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1、第三节三重积分的计算 第十章 基本方法：基本方法：化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分(累次积分）累次积分）.一、三重积分的定义直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算如图，如图，得得注意注意解解解解如图，如图，解解解解原式原式对于三重积分，对于三重积分，“穿针法穿针法”用得较多，但是当被积函数用得较多，但是当被积函数只与某一个变量有关，并且用垂直于该变量所在坐标只与某一个变量有关，并且用垂直于该变量所在坐标“切片法切片法”更方便更方便.的平面截积分区域的平面截积分区域 所得截面面积易于计算时，用所得截面面积易于计算时，用当区域关于当区域关于
2、yoz（xoz）平面对称）平面对称, 函数关于变量函数关于变量 x（y） 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍有类似结果有类似结果.则则对于三重积分，也有关于对称性的结论：对于三重积分，也有关于对称性的结论：设函数设函数设函数设函数 在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域 关于关于xoy 平面平面对称，对称， 位于位于 x oy平面上方的部分为平面上方的部分为 , 例例. 设计算提示提示: 利用对称性原式 = 奇函数小结小结小结小结: : 三重积分的计算方法三重积分的计算方法三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. （穿针法）（穿针法）“先一后二先一后二”方法方法2. （切片法）（切片法）“先二
3、后一先二后一”具体计算时应根据两种方法各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 二、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定： 柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为解解知交线为知交线为解解所围成的立体如图，所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 1. 将用三次积分表示,其中由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成 ,备用用题 1. 计算所围成. 其中 由分析：分析：若用“先二后一”, 则有计算较繁! 采用“三次积分”较好.所围, 故可 思考思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 解解:
