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1、30空间角的突破方略1(2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_答案解析方法一由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二如图(2)，取BC的中点D，连结MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角设BC2，则BMND，A
2、N，AD，因此cosAND.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_答案解析建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则令z1，则x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.3如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_答案45解析如图，取PD中点E，连结AE，则AE平面
3、PCD，故二面角的平面角APE45.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_答案解析以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1，0,0)，C(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.5在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，ABPDa.点E为侧棱PC的中点，又作DFPB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为_答案90解析建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则P(0,0，a)，B
4、(a，a,0)，E(0，)故(a，a，a)，所以00，所以PBDE，由已知DFPB，且DFDED，所以PB平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90.6在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.7如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别
5、是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_答案60解析以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.8(2014苏州调研)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，所以(0,2,0)，(1,2,0)，(0,2，1)，设平面A1BC1的
6、一个法向量为n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin |cos，n|.9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是_答案90解析方法一连结MD1，易证DD1MCDN，则NDMDD1M，NDMD1MDDD1MD1MD90，即DND1M，又A1D1平面DC1，A1D1DN，DN平面A1D1M.A1M平面A1D1M，A1MDN.即A1M与DN所成的角为90.方法二(空间向量法)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，设正方体边长为2，则D(0,0,0)，N
7、(0,2,1)，M(0,1,0)，A1(2,0,2)，(0,2,1)，(2，1,2)，cos，0，A1M与DN的夹角为90.10正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_答案30解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面PAC的一个法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.11如图所示，在四棱锥PABCD中，底面
8、ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：PE平面ABCD；(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；(3)求直线BM与CD所成角的余弦值(1)证明因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD.(2)解连结EC，设EC的中点为H，连结MH，HB，如图因为M是PC的中点，H是EC的中点，所以MHPE.由(1)，知PE平面ABCD，所以MH平面ABCD，所以HB是BM在平面ABCD内的射影所以MBH为直线BM与平面ABC
9、D所成的角因为ADBC，BCAD，E为AD的中点，ADC90，所以四边形BCDE为矩形，所以EC2，HBEC1.又MHPE，所以在MHB中，tanMBH.所以直线BM与平面ABCD所成角的正切值为.(3)解由(2)，知CDBE，所以直线BM与CD所成角为直线BM与BE的夹角连结ME，在RtMHE中，ME，同理求得BM，又BECD，所以在MEB中，cosMBE，所以直线BM与CD所成角的余弦值为.12.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB60，AD2，AM1，E是AB的中点(1)求证：AN平面MEC；(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角
10、PECD的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由(1)证明由已知，MNADBC，连结BN，设CM与BN交于F，连结EF，如图所示又MNADBC，所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点又E是AB的中点，所以ANEF.因为EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC.(2)解如图所示，假设在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为.延长DA，CE交于点Q，过A作AHEQ于H，连结PH.因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，所以MA平面ABCD，又CQ平面ABCD，所以MAEQ，又MAAHA，所以EQ平面PAH，所以EQPH，PHA为二面角PECD的平面角由题意，知PHA.在QAE中，AE1，AQ2，QAE120，则EQ，所以AH.又在RtPAH中，PHA，则APAHtan 301.所以在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为，此时AP的长为.
