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1、王家臣矿山压力研讨方法1实际分析方法2模拟实验方法3数值计算方法 有限元 边境元 离散元 有限差分第一章 弹性力学根底任何弹性体都占有三维空间,在载荷或温度等作用下,弹性体内产生的应力、应变、位移等必然是三维的,普通来说,它们都是空间坐标x、y、z的函数,这样的问题称为空间问题。从空间弹性体中恣意取出一个六面单元体，那么一个单元体共有六个独立的应力分量和六个独立的应变分量。应力分量:x，y，z，zx = xz ，xy =yx，zy =yz 应变分量: x，y，z， zx = xz ， xy = yx， zy = yz 1.1 空间问题的根本方程yxzxyzzyxzyxzyzxxydxdydz单
2、元体边长分别为:dx dy dz ,每个面上有三个应力的分量，其中xz表示x面上z方向上的剪应力。且有:zx = xz ， xy = yx，zy = yz 。任取一空间六面单元体xyyxyx xy yxdx弹性体在外载作用下处于平衡形状时,弹性体内恣意一点的力都应处于平衡形状,根据恣意点对各个坐标轴的力与矩的之和为零的平衡关系有:弹性体内恣意点平衡方程弹性体的边境处也必需满足平衡方程(又称边境条件)其中,为弹性体内单位体积的体积力分量;为弹性体边境处单位面积的力在各坐标轴投影。弹性体内恣意点的位移必需延续,即不能撕裂,也不能重叠，有弹性体内恣意点的位移和应变之间需求满足关系,(又称几何方程其中
3、:u、v、w是在x、y、z方向上的位移分量。对于弹性体，结合应力与应变关系的方程，称为胡克定律，也称为本构关系,或应力应变关系。剪切弹性模量G不是独立的常数，它与弹性模量E和泊松比的关系:1.2 平面问题的根本方程假设弹性体有特殊的尺寸,如:一个方向的尺寸远大于或小于另外两个尺寸,并且有特殊的外力分布,这时空间问题可以简化为平面问题,只需调查平行于某一平面的应力、应变和位移，这些量仅仅是两个坐标，如x、y的函数。平面应变问题xyyx长直巷道长直挡土墙平衡方程边境条件几何方程胡克定律可以证明:上述应力、应变只与x、y有关。除上述所列的应力应变分量外,其他均为零。平面应力问题yxtyz平面应力问题
4、的平衡方程、边境条件和几何方程与平面应变的一样,但是胡克定律有所差别：1.3 外力的功与应变能Pl有一杆受轴向力P作用，长度l，断面面积F，弹性模量E，与P力对应的伸长量。由胡克定律：普通情况下，假设载荷：那么伸长量：1外力的功PP+ dP+d在获得微小增量过程中,载荷平均值:在获得微小增量过程中,载荷所做的功:略去二阶小量:运用载荷与位移成正比关系:当P从零添加到任一值Pi时,所做的功为:PPiiddP运用这一简单公式留意两点:(1)位移i必需是力Pi作用点沿力Pi方向的位移;(2)力与位移都是分别从零添加到Pi、i值的.2应变能弹性体在外力作用下弹性体在外力作用下, ,会产生变形，外力在弹
5、会产生变形，外力在弹性体变形过程中性体变形过程中, ,对弹性体做功对弹性体做功, ,同时同时, ,弹性体弹性体的变形也会积存能量，产生变形能的变形也会积存能量，产生变形能, ,通常称为通常称为应变能应变能, ,或弹性位能或弹性位能, ,在数值上在数值上, ,弹性体所积存弹性体所积存的应变能等于外力对弹性体所做的功。的应变能等于外力对弹性体所做的功。、 D D分分别称称为应变列列阵、应力列力列阵、弹性矩性矩阵。弹性体所积存的应变能：弹性体所积存的应变能：D是弹性矩阵,是结合应变列阵与应力列阵关系的矩阵,可以从胡克定律中获得.1.4 虚功原理(虚位移原理)一受力的弹性体处于平衡形状时一受力的弹性体
