=-180o转

29、转折频率折频率=n62=0.1=0.5=0.2=0.3=0.7=1当当1时时,即高频段渐近线即高频段渐近线当当 Kj例例2:2:设某设某型型系统的开环传函为：系统的开环传函为：( (K K, ,T T1 1, ,T T2 20)0)，试绘制其开环极坐标图。，试绘制其开环极坐标图。解：解：分析：分析：1. =0时时当当00时，时，G G(j(j) )渐近线渐近线是一条通过实轴是一条通过实轴- -K K( (T T1 1+ +T T2 2 ) )，且平，且平行于虚轴的直线。行于虚轴的直线。962.当当 时时3.与实轴的交点与实轴的交点令：令：Q( ) =0解得：解得：交点为：交点为：ImRe极坐标

30、图：极坐标图：9798幅值和相角分别为幅值和相角分别为: :先绘制惯性环节先绘制惯性环节G G1 1 ( (j j) )的极坐标图的极坐标图 在每一个频率在每一个频率上幅值保持不变上幅值保持不变, ,相角相角再增加再增加- -, ,即得该系统的奈氏图即得该系统的奈氏图 例例3 3 系统开环传递函数是系统开环传递函数是 试绘制其极坐标图。试绘制其极坐标图。例例4已知系统的开环传递函数试已知系统的开环传递函数试画出画出该系统的开环幅相特性曲线。该系统的开环幅相特性曲线。解：解：n=mG(s)=K(1+s)1+Ts1+()21+(T)2KA()=()=tg-1-tg-1T1)T=0A()=K ()=

31、0o0A()K()0o=A()K()=0oK T=K=0Re0ImT的的奈氏图奈氏图2)0A()K()0o=A()K()=0o , , N N为正值为正值，包围方向为，包围方向为逆时针逆时针; ;若若P P 0)0的部分。的部分。三、对数频率稳定判据三、对数频率稳定判据161正穿越负穿越正穿越正穿越负穿越负穿越奈氏曲线上的正负穿越与伯德图上的正、负穿越奈氏曲线上的正负穿越与伯德图上的正、负穿越正穿越正穿越-在在L L( ()0)0范围内从下向上穿越范围内从下向上穿越 -180-180。线线( (相角增加相角增加) )负穿越负穿越-在在L L( ()0)0范围内从上向下穿越范围内从上向下穿越 -

32、180-180。线线( (相角减小相角减小) )G GK K( (j j) )对对(-1,(-1,j j0)0)点的包围情况可用正、负穿越情况来表示。点的包围情况可用正、负穿越情况来表示。正穿越正穿越-逆时针包围逆时针包围(-1,(-1,j j0)0)负穿越负穿越-顺时针包围顺时针包围(-1,(-1,j j0)0)162 对数相频曲线对数相频曲线 确定确定 1 1）开环系统无虚轴上极点时，）开环系统无虚轴上极点时， 等于等于 曲线。曲线。 2 2）开环系统存在积分环节）开环系统存在积分环节 时，复数时，复数平面的平面的 曲线，需从曲线，需从 的开环幅相曲的开环幅相曲线的对应点线的对应点 起，逆

33、时针补作起，逆时针补作 半径为无穷大的虚圆弧。对应地，需从对数相半径为无穷大的虚圆弧。对应地，需从对数相频特性曲线频特性曲线 较小且较小且 的点处向上的点处向上补作补作 的虚直线的虚直线, , 曲线和补作的虚直线构成曲线和补作的虚直线构成 。163对数频率稳定判据：对数频率稳定判据： 设开环频率特性设开环频率特性G GK K(s)(s)在在s s右半平面的极点数为右半平面的极点数为P P，则闭环系统稳定的充要条件是：则闭环系统稳定的充要条件是：= =0+0+时，开环对时，开环对数幅频特性数幅频特性L L( ()0)0的所有频段内，相频特性对的所有频段内，相频特性对-180-180。线的正负穿越

