《三个顶点距离之和最小问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三个顶点距离之和最小问题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角形平面上到三个顶点距离之和最小问题PSACB内任意点作色尸户只为止三角形作，ZU户出三IifiLP+PC+PB=PC+PFIP,B半旦仅当点户点严在直线留E,.IP+PCB有股小信（如卜罔）托椁h中4口=1*户_PrPA=6inr,户在.显外）ABC平面上到三个顶点距离之和PA+PB+PC最小的P点，必满足：（1）当厶ABC最大内角小于120。时，则P满足ZBPC=ZCPA=ZAPB=120。；P点寻找方法在ABC外作正三角形ABD和厶AEC,这两个正三角形的外接圆交点就是所求之点P（事实上该点也恰好是直线BE和CD的交点）。（2）当厶ABC最大内角不小于120。时，最大角的顶点就是使到三
2、个顶点距离之和PA+PB+PC最小的P点。【证明】这里首先我们看三个基本结论：（一）若A、B为直线MN同侧两点，直线MN上使PA+PB最小的P点满足满足光学反射原理（费尔马反射定律）：入射角=反射角。（如果是加权的问题：直线MN上使aPA+bPB最小的P点满足满足光学折射原理（费尔马折射定律）（二）椭圆的光学性质：椭圆某焦点A处发出的光线经椭圆周任一点P“反射”后，必到达另一个焦点B，（三）P点必在ABC形内（包括边界），不可能在形外。若P在形外：P到离它最近一条边的投影点不在这条边内。比如下图，当然是不合适的。取A为P就更好，PB+PCAB+AC,PA+PB+PC0（即AA）+AB+AC。P
3、到离它最近一条边的投影点在这条边上（可以是端点），例如下图P在AB上的投影P在AB上，则PAPA,PB+PCPB+PC3现在，着手证明。（1）假如ABC最大内角小于120,为证明ZBPC=ZCPA=ZAPB=120,我们就先来证明ZAPB=ZAPC0当PB+PC值确定时，P点在以B、C为焦点的椭圆上，在椭圆上使PA最小的P点应该使PA垂直于椭圆在P点处的切线MN（即：就是圆A与椭圆相切于P），根据椭圆的光学性质，必有ZAPB=ZAPCc（更充分的理由是反证法，任取另一点P2，显然APVAP2,而PB+PC=P2B+P2C，所以PA+PB+PCVP2A+P2B+P2C）或者在PA为定值时，P点在以A为圆心的圆上，为使PB+PC最小，P必然在以B、C为焦点且与圆A相切的椭圆上，贝IZAPB=ZAPC。否则在圆A上任取另一点P1,显然P1B+P1CQB+QC=PB+PC，由于P1A=PA，所以P1A+P1B+P1CPA+PB+PC。(2)当厶ABC最大内角不小于120时，因为有前述理由，点P不可能在厶ABC的形外。但是最大内角不小于120，例如ZA120，那么ABC的形内的P点，都有ZBPCZA,即ZBPC120。,所以满足ZBPC=ZCPA=ZAPB=120。也不存在。P点既不在形外，也不在形内，那么只能在边界上，易知最大角的顶点，就是使PA+PB+PC最小的P点位置的最佳选择。
