恒定电流的电场和磁场2课件

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1、第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场第三章第三章 静态电磁场静态电磁场II：恒定电流的电场和磁场：恒定电流的电场和磁场3.1 恒定电场的基本方程与场的特性恒定电场的基本方程与场的特性 1恒定电场恒定电场 而流通稳定直流的前提是：闭合面内不能有自由电荷的增减而流通稳定直流的前提是：闭合面内不能有自由电荷的增减又由又由麦克斯韦组的另一旋度方程麦克斯韦组的另一旋度方程而导电媒质的构成方程为而导电媒质的构成方程为由此可见，导电媒质中由此可见，导电媒质中(电源区域外电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。恒定电场具有无散无旋场。

2、电荷守恒定律电荷守恒定律第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场图图 扇形导电片中的恒定电流场扇形导电片中的恒定电流场 2 = 0 仿照静电场的处理，引入标量电位函数仿照静电场的处理，引入标量电位函数 (r)作为辅助场量，即作为辅助场量，即令令E = - ，可得电位，可得电位 满足拉普拉斯方程，即满足拉普拉斯方程，即例例1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为U0。试求导电片。试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。内电流场分布及其两端面间的电阻。解解：采用圆柱坐

3、标系，设待求场量为电位：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位 ，其边值问题为：，其边值问题为： 积分，得积分，得 =C1 + C2 由边界条件，得由边界条件，得故导电片内的电位故导电片内的电位 第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场电流密度分布为电流密度分布为对于图示厚度为对于图示厚度为t的导电片两端面的电阻为的导电片两端面的电阻为第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场2电功率电功率 图图 电功率的推导电功率的推导 在恒定电流场中，沿电流方向截

4、取一段元电流管，如图所示。在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电流密度该元电流管中的电流密度J可认为是均匀的，其两端面分别为两可认为是均匀的，其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，个等位面。在电场力作用下，dt时间内有时间内有dq电荷自元电流管的左电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为端面移至右端面，则电场力作功为dW = dU dq 于是外电源提供的电功率为于是外电源提供的电功率为故电功率体密度故电功率体密度或写成一般形式或写成一般形式 p = E J 第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电

5、场场 和和 磁磁 场场 平行板电容器板间距离为平行板电容器板间距离为d，其中媒质的电导率为，其中媒质的电导率为 ，两板，两板接有电流为接有电流为I的电流源，测得媒质的功率损耗为的电流源，测得媒质的功率损耗为P。如将板间距离。如将板间距离扩为扩为2d，其间仍充满电导率为，其间仍充满电导率为 的媒质，则此电容器的功率损耗的媒质，则此电容器的功率损耗是多少？如果是接有电压为是多少？如果是接有电压为U的电压源，重复上问题。的电压源，重复上问题。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场要在导电媒质中维持一恒定电场从而维持一恒定电

6、流，必须要在导电媒质中维持一恒定电场从而维持一恒定电流，必须将导电媒质与电源相接，由电源不断得提供维持电流流动所将导电媒质与电源相接，由电源不断得提供维持电流流动所需的能量。需的能量。1、电源、电源电源是一种能将其它形式的能量（机械能、化学能、热电源是一种能将其它形式的能量（机械能、化学能、热能等）转换成电能的装置。能等）转换成电能的装置。电源内部有将正负电荷分离电源内部有将正负电荷分离开来的力，从而使正负电极开来的力，从而使正负电极间电压恒定，也使与电源相间电压恒定，也使与电源相接的导体间的电压也恒定。接的导体间的电压也恒定。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定

7、定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场2、电源电动势、电源电动势局外力局外力局外场强局外场强电源电动势与局外场强电源内部：电源内部：含源导电媒质电流含源导电媒质电流电源电动势电源电动势局外场是非保守场局外场是非保守场第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场3不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件：类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的边界条件为边界条件为 J1n

8、= J2n 或或 en (J2 J1)=0 E1t= E2t 或或 en (E2 E1)=0对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律的折射定律P1J2en2J121第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场良导体与不良导体分界面上的边界条件良导体与不良导体分界面上的边界条件： 当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设 1 2，由折射，由折射定律可知，只要定律可知，只要 1 90 ，就有就有 2 0。这表明

9、，当电流由良导。这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体( 2 0)。换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看作为等位面。面可近似看作为等位面。 图图 由良导体由良导体( 1)到不良到不良导体导体( 2)的电流流向的电流流向P1J2en2J121第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场导体与理想介质分界面上的边界条件导体与理想介质分界面上的边界条件： 此时，由于此时，由于