34、次数差线的正负穿越次数差N N = =N N+ +- -N N- -= =P P/2/2。 闭环系统右半闭环系统右半s s极点数为：极点数为：Z Z =-2=-2N N + +P P ，式中，式中N N为正为正负穿越次数差。若负穿越次数差。若Z Z=0=0，闭环系统稳定；若，闭环系统稳定；若Z Z00，闭环系，闭环系统不稳定。统不稳定。164例例1 1 利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统的开环传利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统的开环传 递函数为递函数为解：解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。作出其开环对数频率特性，如下张图所示。 由于开环系统稳定，即由于开环系统稳定，即P P0

35、 0，因而该闭环系统稳定的，因而该闭环系统稳定的 充要条件：在充要条件：在 dBdB的频域内，相频特性的频域内，相频特性 不不 穿越穿越 线，或正、负穿越数之差为零。由图可见线，或正、负穿越数之差为零。由图可见 在在 的频域内的频域内 总大于总大于 ，故闭环系统，故闭环系统 是稳定的。是稳定的。 165166例例2 2 利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统开环传递函利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统开环传递函 数为数为解：解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。作出其开环对数频率特性，如下张图所示。 该系统开环传递函数含有该系统开环传递函数含有2 2个积分环节个积分环节, ,且且 时时

36、, , ，用虚线绘出相频特性的增补，用虚线绘出相频特性的增补 部分。由图知部分。由图知 dBdB的频段上的频段上, , 0 0， 1 1， R R 2 2，而，而P P 0 0，则，则Z Z2 2，闭环系统不稳定。，闭环系统不稳定。 167系系统统伯伯德德图图 168例例5-11 5-11 已知开环系统型次已知开环系统型次 ，开环对数相频特，开环对数相频特性曲线如图所示，图中性曲线如图所示，图中 时，时， ，试，试确定闭环不稳定极点的个数。确定闭环不稳定极点的个数。解解 因为因为 ，需在低频处，需在低频处由由 曲线向上补作曲线向上补作 的的虚直线于虚直线于 ，如图所示。，如图所示。知知 ，按对

37、数稳定判据按对数稳定判据故闭环不稳定极点的个数为故闭环不稳定极点的个数为3 3。 169四、条件稳定系统四、条件稳定系统 若开环传递函数在若开环传递函数在s s右半平面的极点数右半平面的极点数P P0 0，当开环，当开环传递函数的某些系数传递函数的某些系数( (如开环增益如开环增益) )改变时，闭环系统的稳改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定是有条件的系统，称为定性将发生变化。这种闭环稳定是有条件的系统，称为条条件稳定系统件稳定系统。 若无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是不稳若无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是不稳定的，这样的系统称为定的，这样的系统称为结构不稳定系统结

38、构不稳定系统。170本节主要内容：本节主要内容： 1、相角裕度和幅值裕度的概念相角裕度和幅值裕度的概念 2 、举例说明、举例说明5.稳定裕度稳定裕度171系统开环传递函数系统开环传递函数G(s)H(s)=其频率特性为其频率特性为:开环频特开环频特GH(j)GH(j)距离距离( (-1-1，j0j0) )点的远近程度。点的远近程度。可衡量系统的相对稳定性。可衡量系统的相对稳定性。(-1，j0)点：点：频率特性的幅值是频率特性的幅值是1，幅角是幅角是-180。一、稳定裕度一、稳定裕度172 频频率率特特性性幅幅值值为为1 1时时的的相位与相位与-180-180的差值。的差值。相位裕度相位裕度：.稳

39、定裕度在幅相图上的表示法稳定裕度在幅相图上的表示法幅值为时幅值为时, ,开环传递函数的频率开环传递函数的频率173ReIm0c1正相位正相位 裕量裕量G(j)ReIm0负相位负相位 裕量裕量G(j)c00时曲线不包围（时曲线不包围（-1，j0）点，点，系统稳定系统稳定 174相位为相位为-180-180时频率特性幅值的倒数。时频率特性幅值的倒数。幅值裕度幅值裕度h h：开开环环传传递递函函数数与与负负实实轴相交的频率轴相交的频率1752.2.稳定裕度在对数坐标图上的表示法稳定裕度在对数坐标图上的表示法相位裕度相位裕度：幅值裕度幅值裕度h(db):h(db):176c正幅值裕量正幅值裕量正相位裕

