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1、一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式axax+bx+c=0+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个未知数未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2配方法配方法直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数 公式法公式法二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根
2、与系数的关系明辨是非明辨是非判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？次方程，请说明理由？1、(x1) 、x22x=、xy+5、xx6、ax2 + bx + c3、x2+ （a0）一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式（a0a0） 一元二次方程一元二次方程一般形式一般形式二次项系数二次项系数一次项系一次项系数数常数项常数项 3x3x=1=1 2y(y-3)= -43x3x -1=0-1=03 32 2-6-6-1-14 40 02y2y2 2-6y+4=0-6y+4=02 22 2、若方程、
3、若方程是关于是关于x x的一元二次方程，则的一元二次方程，则m m的值为的值为 。1 1、若、若 是关于是关于x x的一元二次的一元二次方程则方程则m m 。 23、关于x的方程（k2+2k-3)x2+(k-1)x+5=0,(1)k为何值时，方程是一元一次方程？(2)k为何值时，方程是一元二次方程？用适当的方法解下列方程用适当的方法解下列方程一元二次方程的解法一元二次方程的解法规律：一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选；若常数项为0(ax2+bx=0),应选用；若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜
4、选用，不然选用；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用也较简单。直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法因式分解法因式分解法公式法公式法配方法配方法比一比，看谁做得快：比一比，看谁做得快：(1)(1) 4(t+2 ) 4(t+2 )2 2=3=3(2)(2)3t(t+2)=2(t+2)3t(t+2)=2(t+2)(3)(3)(y+ )(y- (y+ )(y- )=2(2y-3)=2(2y-3)(4)(4)-5x-5x2 2-7x+6=0-7x+6=0(5)(5)x x2 2+2x-9999=0+2x-9999=0提高：提高：为了解方程（为了解方程（y-1） -3（y-1）+2=0，
5、我，我们将们将y-1视为一个整体，解：设视为一个整体，解：设 y-1=a，则，则（y-1）=a， a - 3a+2=0， （1） a1=1，a2=2。 当当a=1时，时，y -1=1，y = ，当当a=2时，时，y-1=2，y= 所以所以y1= ，y2 =- y 3= y4= -解答问题解答问题：1、在由原方程得到方程（、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用）的过程中，利用了了 法达到了降次的目的法达到了降次的目的，体现了体现了 的数学思想。的数学思想。换元换元转化转化2. 解方程解方程 (x-2)2+3(x-2)-10=03.已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0,求a2+b2的值。
6、1、如果等腰三角形的三条边长是x2-6x+5=0的根，则这个等腰三角形的周长是-2、设（3a+3b-2)(3a+3b+1)=16,则a+b的值是-3.构造一个一元二次方程，要求：构造一个一元二次方程，要求：（1）常数项为零（）常数项为零（2）有一根为）有一根为2。4.将将4个数个数a、b、c、d排成排成2行行2列，两边各加一列，两边各加一条竖线记成条竖线记成判别式判别式情况情况根根 的的 情情 况况定定 理理 与与 逆逆 定定 理理0 0X X1 1,X,X2 2= =0 0X X1 1=X=X2 2= =0 0 0 0有两个实有两个实数根数根0 0有两有两个不等实数根个不等实数根=0=0有两
7、个有两个相等实数根相等实数根0 0无实根无实根 无意义无意义, , X X1 1,X,X2 2不存在不存在 根的判别式根的判别式一元二次方程一元二次方程aXaX2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)（=b=b2 2-4ac-4ac） 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的两个根是的两个根是x1，x2 那么那么x1+x2=-x1.x2= abac 如果一元二次方程如果一元二次方程x2+px+q=0的的两个根是两个根是x1，x2 那么那么x1+x2=-px1.x2= q 韦韦达达定定理理例例1：关于关于x的方