6、处于平衡形状时, ,假设给它恣意微小的、实践假设给它恣意微小的、实践约束所答应的虚位移约束所答应的虚位移, ,并同时在弹性体内产生虚应变时，膂力并同时在弹性体内产生虚应变时，膂力与面力在虚位移上所做的虚功等于整个弹性体内的虚应变能与面力在虚位移上所做的虚功等于整个弹性体内的虚应变能. .力学中的普遍原理虚位移:恣意微小的、约束条件所允许的假想位移.虚应变:由虚位移所引起的微小应变.虚功:在虚位移发生过程中,真实外力所做的功.*虚位移固定端不能有虚位移虚功方程(虚位移方程)：是受力点在x、y、z方向上的虚位移分量。是虚应变分量。分别是不同坐标方向的单位体积力和单位面积力分量。虚应变能,由于给定需
7、位移时，真实的力是先存在的,所以没有1/2面力的虚功膂力的虚功平面问题的虚功方程(虚位移方程)：用矩阵表示的平面虚功方程：第二章 有限单元法简单引例qLdxxx有一受自重作用的等截面杆,上端固定,下端自在.单位杆长的重力q,杆长L,横截面面积A,杆的弹性模量E,求杆各截面上的应力.该问题资料力学有准确答案。恣意x截面开场取一微段dx，令该截面上的轴力为N(x),那么该微段的伸长量为:任一x截面的轴向位移:2.1 2.1 简单引例的实际解简单引例的实际解由几何方程:由胡克定律:上述资料力学的准确解。这个例子是先求位移上述资料力学的准确解。这个例子是先求位移, ,然后很然后很容易求得应变和应力容易
8、求得应变和应力, ,这种先求位移这种先求位移, ,然后由位移求应然后由位移求应变和应力的方法变和应力的方法, ,称为弹性力学解题的位移法称为弹性力学解题的位移法. .由于:任一x截面的轴向位移:2.2 2.2 引例的有限元解引例的有限元解1 1划分单元，确定单元的位移函数划分单元，确定单元的位移函数R2R1R3R4L/3L/3L/33142x把杆分成假设干小段(长度不一定相等),把每个小段的重力等效地移置到分点上去,称为结点载荷.分点和小段分别称为结点和单元.该例子分成3个等长的单元,共有4个结点.xuijuiujue=1+2xo由准确解知道,无论杆怎样分割,每个单元的位移都是x的二次函数,但
9、是单元足够短,结点较多,对每个单元可以用线性函数近似地描画它的位移。eij表示e单元,i、j为其两端结点编号.设单元位移函数为:ue=1+2x， 1、2 为待定系数对于单元结点有:12记:3与x成直线关系,它们反映了单元的位移形状,所以称其为形函数.令:形函数矩阵:结点位移列阵:单元位移列阵:2 2经过载荷移置确定节点载荷经过载荷移置确定节点载荷把单元载荷移置到结点上的根本原那么是静力等效原那么:在恣意给定的虚位移上,移置前单元载荷所做虚功等于移置后结点载荷所做的虚功.利用虚功原理把单元的重力等效移置到结点上去,对于单元eij来说,假设把单元的重力移置到节点i,j上,节点载荷分别用Rie、Rj
10、e表示,如今那么要计算Rie、Rje的大小.先看Rie。设单元eij发生这样的虚位移,结点i沿x方向挪动一个单位,而节点j不动,即:ijux11RieRje这相当于把单元看作i端自在,j端固定铰支,在重力作用下的压杆.单元虚位移也选为线性函数.与真实位移具有同样的形函数.单元恣意点的虚位移列阵单元结点的虚位移列阵由单元重力所做的虚功:Rie所做的虚功为 1Rie, Rje不做功,由于j点不动,没有虚位移. 由静力等效原那么,单元重力移置到i点的结点载荷:再看Rje,设:单元的结点载荷列阵:本例中,R1=R2=R2=R3=R3=R4=QL/6再思索四处于固定端的结点1,还受有约束反力R=-qL,