40、量正相位裕量xh120lg0-90-180 L()/dB()c负幅值裕量负幅值裕量负相位裕量负相位裕量xh120lg0-90-180 L()/dB()稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。工程上：工程上： =30。60。，A( )0.5，即即L6dB。177稳定裕度在极坐标图和对数坐标图上的表示法：稳定裕度在极坐标图和对数坐标图上的表示法： =0 =0 = =Im cf f ( c) g-1Re c g

41、稳定系统稳定系统1/Rf f ( c)Im c =0 =0 = = g-1Re不稳定系统不稳定系统 c g1/R178R(sR(s) )C(sC(s) )例例1 1试求一单位反馈控制系统试求一单位反馈控制系统, ,当当K K=10=10和和K K =100 =100时时, ,系统的相角裕度和幅值裕度。系统的相角裕度和幅值裕度。w w c cw w g g0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 205 10 200.05 0.1 0.2 0.5 1 2 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 205 10 202 2、K K100

42、100由图可得系统的相由图可得系统的相角裕度和幅值裕度角裕度和幅值裕度分别为分别为 = -25= -25 h h= -12= -12dbdb1 1、K K1010由由图图可可得得系系统统的的相相角角裕裕度度和和幅幅值值裕裕度度分别为分别为 =21 =21 h h=8=8dbdb20lg2=6db20lg2=6db20lg20=26db20lg20=26db179辅助计算辅助计算( (K K=10=10时时) )相角裕度：相角裕度：幅值裕度：幅值裕度：180例例2已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数,求系统的幅求系统的幅值裕量和相位裕量值裕量和相位裕量.G(s)H(s)=1S(S+1)(

43、0.1S+1)解：解：G(j)H(j)=j(j+1)H(j+10)10ReIm0Kg1-1G(j)绘制出系统奈氏图绘制出系统奈氏图:求曲线与实轴的交点求曲线与实轴的交点:j(j+1)H(0.1j+1)1=(10-12)+j110)-j11+1)(10-2=(10-2) -(j11)2-110 -j10(10-2)2=+1104+100-1102=10(10-2)+1104+1002-j=P()+jQ()令：令：Q()=0得：得： x =3.16可得幅值裕量：可得幅值裕量：1h=1P(x)=11令：令：G(jc)H(jc)=1得：得：c =0.784=180o+(c)=180o-90o-tg-1

44、0.78-tg-10.10.78 =47.4o181例例3某位置控制系统的结构如图。试绘制某位置控制系统的结构如图。试绘制系统开环的伯德图，并确定系统的相系统开环的伯德图，并确定系统的相位稳定裕量位稳定裕量。r(s)c(s)10S(0.25S+1)(0.1S+1)解：解： 绘制出系统伯德图如图绘制出系统伯德图如图:1826.32-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec10S(0.25S+1)(0.1S+1)G(s)=L()/dB104()-2002040-180 -900 由图用近似计由图用近似计算式可确定算式可确定c。0.25c2101c=6.32=180o+(c)=180o-

45、90o-tg-10.256.23-tg-10.16.23=90o-57.67o-32.3o=0.03o183例例5 512 12 已知单位反馈系统已知单位反馈系统设设K K分别为分别为4 4和和1010时，试确定系统的稳定裕度。时，试确定系统的稳定裕度。解：解： 可得可得K=4K=4时时 184K=10 K=10 时时分别作出分别作出K=4K=4和和K=10 K=10 的开环幅相曲线即闭合曲线的开环幅相曲线即闭合曲线 ，如图，如图所示。所示。由奈氏判据知：由奈氏判据知： K=4 K=4 时，系统闭环稳定，时，系统闭环稳定， ； K=10 K=10 时，系统闭环不稳定，时，系统闭环不稳定， 。