8、程的方程有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，求求k的取值范围。的取值范围。解：解：解得解得k又又k-10 k且且k0说一说说一说：下面解法正确吗？：下面解法正确吗？忽视二次项忽视二次项系数不为系数不为0例例2、求证：关于求证：关于x的方程：的方程： 有两个不相等的实根。有两个不相等的实根。证明：证明： 所以，无论所以，无论m取任何实数取任何实数,方程有两个不相等的实数根。方程有两个不相等的实数根。即：即：0证明：证明： 无论无论m取任何实数都有：取任何实数都有：即：即：00反思提高：反思提高： 1.1.已知一直角三角形的三已知一直角三角形的三边为请你判断关于你判断关于的方程的方程的根的
9、情况。的根的情况。 2.若关于若关于x的方程的方程x2+2(k+2)x+k20 两个实数根之和大于两个实数根之和大于-4，求，求k的取值的取值范围。范围。 反思提高：反思提高： 一元二次方程的应用：一元二次方程的应用：例例1. 某药品经过两次降价，每瓶零售某药品经过两次降价，每瓶零售价由价由100100元降为元降为8181元，已知两次降价百分元，已知两次降价百分率相同，求两次降价的百分率。率相同，求两次降价的百分率。 认真想一想认真想一想增长率类应用题：增长率类应用题：1 1、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到社
10、会主义现代化，力争国民生产总值到20202020年比年比20002000年翻两番。本世纪的头二十年（年翻两番。本世纪的头二十年（20012001年年20202020年），要实现这一目标，以十年为单位，设年），要实现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产总值的增长率都是每个十年的国民生产总值的增长率都是x x，那么，那么x x满足的方程为满足的方程为 （ ） A A、(1+x)(1+x)2 2=2=2B B、(1+x)(1+x)2 2=4=4 C C、1+2x=21+2x=2D D、（、（1+x1+x）+2+2（1+x)=41+x)=4B B关键是理解关键是理解“翻两番翻两番”是原来的是原
11、来的4倍倍，而不是原来的，而不是原来的2倍。倍。 2.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该分数相同。已知该 厂今年厂今年4月份的电冰箱产量为月份的电冰箱产量为5万台，万台，6月份比月份比5月份多生产了月份多生产了12000 台，求该厂今台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少年产量的月平均增长率为多少?面积体积类应用题：面积体积类应用题： 例例2、有一堆砖能砌、有一堆砖能砌12米长的围墙米长的围墙,现要围一个现要围一个20平方米的鸡场平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长7米米),其余三其余三边用砖砌成边用砖砌成,墙对面开
12、一个墙对面开一个1米宽的门米宽的门,求鸡场的长求鸡场的长和宽各是多少米和宽各是多少米?解：设鸡场的宽为解：设鸡场的宽为x x米，则长为（米，则长为（12+1-2x12+1-2x）= =（13-2x13-2x）米）米 列方程得：列方程得：X X（13-2x13-2x）=20=20解得：解得：x x1 1=4=4，x x2 2=2.5=2.5经检验：两根都符合题意经检验：两根都符合题意答：此鸡场的长和宽分别为答：此鸡场的长和宽分别为5 5和和4 4米或米或8 8与与2.52.5米。米。13-2x=513-2x=5或或8 8解解:设底边边长应增加设底边边长应增加xcm,由题意由题意,可列出方程可列出
13、方程_1、如图、如图,礼品盒高为礼品盒高为10cm,底面为正方形底面为正方形,边长为边长为4cm,若若保持盒子高度不变保持盒子高度不变,问底边边长应增加多少厘米才能使问底边边长应增加多少厘米才能使其体积增加其体积增加200cm3?10(x+4)10(x+4)2 2=10=104 42 2+200+20080cm50cmxxxx2 2、在一幅、在一幅长80cm80cm，宽50cm50cm的矩形的矩形风景画的四周景画的四周镶一条金色一条金色纸边，制成一幅矩形挂，制成一幅矩形挂图，如，如图所示，所示，如果使整个挂如果使整个挂图的面的面积是是5400cm5400cm2 2，设金金边的的宽为xcmxcm
14、，则列出的方程是列出的方程是 . .（80+2x80+2x）（）（50+2x50+2x）=5400=5400 3 3某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m750m，断面为等腰，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为梯形的渠道，断面面积为1.6m1.6m2 2， 上口宽比上口宽比渠深多渠深多2m2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m0.4m（1 1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2 2）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m48m3 3，需要多少天才，需要多少天才能把这条渠道挖完？能把这条渠道挖完？分析：分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨因为渠深最小，为
15、了便于计算，不妨设渠深为设渠深为xm，则上口宽为，则上口宽为x+2， 渠底为渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模，那么，根据梯形的面积公式便可建模例例3 3、某商场的音响专柜、某商场的音响专柜, ,每台音响进价每台音响进价40004000元元, ,当售价当售价定为定为50005000元时元时, ,平均每天能售出平均每天能售出1010台台, ,如果售价每降低如果售价每降低100100元元, ,平均每天能多销售平均每天能多销售2 2台台, ,为了多销售音响为了多销售音响, ,使利润使利润增加增加12%,12%,则每台销售价应定为多少元则每台销售价应定为多少元? ?解解:法一：设每台降