11、于是单元载荷移置后,各结点的结点载荷分别为:3 3确定单元应变矩阵、应力矩阵、单元刚度矩阵确定单元应变矩阵、应力矩阵、单元刚度矩阵用几何方程、物理方程与虚功方程分析单元的应变、应力、和节点受力与结点位移的关系。由几何方程及B称为应变矩阵.由物理方程:G称为应力矩阵.应力矩阵反映了单元的应力与结点位移之间的关系上述是用节点位移表示的单元应变和单元应力,下面经过虚功原理分析单元的结点受力与结点位移的关系.直杆分成三个单元后,相邻单元间的作用力经过结点来传送,把结点对单元和单元对结点的作用力统称为接结点力.规定结点i、j对单元作用的结点力Vi、Vj，沿x轴正方向为正。对单元来讲,结点力为外力.结点力
12、列阵:jViuiix那么对单元来讲,外力的虚功:而内力的应变能:根据虚功原理:由:单元的虚位移与结点位移有类似的关系:根据虚功原理:由于虚位移是恣意的,所以,可取为恣意值.有:根据虚功原理:假设记:单元刚度矩阵由应变矩阵B与应力矩阵G,可计算单元刚度矩阵其中,r,s=i,j,当r=s时,取+号,而rs时,取-号.单元结点力:3 3构成总体刚度矩阵构成总体刚度矩阵, ,建立以结点位移为未知量的建立以结点位移为未知量的线性代数方程组线性代数方程组一切结点在单元对结点的结点力与结点载荷共同作用下,应处于平衡形状,所以以结点为分别体可列出结点的平衡方程.由于单元对结点的结点力与结点对单元的结点力互为作
13、用力与反作用力,Vi(e)、Vj(e)分别表示结点i、j作用在单元(e)上的界结点力,那么单元(e)作用在结点i、j上的结点力分别为：-Vi(e)、-Vj(e)，各结点受力情况见以下图.(1)(3)(2)1234V1(1)R1(1)R结点1V2(1)V2(2)R2(2)结点2R2(1)V3(2)V3(3)R3(3)结点3R3(2)V4(3)结点4R4(3)建立各结点的平衡方程:结点1:结点4:结点3:结点2:写成矩阵的方式:结点2单元1结点4结点3结点1单元3单元2即:假设对详细单元,用补充零的方法,把各单元的刚度矩阵升阶到44单元(e)=1结点 i=1 j=2单元(e)=2结点 i=2 j=
14、3单元(e)=3结点 i=3 j=4各结点的节点力相加,获得结点位移为未知量的线性代数方程组总体刚度矩阵，总体结点位移列阵,总体载荷列阵由于各单元的长度均为 L/3，所以可得:r=s时, 取+,否那么取-上述方程组不能直接求解,由于是奇特矩阵(任一行或任一列一切元素之和为零),有无穷多组解,这就要思索位移边境条件,修正总体刚度矩阵.4 4位移边境条件处置位移边境条件处置边 境 条 件力的边境条件:无论边境上是集中力还是面力都需求按静力等效原那么移置到结点上成为结点载荷位移边境条件是思索物体是如何被支承在空间的给定边境条件会对包括总体刚度矩阵在内的线性方程组进展修正下面看普通情况的处置过程写成线
15、性方程组方式设给定边境条件 为知这个联立方程组只需u1、u2、u3三个未知量,前三个方程就足够了,第四个方程是多余的,可写成:写成矩阵表达式给定位移边境条件后,总体刚度矩阵有两点修正:1K44=1，R4=2刚度矩阵第四行中,除K44外,其它元素均为零.假设, =0，那么上式降阶为:但u4=0未包括在算式中该例的实践情况是,结点1遭到位移约束,u1=0,所以按照前面的方法是从总体算式中划去第一行和第一列的全部元素:5 5解线性代数方程组解线性代数方程组解上述线性代数方程组,可得结点的位移:这是有限元计算结果代入资料力学的任一x截的轴向位移公式:将u2u3u4ux资料力学准确解有限元近似解资料离力