46、185例例5 51414 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 试确定系统开环增益试确定系统开环增益K K5 5和和K K2020时的相位裕度和幅值裕度。时的相位裕度和幅值裕度。 解：解：由系统开环传递函数知，转折频率为由系统开环传递函数知，转折频率为 ， 。按分段区间描述方法，写出对数幅频渐近特性曲线的表达式为按分段区间描述方法，写出对数幅频渐近特性曲线的表达式为 186205187 当当K K5 5时，要满足时，要满足 ， 只能在区间只能在区间11，1010，且且 ，则，则 当当K K=20=20时，同理可得时，同理可得 ， ， 。由前面知由前面知求得求得 。 0018

47、01 . 0arctanarctan90)(-=-=xxxwwwj17. 3=xw188可求得当可求得当K K5 5时，时，h hL(L(x x) ) 20lgK/ 20lgK/ x x2 26dB6dB； 当当K K2020时，时，h h L(L(x x) ) 6dB6dB。绘制绘制K K5 5和和K K2020时对数频率特性曲线，如前面图所示。从时对数频率特性曲线，如前面图所示。从图中也可概略读出图中也可概略读出K K5 5和和K K2020时的幅值裕度。显然，当时的幅值裕度。显然，当K K5 5时时h h 0dB, 0dB, ，该闭环系统稳定；而当，该闭环系统稳定；而当K K2020时时

48、h h 0dB0dB， ，故该闭环系统不稳定。，故该闭环系统不稳定。 189稳定裕度概念使用时的局限性稳定裕度概念使用时的局限性1.1.在高阶系统中，奈氏图中幅值为在高阶系统中，奈氏图中幅值为1 1的点或相角为的点或相角为-180-180。的点可能不止一个，这时使用幅值和相角稳定裕度可能会的点可能不止一个，这时使用幅值和相角稳定裕度可能会出现歧义；出现歧义；2.2.非最小相位系统不能使用该定义；非最小相位系统不能使用该定义；3.3.有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近近(-1,j0)(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。点

49、，这时闭环系统的稳定性依然不好。190稳定裕度的适用条件：系统为最小相位系统稳定裕度的适用条件：系统为最小相位系统求：求：开环传函；开环传函；幅值裕度和相位裕度幅值裕度和相位裕度判定系统稳定性判定系统稳定性例：最小相位系例：最小相位系统开环幅频特性统开环幅频特性如图示。如图示。191(1)(1)设传函设传函 求求1 1：求求K K：K=100192h= -20lg17.4= -25db（2 2）求幅值裕度和相位裕度）求幅值裕度和相位裕度系统不稳定系统不稳定193 5.5.频域性能指频域性能指标标 本节主要内容：本节主要内容： 1 控制系统的频带宽度控制系统的频带宽度 2 系统带宽的选择系统带宽

50、的选择 3 确定闭环频率特性的图解方法确定闭环频率特性的图解方法 4 闭环系统频域指标和时域指标的转换闭环系统频域指标和时域指标的转换194一、控制系统的频带宽度一、控制系统的频带宽度频带宽度频带宽度 当闭环幅频特性下降到当闭环幅频特性下降到频率为零频率为零时的分贝值以下时的分贝值以下3 3分分贝时，对应的频率称为带宽频率贝时，对应的频率称为带宽频率 b b。3 3L L( ( ) ) (0(0， b b)-)-系统带宽系统带宽195二阶系统频域指标与时域指标的关系二阶系统频域指标与时域指标的关系 谐振峰值谐振峰值 谐振频率谐振频率带宽频率带宽频率截止频率截止频率相角裕度相角裕度超调量超调量调

51、节时间调节时间196高阶系统频域指标与时域指标的关系高阶系统频域指标与时域指标的关系谐振峰值谐振峰值超调量超调量 调节时间调节时间 197 频率特性法是通过系统的开环频频率特性法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的频域性能指率特性和闭环频率特性的频域性能指标间接地表征系统瞬态响应的性能。标间接地表征系统瞬态响应的性能。198常将开环频率特性分成常将开环频率特性分成低、中、高低、中、高三个频段。三个频段。三、开环频率特性与系统性能的关系三、开环频率特性与系统性能的关系L()/dB-40dB/dec-40dB/dec-20dB/decc21低频段低频段高频段高频段中频段中频段0199低频段的斜

