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1、30空间角的突破方略1(2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_答案解析方法一由于BCA90,三棱柱为直三棱柱,且BCCACC1,可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2,则可得A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),(1,1,2),(0,1,2)cos,.方法二如图(2),取BC的中点D,连结MN,ND,AD,由于MN綊B1C1綊BD,因此有ND綊BM,则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角设BC2,则BMND,A
2、N,AD,因此cosAND.2在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_答案解析建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为1,直线BC1与平面A1BD所成的角为,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,0,1)设n(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则令z1,则x1,y1.n(1,1,1),sin |cosn,|.3如图,过正方形ABCD的顶点A,引PA平面ABCD.若PABA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_答案45解析如图,取PD中点E,连结AE,则AE平面
3、PCD,故二面角的平面角APE45.4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,AA12,ACBC1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_答案解析以C为坐标原点,CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,A1(1,0,2),B(0,1,0),A(1,0,0),C(0,0,0),则(1,1,2),(1,0,0),cos,.5在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD平面ABCD,ABPDa.点E为侧棱PC的中点,又作DFPB交PB于点F,则PB与平面EFD所成角为_答案90解析建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,D为坐标原点,则P(0,0,a),B
4、(a,a,0),E(0,)故(a,a,a),所以00,所以PBDE,由已知DFPB,且DFDED,所以PB平面EFD,所以PB与平面EFD所成角为90.6在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中点,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,F(1,0,0),D1(0,0,2),O(1,1,0),E(0,2,1),(1,0,2),(1,1,1),cos,.7如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,点E、F分别
5、是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是_答案60解析以BC,BA,BB1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系设ABBCAA12,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则(0,1,1),(2,0,2),2,cos,EF和BC1所成的角为60.8(2014苏州调研)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,BCAA11,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_答案解析如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),所以(0,2,0),(1,2,0),(0,2,1),设平面A1BC1的
6、一个法向量为n(x,y,z),由得令y1,得n(2,1,2),设D1C1与平面A1BC1所成角为,则sin |cos,n|.9.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是_答案90解析方法一连结MD1,易证DD1MCDN,则NDMDD1M,NDMD1MDDD1MD1MD90,即DND1M,又A1D1平面DC1,A1D1DN,DN平面A1D1M.A1M平面A1D1M,A1MDN.即A1M与DN所成的角为90.方法二(空间向量法)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,设正方体边长为2,则D(0,0,0),N
7、(0,2,1),M(0,1,0),A1(2,0,2),(0,2,1),(2,1,2),cos,0,A1M与DN的夹角为90.10正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SOOD,则直线BC与平面PAC所成的角是_答案30解析如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P(0,),则(2a,0,0),(a,),(a,a,0)设平面PAC的一个法向量为n,可求得n(0,1,1),则cos,n.,n60,直线BC与平面PAC所成的角为906030.11如图所示,在四棱锥PABCD中,底面
8、ABCD为直角梯形,ADBC,ADC90,平面PAD底面ABCD,E为AD的中点,M是棱PC的中点,PAPD2,BCAD1,CD.(1)求证:PE平面ABCD;(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值;(3)求直线BM与CD所成角的余弦值(1)证明因为PAPD,E为AD的中点,所以PEAD.又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCDAD,所以PE平面ABCD.(2)解连结EC,设EC的中点为H,连结MH,HB,如图因为M是PC的中点,H是EC的中点,所以MHPE.由(1),知PE平面ABCD,所以MH平面ABCD,所以HB是BM在平面ABCD内的射影所以MBH为直线BM与平面ABC
9、D所成的角因为ADBC,BCAD,E为AD的中点,ADC90,所以四边形BCDE为矩形,所以EC2,HBEC1.又MHPE,所以在MHB中,tanMBH.所以直线BM与平面ABCD所成角的正切值为.(3)解由(2),知CDBE,所以直线BM与CD所成角为直线BM与BE的夹角连结ME,在RtMHE中,ME,同理求得BM,又BECD,所以在MEB中,cosMBE,所以直线BM与CD所成角的余弦值为.12.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM平面ABCD,DAB60,AD2,AM1,E是AB的中点(1)求证:AN平面MEC;(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角
10、PECD的大小为?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由(1)证明由已知,MNADBC,连结BN,设CM与BN交于F,连结EF,如图所示又MNADBC,所以四边形BCNM是平行四边形,F是BN的中点又E是AB的中点,所以ANEF.因为EF平面MEC,AN平面MEC,所以AN平面MEC.(2)解如图所示,假设在线段AM上存在点P,使二面角PECD的大小为.延长DA,CE交于点Q,过A作AHEQ于H,连结PH.因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM平面ABCD,所以MA平面ABCD,又CQ平面ABCD,所以MAEQ,又MAAHA,所以EQ平面PAH,所以EQPH,PHA为二面角PECD的平面角由题意,知PHA.在QAE中,AE1,AQ2,QAE120,则EQ,所以AH.又在RtPAH中,PHA,则APAHtan 301.所以在线段AM上存在点P,使二面角PECD的大小为,此时AP的长为.