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1、二阶变系数微分方程的常数变易法平移法级数法题型和题法系统讲座一、二阶变系数微分方程常数变易法题型一已知y(x)+p(x)y，+q(x)y0的通解Y(x)=cy+cy,1122求y，(x)+p(x)y，+q(x)y=f(x)的通解y解答方法：令y，(x)十p(x)y，+q(x)y=f(x)的特解为|y*=vi(x”+爲(心|后得y=ci人+c2y2-Jyf(x)2,yy12yy12dx+y2Jyf(x”1dxyy12yy12【例】已知x2y-xy，+y=0的通解为Y(x)=cx+cxlnIxl,12求x2y-xy，+y=x的通解y。111解：x2y，-xy，+y=xny，-y，+y=xx2xy，
2、-1y，+1y=，求得xx2x令Y(x)=v(x)x+v(x)xlnx代入y，12y=cx+cxInx+Y(x)12pxInx-=cx+cxInx-xJ12xdx+xInxxxInx11+lnx1x-xdxxlnx1+lnx=cx+cxlnx+1xln2x122题型二|已知y，(x)+p(x)y，+q(x)y=0的一个特解y,求y，(x)+p(x)y，+q(x)y=f(x)的通解y解答方法：令|y=u(x)y代入y，(x)+p(x)y，+q(x)y=f(x)可求得通解y。11【例】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。【例】已知y=x是x2y，(x)-2xy，+2y=0的一个
3、特解，求x2y，(x)-2xy，+2y=2x3的通解y。1解：y=u(x)y=u(x)xny，=xu，+u;y，=2u，+xu，1u=0nu=x2+cx+c(y=x?y=x)321ny=ux=x3+cx2+cx1题型三已知y(x)+p(x)y,+q(x)y0的一个特解y，1求y，(x)+p(x)y，+q(x)y0的另一个特解y及通解Y(x)。2解答方法1：令yu(x)y代入y，(x)+p(x)y，+q(x)y0可求得通解u(x)，再代入1l解答方法2(普适降阶法)：令yyjz(x)dx代入y，(x)+p(x)y，+q(x)y0可求得21yu(x)y。1yy丄-p(x)dxdx21y21Y(x)
4、cy+cydx【例】已知yex是方程(2x-l)y(x)-(2x+1)y，+2y0的一个特解，求此方程的另一个特解y和12通解Y(x)。解：令yu(x)exny，ex(u，+u);y，ex(u，+2u，+u)代入(2x一1)y，(x)-(2x+1)y，+2y0(2x-1)u，+(2x-3)u，0up；up(2x-1)p，+(2x-3)p，0npc(2x-1)e-xnnuc(2x1)e-xdx-c(2xe-x+e-x+c)1nyuexcex+c(2x+1)23ny2x+12二、二阶变系数微分方程的平移法【例5】方程ia(x)+b(x)y+c(x)y2(1)只有在已知其中一个特解y*(x)时，才有
5、解y*a(x)+b(x)y*+c(x)y*2令yy*+z代入方程(1)得z2C(x)y+b(x)枝C(2x)zx这是一个伯努利方程，再令wz-1w-2C(x)y*+b(x)w一C(x)xe-Jp(x)dxdx+cep(x)dxyp(x)y+QwJ-c(x)e2C(x)y*+b(x)dxdx+aeJ2C(x)y*+0(x)tZx例6】yex+e2x2exy+y2解：观察y*ex是原方程的一个特解,dzdz11令yex+zn二z2n二dx_+c二xz二dxz2zC一x1nyex+C-x1类似的题有(1)e-xy1-e2x+2exy-y2(answer:y*ex,yex+)ex+c(2)x2y1+xy+x2y2(answer:y*,1x,1+1，x)x希望同学们自己联系完成结论。【例】y+y+e，xy=e，3x的解法。解：无法观察其特解，上述方法不能用首先令yy+e-x代入原方程jny，+y，+e2xy011再令te-xndy_也dxdtn竺dx2dtdyt1dxdtd(，tdtvdtdxdtIdL空=x2k1=x=xex2k!k!k=0k=0
