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1、一、二次函数的图像知识点一:用描点法画二次函数yax2(a主0)的图像基本知识:描点法画图像的步骤:例1、用描点法在同一坐标系中画出二次函数yx2和yx2的图像。解:列表:知识点二:二次函数yax2(a主0)的图像性质基本知识:二次函数yax2(a丰0)的图像是一条抛物线,它关于y轴对称,顶点是坐标原点。当a0时,抛物线的开口向上,抛物线在x轴的上方,顶点(原点)是抛物线上的最低点;当a0时,抛物线开口向下,抛物线在x轴的下方,顶点(原点)是抛物线的最高点。知识点:(1)二次函数yax2(a主0)的图像与y,ax2(a丰0)的图像关于x轴对称,也就是说这两个图像的形状、大小相同,但开口方向相反
2、。(2)抛物线yax2(a主0)的开口方向由a的符号决定,开口的大小由a的绝对值的大小决定,a越大,抛物线的开口,表明Y的值的变化越快(即上升或下降的越快);|越小,抛物线的开口,表明y的值的变化越慢(即上升或下降越缓慢)注意点:(1)二次函数yax2的图像是抛物线,故可称为抛物线yax2o(2)抛物线是一个轴对称图形。开口方向,对称轴,顶点坐标通常被称为抛物线的三要素。(3)抛物线yax2中隐含的条件是a丰0例2、已知抛物线yax2(a主0)经过点A(-2,-8)。(1)求此抛物线的函数解析式,并判断该抛物线的开口方向;(2)判断点B(-1,-4),C(2,-8)是否在此抛物线上。知识点二:
3、二次函数yax2与函yax2,c(a主0)的图象的关系基本知识点:二次函数yax2,c(a主0)的图像可由抛物线yax2向上或向下平移得到。当c0当c0二次函数yax2,c(a主0)的图像特征。抛物线yax2,c(a丰0)与抛物线y=ax2的对称轴、开口方向相同,只是顶点不同。注意点:函数的图像上下平移时,对应点的横坐标不变。例3、在同一坐标系中,画出函数y二x2和y_x2,1的图象,问:抛物线y-x2,1经过怎样的平移才能得到抛物线yx2?解:列表:知识点四:二次函数yax2与ya(x,m)2(a主0)的图像的关系。基本知识:二次函数ya(x,m)2(a主0)的图像可由y=ax2向左或向右平
4、移得到。当m0,当m0其顶点坐标是(-m,0),对称轴是直线x=-m。知识要点:当a0时,抛物线ya(x,m)2的开口向上,顶点坐标(-m,0)是抛物线上的最低点;当a0时,抛物线ya(x,m)2的开口向下,顶点(-m,0)是抛物线上的最高点。例4、抛物线y2(x1)2是通过将y2x2怎样经行变换的得到的?知识点五:二次函数yax2与ya(x,m)2,k(a丰0)的图像间的关系基本知识点:二次函数图像ya(x+m)2+k(a,0)可由函数y=ax2的图像知识要点:(1)抛物线ya(x+m)2+k(a,0)的对称轴为直线x=-m,顶点坐标为(-m,k),当a0时,该顶点是抛物线上的当a0时,该顶
5、点是抛物线上的(2) 因为由抛物线ya(x+m)2+k(a,0)的解析式可以直接看出抛物线的顶点坐标,所以通常将形如ya(x+m)2+k(a,0)的二次函数解析式叫做二次函数的顶点式。注意:(1)二次函数ya(x+m)2+k(a,0)的图像与抛物线y=ax2的开口方向,大小形状完全相同,只是位置不同。(3) 进行左右平移时改变横坐标和对称轴;只进行上下平移时改变的是顶点的纵坐标,对称轴不变。例5、要抛物线y3(x-2)2-4,应将抛物线y3x2知识点六:次函数yax2+bx+c(a,0)的图像基本知识点:(1)与抛物线yax2(a,0)的关系:对于ya2x+bxc,6可以通过配方法进行变形,得
6、到ya(x+2)2+4,即得到形如ya(x+m)2+k的解析式,这里aabm,2a4ac-b2所以二次函数yax2+bx+c(a,0)与y=ax2(a,0)的图像形状,开口方向都是一样的,只是位置不同,可以通过平移得到(2)图像的特点:二次函数yax2+bx+c(a,0)是条抛物线,它的对称轴是直线x=/b4ac一b2、小顶点坐标是(-,4),当a0时,该顶点是抛物线上的;当aaa0时,该顶点是抛物线上的注意点:用配方法把二次函数化成顶点式的步骤:例6、已知二次函数y2x2+4x-2。(1)求出这个函数图像的对称轴与顶点坐标;(2)画出这个函数的图像,并验证(1)的结论。知识点七:经典题型例7
7、、已知一个函数图像的形状与抛物线y4x2的形状相同,它的顶点坐标是(2,4)求二次函数的解析式。2、未将一般形式化成顶点式进行平移例8、把抛物线yx2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的图像的解析式为yx2-3x+5,则有b=c=3、将一般式化为顶点式时,易忽略首项系数的符号例9、将抛物线y-x2+16x-62化为顶点式为()4、二次函数yax2(a主0)的图像及特征例10、已知A、B是抛物线yax2上的两个点,直线AB平行于x轴,交y轴于点p,点A的横坐标是1,点p的纵坐标是3.(1)求抛物线的解析式(2)说明这条抛物线的开口方向、顶点坐标,对称轴的位置;(3)求线段AB的长。分析:5、二次函数解析式的顶点式例11、已知抛物线ya(x-t一1)2+12(a,t是常数,a丰0,t主0)的顶点是A。(1)判断点A是否在抛物线yx2-2x+1上,为什么?(2)如果抛物线ya(x-1-1)2,t2经过点B(B点为抛物线yx22x,1的顶点),求a的值。6、二次函数的对称性和顶点坐标。例12、二次函数yax2,c(a丰0)中,若当x取x,x(x主x)时,函数值相1212等,则当x取x,x时,函数值等于12