52、率低频段的斜率1低频段低频段 低频段低频段开环增益开环增益K越大，积分环节数越越大，积分环节数越多，系统稳态性能越好。低频段反映了系统多，系统稳态性能越好。低频段反映了系统的的稳态性能稳态性能。G(s)=sKG(j)=(j)K低频段由积分环节和比例环节构成：低频段由积分环节和比例环节构成：低频段的高度低频段的高度K200低频段的对数频率特性为：低频段的对数频率特性为：L()=20lgA()=20lgvK=20lgK-v20lgL()/dB0KKK对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线=0=1=2-20 对数幅频特性曲对数幅频特性曲线的位置越高，开线的位置越高，开环增益环增益K 越大，斜越大，斜率越负

53、，积分环节率越负，积分环节数越多。系统稳态数越多。系统稳态性能越好。性能越好。201 2. 中频段中频段 截止截止频率频率c附近的区段为中频段附近的区段为中频段。它它反映了系统动态响应的平稳性和快速性（反映了系统动态响应的平稳性和快速性（动动态性能态性能）。）。 （1）截止频率）截止频率c与动态性能的关系与动态性能的关系设系统设系统中频段斜率为中频段斜率为20dB/dec且中频且中频段比较宽，如图所示。段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲线可近似认为整个曲线是一是一条斜率为条斜率为-20dB/dec的直线。的直线。202中频段对数幅频特性曲线中频段对数幅频特性曲线0+20-20dB/deccL

54、()/dB-20开环传递函数：开环传递函数： G(s)=SKSc闭环传递函数为：闭环传递函数为：=ScSc11+S+1c1(s)=G(s)1+G(s)相当于一阶系统相当于一阶系统调节时间：调节时间：cts3T=3在一定条件下，在一定条件下，c越大，越大，ts就越小，就越小，系统响应也越快。此时，截止频率系统响应也越快。此时，截止频率c反反映了系统响应的快速性。映了系统响应的快速性。203（2）中频段的斜率与动态性能的关系）中频段的斜率与动态性能的关系设系统中频段斜率为设系统中频段斜率为-40dB/dec，且中，且中频段较宽，频段较宽，可近似认为整个曲线是一条斜可近似认为整个曲线是一条斜率为率为

55、-40dB/dec的直线。的直线。0L()/dB-40dB/dec+20-20c G(s)=S2KS2c2开环传递函数：开环传递函数：闭环传递函数为：闭环传递函数为：S2c2(s)=G(s)1+G(s)=S2c21+c2S2+c2=系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。中频段斜率为中频段斜率为-40dB/dec，所占频率区，所占频率区间不能过宽，否则间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。系统平稳性难以满足要求。通常，取中频段斜率为通常，取中频段斜率为-20dB/dec。2043 高频段高频段 高频段反映了系统对高频干扰信号的高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，

56、系统的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。间常数，对系统动态性能影响不大。L()=20lg|G(j)|0|G(j)|1|G(j)|1+G(j)|G(j)|(j)|=一般一般即即205补充：利用补充：利用MATLABMATLAB绘制频率特性曲线绘制频率特性曲线一、绘制一、绘制Bode图图已知已知:，绘制系统的，绘制系统的Bode图。图。num=1;den=1,0.2,1;bode(num,den)w=logspace(-1,2);bode(num,den,w)gridon;206二、绘制二、绘制Nyquist图图绘制系统绘制系统的奈奎斯特图的奈奎斯特图(Nyquist图图)。num=2,5,1;den=1,2,3;nyquist(num,den)207三、求系统的相角裕度和幅值裕度三、求系统的相角裕度和幅值裕度已知已知:，求系统的相角裕度和幅值裕度。，求系统的相角裕度和幅值裕度。num=1;den=1,0.4,1;bode(num,den)g,p,wg,wp=margin(num,den)g=Infp=32.8443wg=Infwp=1.3567208