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1、一、隐函数一、隐函数(hnsh)的导数的导数若由方程(fngchng)可确定(qudng) y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)第1页/共29页第一页，共30页。例例1.求由方程求由方程(fngchng)在 x = 0 处的导数(do sh)解: 方程(fngchng)两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数第2页/共29页第二页，共30页。例例2.求椭圆求椭圆(tuyun)在
2、点处的切线(qixin)方程.解: 椭圆方程(fngchng)两边对 x 求导故切线方程为即第3页/共29页第三页，共30页。例例3.求由方程求由方程(fngchng)二阶导数(do sh)解: 方程(fngchng)两边对 x 求导：得上式两边再对 x 求导 , 得确定的隐函数的第4页/共29页第四页，共30页。例例4.设设由方程(fngchng)确定(qudng) , 解:方程(fngchng)两边对 x 求导,得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求第5页/共29页第五页，共30页。例例5.求求的导数(do sh) . 解: 两边(lingbin)取对数 , 化为隐式两边(lingbi
3、n)对 x 求导注: 幂指函数的求导，先取对数再求导-对数求导法.第6页/共29页第六页，共30页。有些显函数用对数有些显函数用对数(dush)求导法求导求导法求导很方便很方便.例如(lr),两边(lingbin)取对数两边对 x 求导第7页/共29页第七页，共30页。又如又如,对 x 求导两边(lingbin)取对数第8页/共29页第八页，共30页。二、由参数方程确定二、由参数方程确定(qudng)的的函数的导数函数的导数若参数(cnsh)方程可确定一个(y ) y 与 x 之间的函数可导, 且则有关系,即第9页/共29页第九页，共30页。若上述若上述(shngsh)参数参数方程中方程中二阶
4、可导,且则由它确定(qudng)的函数可求二阶导数(do sh) .利用新的参数方程,可得记第10页/共29页第十页，共30页。?例例6.设设, 且求已知解:练习(linx): 书P112 题8(1)解:注意(zh y) :对谁求导? 第11页/共29页第十一页，共30页。三、相关三、相关(xinggun)变变化率化率为两可导函数(hnsh)之间有联系(linx)之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第12页/共29页第十二页，共30页。例例7.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500m处离地面处离地面(dm
5、in)铅直上升铅直上升,其速率(sl)为当气球(qqi)高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,第13页/共29页第十三页，共30页。思考题思考题:当气球当气球(qqi)升至升至500m时停住时停住,有一观测者以有一观测者以100 mmin 的速率(sl)向气球出发点走来,当距离(jl)为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示: 对 t 求导已知求第14页/共29页第十四页，共30页。试求当容器(rngq)内水例例8.有一底半径为有一底半径为Rcm,高为高为hcm的圆锥的圆
6、锥(yunzhu)容器容器,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升(shngshng)的速度.解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的两边对 t 求导而故体积为 V , 则第15页/共29页第十五页，共30页。内容内容(nirng)小结小结1. 隐函数(hnsh)求导法则直接(zhji)对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式第16页/共29页第十六页，共30页。思考思
7、考(sko)与与练习练习1. 求螺线(lu xin)在对应(duyng)于的点处的切线方程.解: 化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为点击图中任意处动画播放暂停第17页/共29页第十七页，共30页。2.设设求提示: 分别用对数(du sh)微分法求答案(d (d n):n):第18页/共29页第十八页，共30页。, 求解：方程组两边(lingbin)同时对 t 求导, 得 3.设设第19页/共29页第十九页，共30页。作业作业(zuy)P111：2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 7 (2) ; 8 (2) ,(3) ; 11. 第五节 第20页/共29页第二十页，
8、共30页。二、微分(wi fn)运算法则三、微分(wi fn)在近似计算中的应用*四、微分在估计误差(wch)中的应用第五节第五节一、微分的概念 函数的微分 第二章 第21页/共29页第二十一页，共30页。一、微分一、微分(wifn)的概念的概念引例(yn l): 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积(min j)改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其第22页/共29页第二十二页，共30页。的微分(wi fn),定义定义(dngy):若函数若函数在点 的增量可表示为(
9、A 为不依赖于x 的常数(chngsh)则称函数而 称为记作即定理: 函数在点 可微的充要条件是即在点可微,第23页/共29页第二十三页，共30页。定理定理(dngl):函数函数证: “必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 可导,且在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即第24页/共29页第二十四页，共30页。定理定理(dngl):函数函数在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即“充分性”已知即在点 的可导,则第25页/共29页第二十五页，共30页。说明说明(shumng):时 ,所以(suy)时很小时(xiosh), 有近似公式与是等价无穷小,当故当第26页/共29页第二十六页，共30页。微
10、分微分(wifn)的几何意义的几何意义当 很小时,则有从而(cng r)导数(do sh)也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记第27页/共29页第二十七页，共30页。例如例如(lr),基本初等(chdng)函数的微分公式 (见 P116表)又如,第28页/共29页第二十八页，共30页。感谢您的观看(gunkn)！第29页/共29页第二十九页，共30页。内容(nirng)总结一、隐函数的导数。第3页/共29页。第4页/共29页。方程两边对 x 求导,。例5. 求。两边对 x 求导。有些显函数用对数求导法求导很方便 .。例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,。两边对 t 求导。100 mmin 的速率向气球出发点走来,。2. 对数求导法 :。列出依赖于 t 的相关变量关系式。解: 化为参数(cnsh)方程。解：方程组两边同时对 t 求导, 得。( A 为不依赖于x 的常数)第三十页，共30页。