16、学经典解资料离力学经典解和有限元近似解在和有限元近似解在单元结点处的值是单元结点处的值是一样的一样的单元的应变矩阵:单元的应力矩阵:单元1单元2单元3前面是各单元的平均应力,也正好是资料力学的单元中点应力,这阐明了有限元的有效性和正确性.x单元1单元2单元3实际解有限元解6 6有限元的根本步骤有限元的根本步骤第一步，延续体的离散化：把延续体分割成许多有限大小的单元，并把单元载荷等效地移置到结点上成为结点载荷。把延续体离散为一个仅由结点衔接、仅靠结点传力、仅受结点载荷,也仅在结点处受约束的单元组合体,一切结点都假想为铰链，仅传送集中力,不传送力矩。第二步,单元特征分析:以结点位移为根本未知量,设
17、选一个单元位移函数,并用结点位移表示单元位移等几何方程物理方程虚功方程位移函数总之，先离散延续体总之，先离散延续体, ,然后以结点位移为根本未知然后以结点位移为根本未知量量, ,分析单元特征，建立并求解线性代数方程组分析单元特征，建立并求解线性代数方程组, ,最最后由结点位移求单元应力后由结点位移求单元应力, ,这种以结点位移为根本这种以结点位移为根本未知量的求解方法未知量的求解方法, ,称为位移法。称为位移法。第三步，总体构造合成：经过结点的平衡方程并结合边境条件，建立以结点位移为未知量的以总体刚度矩阵为系数的线性代数方程组 ,求解这个线性代数方程组,进而由 求得单元应力。第三章 三角形单元
18、对于平面和空间问题,在进展有限元计算时,与前面的一维杆单元分析类似,同样将延续体离散成仅在结点处铰接的单元组合体,但是延续体离散时,可以采取多种方式的单元三角形单元矩形单元八结点斜直边四边形单元斜直边四边形单元三角形单元是最常用和最简单的平面单元三角形单元是最常用和最简单的平面单元3.1 3.1 延续体的离散化延续体的离散化RLBHA计算区域算区域边境境应力力变化幅度小于化幅度小于5%5%为界界R.E.GoodmanR.E.Goodman指出指出: : L5R;AH,B6HL5R;AH,B6H对于延续体来说,在相邻单元的公共边境上,本来位移和应力都是延续的,如今假定各单元只在公共结点上相互结合
19、起来,所以两相邻单元只能保证在公共结点上具有一样的位移,计算结果是在相邻单元公共边境上的位移和应力能够是不延续的.因此会带来误差.为了保证必要的计算精度,就应加密网格,使整个延续体内保证位移协调的结点添加,在应力集中区,如巷道、采场、边坡面附近，应部分加密网格,同时在单元的位移函数选取上进展研讨,以添加计算精度。对于轴对称问题,可利用对称条件，使计算区域成倍减少。采用三角形单元时,每个内角都要小于120，最好为60。3.2 3.2 位移函数位移函数jimvjujvivmumui(e)yx设恣意点的位移都是坐标的线性函数,即:写 成 矩阵 方 式位移函数应满足三个条件,以便在单元尺寸逐渐取小时可
20、以收敛于正确答案:当单元逐渐取小时,单元的应变趋于常量;单元产生的刚体位移不引起单元应变发生变化;保证单元内部位移的延续性和相邻单元公共边境上的位移协调经证明,前面选择的位移函数满足上述条件1jimvjujvivmumui(e)yx(x,y)vu从离散的延续体中,恣意选一单元来分析,设单元编号为e,三个结点按逆时针编号:i,j,m.相应坐标为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym).单元的位移函数即适用单元内部,也适用单元结点,所以对于单元结点:(2)(3)上式可以用来确定用结点坐标和结点位移表示的各个系数2式写成矩阵方式记:A的行列式:A的伴随矩阵:Se是三角形单元的面积的元素是A中对