10、Jc2n = 0，必然有，必然有Jc1n = 0；且；且E1t= E2t，电场强度的，电场强度的切向分量连续。应指出的是，虽然切向分量连续。应指出的是，虽然E1n=Jc1n / 1= 0，但，但E2n 0，其结果将使导体外表面处的电场强度，其结果将使导体外表面处的电场强度E2，与导体表面不相垂，与导体表面不相垂直，如图所示。然而，分量直，如图所示。然而，分量E2t与与E2n相比是极其微小的，因而相比是极其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去在研究导体外表面附近的电场时，可以略去E2t分量的影响。即分量的影响。即近似为静电场中导体的边界条件。也就是说，近似为静电场中导体的边界条件。

11、也就是说，当分析载有恒定当分析载有恒定电流的导体周围电介质中电场时，可以应用静电场分析方法电流的导体周围电介质中电场时，可以应用静电场分析方法。图图 输电线电场示意图输电线电场示意图+UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc112第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场两种有损电介质分界面上的边界条件两种有损电介质分界面上的边界条件：图图 两种有损电介质的分界面两种有损电介质的分界面PJ2J12, 21, 1如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有同时，还有同时，还有联立

12、求解，得分界面上自由电荷面密度为联立求解，得分界面上自由电荷面密度为第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场例例2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数和电导率分别为和电导率分别为 1， 1和和 2， 2，厚度分别为厚度分别为d1和和d2，外施恒定电压外施恒定电压U0，忽略忽略边缘效应。试求：边缘效应。试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；能量

13、密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。两层介质分界面上的自由电荷面密度。 由此可见，只有当两种媒质参数满足由此可见，只有当两种媒质参数满足条件时，其上表面自由电荷才为零，即条件时，其上表面自由电荷才为零，即 =0。 解解：(1) 忽略边缘效应，可以认为电容器忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件件 图图 非理想介质的平板电非理想介质的平板电容器中的恒定电流场容器中的恒定电流场2, 21, 1U0d2d1又有电压关系又有电压关系联立求解两式，得联立求解两式，得第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场I

14、III： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场(2)两非理想介质中的电场能量密度分别为两非理想介质中的电场能量密度分别为相应的单位体积中的功率损耗分别为相应的单位体积中的功率损耗分别为(3)分界面上的自由电荷面密度为分界面上的自由电荷面密度为图图 非理想介质的平板电非理想介质的平板电容器中的恒定电流场容器中的恒定电流场2, 21, 1U0d2d1第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分

15、布。的面电荷分布。不同媒质弧形导电片不同媒质弧形导电片解：解：第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场通解为：通解为：代入条件代入条件场强场强电荷面密度：电荷面密度：第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场3.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟1静电比拟法静电比拟法 将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较，可以看出，两者有如下表的对应关系。场相比较，可以看出

16、，两者有如下表的对应关系。均匀导电媒质中的恒定电场均匀导电媒质中的恒定电场无源区中均匀介质中的静电场无源区中均匀介质中的静电场 2 = 0 2 = 0第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场 显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位 、电场强度电场强度E和电流密度和电流密度Jc的分布将分别与静电场中的电位的分布将分别与静电场中的电位 、电、电场强度场强度E和电位移矢量和电位移矢量D的分布相一致。如果场中两种媒质分区的分布相一致。如果场中两种媒质分区均匀，当

17、恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：则两种场在分界面上的则两种场在分界面上的Jc 线与对应的线与对应的D线折射情况相同。根据线折射情况相同。根据以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用于另一种场。这就是静电比拟法。于另一种场。这就是静电比拟法。 由静电比拟法，有由静电比拟法，有第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电

18、电 场场 和和 磁磁 场场图图 同轴电缆中的泄漏电流同轴电缆中的泄漏电流SBAPb, U0oaJc 因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。即因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。即例例1：内外导体半径分别为：内外导体半径分别为a和和b的同轴电缆，如图所示导体间外施电压的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U0。试。试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。解解：（1）解法一：恒定电场分析法）解法一：恒定电场分析法 电场强度电场强度E和泄漏电流密度和泄漏电流密度Jc均只有径

19、向分量，作一半径为均只有径向分量，作一半径为 的同轴单位的同轴单位圆柱面，且令单位长泄漏电流为圆柱面，且令单位长泄漏电流为I，则，则第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场内外导体间电压为内外导体间电压为由此可知泄漏电流密度为由此可知泄漏电流密度为电缆的单位长绝缘电阻为电缆的单位长绝缘电阻为图图 同轴电缆中的泄漏电流同轴电缆中的泄漏电流SBAPb, U0oaJc第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场（2）解法二：静电比拟法）解法二：静电比拟法