16、价法一：设每台降价x元元 (1000 x)(10+2)=10000(1+12%)解得解得: x =200: x =200或或 x=300x=300每台的利润每台的利润售出的台数售出的台数= =总利润总利润解解: :法二：设每天多销售了法二：设每天多销售了x x台。台。 （10+x)(1000-50x)=10000(1+12%)10+x)(1000-50x)=10000(1+12%)A AB BC CP PQ Q（1 1）用含）用含x x的代数式表的代数式表示示BQBQ、PBPB的长度；的长度；（2 2）当为何值时，）当为何值时，PBQPBQ为等腰三角形；为等腰三角形；（3 3）是否存在）是否存
17、在x x的值，使得四的值，使得四边形边形APQCAPQC的面积等于的面积等于20cm20cm2 2？若？若存在，请求出此时存在，请求出此时x x的值；若不的值；若不存在，请说明理由。存在，请说明理由。其它类型应用题：其它类型应用题：1 1. .如图，如图，RtABCRtABC中，中，B=90B=90，AC=10cmAC=10cm，BC=6cmBC=6cm，现有两个动点，现有两个动点P P、Q Q分别从点分别从点A A和点和点B B同同时出发，其中点时出发，其中点P P以以2cm/s2cm/s的速度，沿的速度，沿ABAB向终点向终点B B移动；点移动；点Q Q以以1cm/s1cm/s的速度沿的速
18、度沿BCBC向终点向终点C C移动，其移动，其中一点到终点，另一点也随之停止。连结中一点到终点，另一点也随之停止。连结PQPQ。设动点运动时间为设动点运动时间为x x秒。秒。问问(1)P、Q两点从出发开始几秒时两点从出发开始几秒时,四边形四边形PBCQ的面积是的面积是33c 2.如图如图,已知已知A、B、C、D为矩形的为矩形的四个顶点四个顶点,AB=16,AD=6,动点动点P、Q分别从点分别从点A、C同时出发同时出发,点点P以以3/s的速度向点的速度向点B移动移动,一直到点一直到点B为为止止,点点Q以以2/s的速度向点的速度向点D移动移动. APDQBC(2)P、Q两点从出发开始几秒时两点从出
19、发开始几秒时,点点P点点Q间的距离是间的距离是101.元旦期间，学校组织了一次集体活动元旦期间，学校组织了一次集体活动,每两个人都要互赠礼物每两个人都要互赠礼物,统计本次活动参统计本次活动参加的人共收到加的人共收到132件礼物件礼物.问参加的人数问参加的人数是多少是多少?2、某人将、某人将2000元人民币按一年定期储蓄存入银元人民币按一年定期储蓄存入银行，到期后支取行，到期后支取1000元用作购物，剩下的元用作购物，剩下的1000元元及利息又全部按一年定期储蓄存入银行，若银行及利息又全部按一年定期储蓄存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本利和共存款的利率不变，到期后得本利和共1320元（不
20、元（不计利息税），求一年定期存款的年利率。计利息税），求一年定期存款的年利率。n3.将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个并把每一段围成一个正方形正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?n将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个并把每一段围成一个正方形正方形.n(1)
21、.要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?n将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个并把每一段围成一个正方形正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(
22、3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?你说我说大家说：你说我说大家说： 通过今天的学习你有什通过今天的学习你有什么收获或感受？么收获或感受？一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式axax +bx+c=0+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个未知数求知数的最高次数是求知数的最高次数是2 2配配 方方 法法求求 根根 公式法公式法直接开平方法直接开平方法因因 式式 分解法分解法二次项系数为二次项系数为1，而一次
23、项系数为偶数，而一次项系数为偶数其它类型应用题：其它类型应用题：2 2. .在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，CC=90=90，BCBC=16=16，ADAD=21=21，DC=12DC=12，动点，动点P P从点从点D D出发，沿出发，沿线段线段DADA方向以每秒方向以每秒2 2个单位长度的速度运动，个单位长度的速度运动，动点动点Q Q从点从点C C出发，沿线段出发，沿线段CB CB 以每秒以每秒1 1个单位个单位长度的速度向点长度的速度向点B B运动运动. . 点点P P、Q Q分别从点分别从点D D、C C同时出发，当点同时出发，当点P P运动到点运动到点A A时，点时，点Q Q随之停止随之停止运动，设运动时间为运动，设运动时间为t t秒秒. .问问: :当当t t为何值时，为何值时，BPQBPQ是等腰三角形？是等腰三角形？A AD DB BC CP PQ Q分类讨论思想分类讨论思想或或