21、应元素的带代数余子式.A*令:由矩阵求逆公式:将A-1代入结点位移表达式,有:45将4、5代入1，得单元位移:令:单元位移:单元位移写成矩阵方式:单元位移形函数.单元结点位移列阵3.3 3.3 单元载荷移置单元载荷移置把膂力、面力、单元自重等按照静力等效原那么移置到单元结点成为结点载荷.静力等效原那么:单元的原载荷与移置后的结点载荷在任何虚位移上的虚功相等。Jm边上作用有均布且垂直边上的面力,如m点先有个x方向的虚位移,um=1,其他的虚位移为零.利用静力等效原那么进展计算.yxRiyRjxRmxRmyRjyRixxijmqyijm载荷移置结果ijmlqijmlqwijm均布载荷三角分布载荷单
22、元自重载荷载荷移置的普遍公式1集中力设单元e中恣意一点(x,y)受有集中力P,其分量为Px Py,即:假想该单元发生一个微小的虚位移,其中集中力作用点(x,y)的相应虚位移为:而结点相应的虚位移为 .按着静力等效原那么,单元的原载荷与移置后的结点载荷在任何虚位移上的虚功相等,有:由前面得知:(1)(2)(3)由于 的恣意性单元载荷列阵:2体积力设单元e有单位体积力p,其分量为px , py,将微分体积tdxdy上的体积力ptdxdy当作集中力P,这样利用前述集中力的积分可得:单元载荷列阵:3面力单元载荷列阵:设单元e的一边上有分布的单位面积力p,其分量为px , py,将微分面积tds上的面力
23、pds当作集中力P,这样利用前述集中力的积分可得:3.4 3.4 单元应力计算单元应力计算在选设了单元位移函数,并用结点位移确定其待定系数后,就可以经过几何方程用结点位移表示的单元应变,再经过物理方程用结点位移表示的单元应力.1单元应变由平面问题几何方程B成为单元的应变矩阵.由前面知识:2单元应力经过物理方程用结点位移表示单元的应力.平面应力问题:或记为:GG称为应力矩阵称为应力矩阵平面应变问题:3.5 3.5 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结点力与结点位移的关系:平面应力问题:平面应变问题:3.6 总体刚度矩阵合成利用结点平衡方程:结点力等于结点载荷建立结点平衡方程,构成总体刚度矩阵.总体刚度矩阵
24、的有关元素是由相关单元刚度矩阵的对应元素之和构成.总体刚度矩阵具有三个重要性质:(1)对称性.(2)奇特性.(3)稀疏性.对总体刚度矩阵要进展零位移约束处置,构成可以求解的线性代数方程组,求解出各结点位移,然后求单元应变和应力.3.7 实例2 m1 m一端固支的板,自在端作用有均布载荷q,长2m,宽1m,=1/3.如今进展有限元求解.1延续体的离散化(1)1342(2)yxR3xR2x离散成4个结点,2个单元的离散体.由静力等效原那么求出结点载荷:2零位移约束处置先进展零位移约束处置可以减少计算量.普通情况有:由于，进展零位移约束处置时,划去、行和列后有:3单元刚度子矩阵计算单元面积：单元1123：单元2134：4总体刚度矩阵构成对 称5线性代数方程组的建立与求解对 称求解6单元应力分量计算应力矩阵计算单元(1)123单元(2)134单元应力计算资料力学准确解,板内恣意点的应力为:二者相差很小!第四章 岩膂力学中的特殊问题弹性矩阵等需求重新构建,要引入坐标变换等.4.1 层状岩体的各向异性4.2 “无拉力分析4.3 节理单元LSxy无厚度节理单元有厚度节理单元(作为矩形单元处置)
