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1、一一 问题的提出问题的提出二二 有理函数的积分有理函数的积分三三 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分四四 简单无理函数的积分简单无理函数的积分五五 小结小结六六 思考与判断题思考与判断题第四节 有理函数的积分(Integration of several kinds of Functions)7/27/20241一一 问题的提出问题的提出(Introduction)怎么计算？怎么计算？关键是被积函数的裂项关键是被积函数的裂项？（2 2）很显然不能用很显然不能用凑微分和分部积分凑微分和分部积分怎么办？怎么办？（3 3）去掉根号才能计算，怎样去掉去掉根号才能计算，怎样去掉根号根号？7/27/
2、20242两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数. .二二 有理函数的积分有理函数的积分(Integration of Rational Function)有理函数的定义：有理函数的定义：7/27/20243假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；这有理函数是假分式； 有理函数有以下性质：有理函数有以下性质：1 1）利用多项式除法）利用多项式除法, , 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和. .例如，我们可将例如，我们可将化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和
3、7/27/202442）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式7/27/20245（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：）有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为7/27/20246（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中其中则分解后为则分解后为特殊地特殊地：分解后为分解后为7/27/20247便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的
4、待定的常数确定，这种方法叫待定时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法系数法例例1 17/27/20248例例2 2通分以后比较分子得：通分以后比较分子得：7/27/20249我们也可以用代值确定法来得到最简分式，我们也可以用代值确定法来得到最简分式，比如前面的例比如前面的例2 2，两端去分母后得到，两端去分母后得到7/27/202410例例3 3整理得整理得7/27/202411例例4 4 求积分求积分 解解由前面的裂项由前面的裂项7/27/202412例例5 5 求积分求积分 解解由前面的裂项得由前面的裂项得7/27/202413注意：注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的有理函
5、数的积分就是对下列三类函数的积分：积分：多项式多项式；主要讨论（主要讨论（3 3）积分）积分7/27/202414其中其中并记并记令令7/27/202415结论结论有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .7/27/202416三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为构成的函数一般记为1 1 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分称为三角函数有理式的积分，称为三角函数有理式的积分，它它经过所谓的经过所谓的“万能代换万能代换”化成有理函数的积分。化成有理函数的积分。三三 可化为有理函数的积分
6、可化为有理函数的积分7/27/2024177/27/202418令令7/27/202419例例6 6 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式7/27/202420例例7 7 求积分求积分解解一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。 由此可以看出，万能代换法不是最简方法，由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。能不用尽量不用。7/27/202421讨论类型讨论类型作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例8 8 求积分求积分解解 令令2 2 简单无理函数的积分简单无理函数的积分解决方法解决方法关键去掉根号关键去掉根号7/27/2024227/27/
7、202423例例9 9 求积分求积分解解 令令7/27/202424说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时, , 取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数. .例例1010 求积分求积分解解 令令7/27/202425简单无理式的积分去掉根式简单无理式的积分去掉根式.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）五五 小结小结（注意：关键为了去掉根号）（注意：关键为了去掉根号）7/27/202426六六 思考、判断题思考、判断题1 运用无理根式代换计算运用无理根式代换计算2 被积函数裂项可以直接判断的，不必运用待定系数法被积函数裂项可以直接判断的，不必运用待定系数法例如例如 7/27/202427