20、 在同轴电缆分析中，已求得电场强度为在同轴电缆分析中，已求得电场强度为 故泄漏电流密度故泄漏电流密度同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为图图 同轴电缆中的泄漏电流同轴电缆中的泄漏电流SBAPb, U0oaJc第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场镜像法的比拟镜像法的比拟：恒定电场模拟静电场实验恒定电场模拟静电场实验 因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可以利用相应的电流场模型来

21、实测待求的静电场问题。以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场2接地电阻接地电阻 接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。计算接地接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。下面计算图示体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜像法得：埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜像法得： (a) 电流线J的分布 (b) 镜象法图示 图 半球形接地器 土壤土壤aai2i土壤第第

22、三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场深埋球形接地器深埋球形接地器深埋球形接地器深埋球形接地器第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场aobrIJAB rP图 跨步电压与危险区的分析3跨步电压跨步电压 电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地电力系统接地体一旦有电流通

23、过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值时，将步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。对于如威胁人的生命。对于如图所示图所示的半球形接地器，的半球形接地器， 由镜象法，地面上任意点由镜象法，地面上任意点P的电位为的电位为 如图绘出了地面电位分布。设人的跨如图绘出了地面电位分布。设人的跨步距离为步距离为b，在距半球中心距离，在距半球中心距离r点的点的跨步电压为跨步电压为设设U0为人体安全的临界跨步电压（通常小于为人体安全的临界跨步电压（通常小于50 70V），可），

24、可以确定危险区半径以确定危险区半径r0为为第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场3.3 恒定磁场的基本方程与场的特性恒定磁场的基本方程与场的特性1恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为媒质的构成方程为媒质的构成方程为 2恒定磁场的有旋性恒定磁场的有旋性在自由空间中，由基本方程可以得出，磁感应强度矢量在自由空间中，由基本方程可以得出，磁感应强度矢量B与传与传导电流密度导电流密度Jc之间的关系为之间的关系为恒定磁场为有旋、无源场恒定磁场为

25、有旋、无源场第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场I3I1lI2I40S 与激磁电流I间关系说明图图 环量上式表明，源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线上式表明，源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。利用斯托克斯定理，得安与电流源之间相互交链的基本特征。利用斯托克斯定理，得安培环路定律：培环路定律：图 环量 式中，电流式中，电流Ik 正负，取决于电流正负，取决于电流方向与积分回路绕行方向是否符方向与积分回路绕行方向是否符合右手定则。当方向相符时为正；合右手定则。当方向相符

26、时为正；反之取负值。如图，有：反之取负值。如图，有：3恒定磁场的无散性恒定磁场的无散性 基本方程还表明了恒定磁场的磁感应强度的散度处处为基本方程还表明了恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零，具有无散零，具有无散(无源无源)性。磁力线是无头无尾的闭合曲线，即性。磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。磁通连续性原理。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场4矢量磁位的引入矢量磁位的引入由亥姆霍兹定理，磁感应强度由亥姆霍兹定理，磁感应强度B(r)应为应为式中式中式中式中A称为矢量磁位。在称为矢量磁位。在SI单位制中，矢

27、量磁位的单位是韦伯单位制中，矢量磁位的单位是韦伯/米米(Wb/m)。需要说明的是矢量磁位。需要说明的是矢量磁位A不是一个物理量，不能被测不是一个物理量，不能被测量，仅是一个为简化计算引入的数学上的辅助矢量函数。对于量，仅是一个为简化计算引入的数学上的辅助矢量函数。对于不同形式的电流源，有：不同形式的电流源，有： 第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场体电流体电流Jc： 面电流面电流K： 线电流线电流I： 第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场

28、场5磁感应强度表达式磁感应强度表达式 上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数函数A的旋度。若已知的旋度。若已知Jc(r)，可以先计算矢量磁位，可以先计算矢量磁位A，然后再通，然后再通过计算过计算A旋度计算磁感应强度旋度计算磁感应强度B。即。即由矢量恒等式，得由矢量恒等式，得将上式代入将上式代入B，得，得第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场这正是毕奥这正是毕奥沙伐定律。由该定律可以直接计算电流源在自沙伐定律。由该定律可以直接计算电流源在自由空间

29、的磁感应强度由空间的磁感应强度B。对于不同形式的电流源，有：。对于不同形式的电流源，有：体电流体电流Jc： 面电流面电流K： 线电流线电流I： 第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场3.4 自由空间中的磁场计算自由空间中的磁场计算 思路一思路一：利用毕奥利用毕奥沙伐定律直接计算电流源在自由空间的磁沙伐定律直接计算电流源在自由空间的磁感应强度。或者使用真空中的安培环路定律。感应强度。或者使用真空中的安培环路定律。 思路二思路二：先求矢量磁位，再利用先求矢量磁位，再利用B=A，求磁感应强度。此外，求磁感应强度。此外，在无

30、电流分布的恒定磁场区域中，由于在无电流分布的恒定磁场区域中，由于H=0，也可以引入一，也可以引入一个类似于静电场标量电位函数的标量磁位个类似于静电场标量电位函数的标量磁位 m作为辅助函数，以作为辅助函数，以简化恒定磁场的计算。简化恒定磁场的计算。 1由毕奥由毕奥沙伐定律计算磁感应强度沙伐定律计算磁感应强度 应该注意，由毕奥应该注意，由毕奥沙伐定律计算磁感应强度时，积分均为沙伐定律计算磁感应强度时，积分均为矢量积分。矢量积分。而对于具有对称性场分布特征的问题，应用安培环而对于具有对称性场分布特征的问题，应用安培环路定律更加简单。路定律更加简单。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场III

31、I： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场图图 有限长直线电流有限长直线电流I I的磁场的磁场(a) 场点P距端点垂直距离为(b) 任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLdzIIdz (dz ,eR)RP(,0,0)eRz z1IP1P2P312212312o例例1：计算真空中载流：计算真空中载流I的有限长直导线所引起的磁感应强度。的有限长直导线所引起的磁感应强度。解解：首先，计算图：首先，计算图(a)所示场点所示场点P处的处的B；然后，推广至图；然后，推广至图(b)所示任意场所示任意场点点P1、P2和和P3 处的处的B的计算。的计算。(1)场点场点 P处的磁感应强度处

32、的磁感应强度 采用圆柱坐标系，取元电流采用圆柱坐标系，取元电流Idz ，在点，在点P处产生的处产生的dB为为第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场从而从而(2)场点场点P1、P2 和和P3 处的磁感应强度处的磁感应强度 基于场点基于场点P处处B的解答，不难理解图的解答，不难理解图(b)中任意场点中任意场点P1、P2和和P3 处的处的B分别为分别为图图 有限长直线电流有限长直线电流I I的磁场的磁场(a) 场点P距端点垂直距离为(b) 任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLdzIIdz (dz ,eR)RP(,0,0

33、)eRz z1IP1P2P312212312o第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场(3)推论：对于推论：对于P1点，若点，若L，则，则B为为 这正是应用安培环路定律的计算结果。这正是应用安培环路定律的计算结果。图图 有限长直线电流有限长直线电流I I的磁场的磁场(a) 场点P距端点垂直距离为(b) 任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLdzIIdz (dz ,eR)RP(,0,0)eRz z1IP1P2P312212312o第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电

34、电 场场 和和 磁磁 场场例2 无限大导体平面通有面电流无限大导体平面通有面电流 ,试求磁感应强度试求磁感应强度 B 的分布。的分布。解：导体平面放置在解：导体平面放置在XOZ面上，取宽度面上，取宽度 dx 的一条无限长元的一条无限长元电流，就可以看成无限长线电流电流，就可以看成无限长线电流根据对称性根据对称性 ,By = 0第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场例例3：计算真空中半径为：计算真空中半径

35、为a，载流为，载流为I的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。 解解 ：应用安培环路定律，得：应用安培环路定律，得 (a) 长直圆柱形铜导体截面(b) 导体内、外|B|的变化曲线I00aloBao图 无限长直圆柱形载流导体的磁场(1)导体内部导体内部( a)故有故有 圆柱导体内、外圆柱导体内、外B值随坐标值随坐标 的变化曲线示于的变化曲线示于图图(b)。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场图 长直载流导线的磁场LBdAAoP(x,y,0)zIdz dzLxyzR2由矢量磁位计算磁感应

36、强度由矢量磁位计算磁感应强度 由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位A，这使得在，这使得在一些问题中一些问题中A的计算比的计算比B的计算更加简单。的计算更加简单。 例例1：计算空气中长度为：计算空气中长度为2L的长直载流导线在空间的长直载流导线在空间P点的矢量磁位和磁感应强度。点的矢量磁位和磁感应强度。解解：取圆柱坐标系，由于电流沿：取圆柱坐标系，由于电流沿z轴方向，故矢量磁位只有轴方向，故矢量磁位只有z方向分量，即方向分量，即 当当L 时，可表示为时，可表示为从而得从而得与例与例1结果相符。结果相符。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII

37、： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场讨论讨论：从上例可以看出，尽管：从上例可以看出，尽管B的结果与例的结果与例1相同，但当相同，但当L时时A不存在。其原因在于，在我们给出的标量电位和矢量磁位的不存在。其原因在于，在我们给出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。但是，例的参考点选择在无限远处。但是，例2不满足这个条件，电流延不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这时，它们的参考点应选择在有限区域内的任伸到了无限远，这时，它们的参考点应选择在有限区域内的任意一

38、点。仍以例意一点。仍以例2为例讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修为例讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改为改为式中式中C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流I相距相距 0的的Q点为矢量磁位参考点，应有点为矢量磁位参考点，应有故有故有 P点的矢量磁位为点的矢量磁位为相应的磁感应强度为相应的磁感应强度为与上例结果相符。与上例结果相符。第第 三三 章章

39、 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场例例2：试求载流短铜线产生的磁感应强度：试求载流短铜线产生的磁感应强度 （r l） 。 位于坐标原点的短铜线解：解： r l，短载流导线可视作为一短载流导线可视作为一个线电流元个线电流元转化为球坐标系下转化为球坐标系下第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场例例3：图示无限长直平行输电线，半径为：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离为、线间距离为2b且远大于且远大于a。试计算。试计算矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁

40、通量。矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通量。图 无限长直平行输电线的磁场Q ox y z I I A P(0,-b,0)(0,b,0)120201解解：本例为平行平面磁场，故只需计算：本例为平行平面磁场，故只需计算xoy平面中任一场点平面中任一场点P处的矢量磁处的矢量磁位即可。由例位即可。由例1且设矢量磁位参考点位且设矢量磁位参考点位Q，则，则P点的矢量磁位点的矢量磁位A为为为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁位参考点选在原点上，则量磁位参考点选在原点上，则 01 = 02，得，得第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定

41、电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场穿过输电线间单位长的磁通量为穿过输电线间单位长的磁通量为另外，也可以应用安培环路定律计算，即另外，也可以应用安培环路定律计算，即与由矢量磁位直接计算结果相同。与由矢量磁位直接计算结果相同。 由本例可以看出：穿过任意曲面由本例可以看出：穿过任意曲面S的磁通量的磁通量 也可以直接利用矢量磁位也可以直接利用矢量磁位A在该曲面在该曲面S的曲线的曲线l上的环量来计算，曲面上的环量来计算，曲面S的法线方向与曲线的法线方向与曲线l的绕向满的绕向满足右手螺旋关系，即足右手螺旋关系，即第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流

42、的的 电电 场场 和和 磁磁 场场例例3：求图示半径为：求图示半径为a的载流小圆环（磁耦极子）在远处的矢量磁位和磁感应强度的载流小圆环（磁耦极子）在远处的矢量磁位和磁感应强度 解解：采用图示球坐标系。定义：采用图示球坐标系。定义为磁耦极子的磁矩。可见为磁耦极子的磁矩。可见A仅有仅有 方向分量且与方向分量且与 无关无关，为简化计算，我们将场，为简化计算，我们将场点选在点选在 =0的平面。如图所示取两个电流元，得的平面。如图所示取两个电流元，得式中式中第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场由于由于Ra，有，有所以所以第第

43、 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场3 3磁力线磁力线 与电力线类似，磁力线也可以形象地描绘磁场的分布。磁力与电力线类似，磁力线也可以形象地描绘磁场的分布。磁力线方程为线方程为B dl=0 平行平面磁场平行平面磁场：在直角坐标系中，：在直角坐标系中，B线满足的微分方程为线满足的微分方程为设设Jc =J ez，则，则A = Aez。由。由B=A，得，得代入磁力线方程，得代入磁力线方程，得第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场即即 dA = 0

44、所以所以 A=常量常量可见，在平行平面磁场中，可见，在平行平面磁场中，A的等值线即为磁力线（的等值线即为磁力线（B线）且等线）且等A线的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即线的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即轴对称磁场轴对称磁场：在圆柱坐标系下，：在圆柱坐标系下，B线满足的微分方程为线满足的微分方程为设设Jc=Je ，则，则A=Ae 。由。由B=A，得，得第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场代入磁力线方程，得代入磁力线方程，得即即 所以所以 A=常量常量这表明，在轴对称磁场中，这表明，在轴对称磁场中， A的等值线即为磁力线（的等值线即为磁力线（B线）。线）。 第第 三三 章章 静静 态态 电电 磁磁 场场IIII： 恒恒 定定 电电 流流 的的 电电 场场 和和 磁磁 场场 双线输电线的磁场等A线 双线输电线的电场等 线