《多边形的内角和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多边形的内角和（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教版八年级数学上册人教版八年级数学上册 11.3 11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和一、设疑自探、回顾旧知一、设疑自探、回顾旧知1、在平面内，、在平面内，_ 叫做多边形。叫做多边形。、在多边形中、在多边形中_叫做多边形的对角线。叫做多边形的对角线。、一般地，从一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作边形的一个顶点出发，可以作 _ 条对角线它们将条对角线它们将n边形分为边形分为_个三角形。个三角形。由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形连接多边形不相邻的两个顶点的线段连接多边形不相邻的两个顶点的线段（n-3）(n-2)长方形的内角和是长方形的内角和是多少
2、？为什么？多少？为什么？如果是任意如果是任意四边形呢？四边形呢？二、解疑合探、探寻新知二、解疑合探、探寻新知 （一）多边形的内角和（一）多边形的内角和 讨论:任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？ABCDABCDABCDFE(1)(2)(3)BADC四边形四边形ABCDABCD的内的内角和是多少？角和是多少？ 观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，可以做可以做_条条对角线，它们将四边形分成对角线，它们将四边形分成_ 个三角形，所以四边形的内角和为个三角形，所以四边形的内角和为_ 。1 2 360那么如何求此五边形的内角和呢那么
3、如何求此五边形的内角和呢? ?3 180 =5400 说说你的探索思路？说说你的探索思路？ABCDE 三角形三角形 四边形四边形 五边形五边形 1800 2 180= 3600 3 180 =5400 探索过程一掠探索过程一掠:ACBABCD六边形六边形 七边形七边形4 180 =7200 5 180 =9000 那么六边形、七边形的内角和呢？多边形多边形边边数数分成三分成三角形的角形的个数个数图形图形内角和内角和计算规律计算规律三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形七边形七边形n边形边形3 34 45 56 67 7n n1 1n n-2-22 23 34 45 518018036
4、0360540540720720900900( (n n2) 1802) 180( (n n- -2) 1802) 1805 5 1801804 4 1801803 3 1801802 2 1801801 1 180180 n边形内角和等于最终结论最终结论（n2） 180三角形三角形三角形三角形六边形六边形六边形六边形四边形四边形四边形四边形八边形八边形八边形八边形.五边形五边形五边形五边形是解决多边形问题的常用辅助线是解决多边形问题的常用辅助线 对角线对角线多边形问题多边形问题 三角形问题三角形问题转化转化（未知）（未知）（已知）（已知）那么正五边形、正六边形、正八边形、正那么正五边形、正六
5、边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？边形的每个内角分别是多少度呢？ 正正n边形边形（5-2）180 5 =108（6-2）180 6 =120（8-2）180 8 =135（n-2）180 n（2）正多边形的内角）正多边形的内角小试牛刀小试牛刀l1.八边形的八边形的内角内角和等于多少度？十边形呢？和等于多少度？十边形呢？解：（82) 180= 1080（102) 180= 1440 2、已知一个多边形的内角和等于、已知一个多边形的内角和等于1440,求它的边数。求它的边数。解：设这个多边形的边数为解：设这个多边形的边数为n,根据题根据题意可得：意可得：（n-2）180=1440
6、解得：解得： n=10 答：这个多边形是十边形答：这个多边形是十边形练习练习求下列图形中求下列图形中 x 的值的值 .（1）（2）巩固练习2x+140+90=360360-80-120-75=180-xx=65x=952、一个多边形的各内角都等于、一个多边形的各内角都等于120，它是，它是几边形？几边形？l解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：l l (n2) 180=120nl l 解得：n=6 l l答：这个多边形是六边形六边形。解：如图四边形解：如图四边形ABCD中，中，ABCD例例1 1、如果一个四边形的一组对角互补，、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？那么另
7、一组对角有什么关系？这就是说，如果这就是说，如果四边形的一组对角互补，四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。那么另一组对角也互补。典型例题典型例题A B CD12345多边形外角：多边多边形外角：多边形的形的边边与它的邻边与它的邻边的延长线组成的角。的延长线组成的角。外角外角678910（3 3）多边形的外角和）多边形的外角和多边形外角：多边多边形外角：多边形的形的边边与它的与它的邻边邻边的延长线的延长线组成的角。组成的角。如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和. . 六边形的外角和
8、等于多少六边形的外角和等于多少度？度？解：如图，六边形ABCDEF中， 1+7=180 ，2+8=180 ， 3+9=180 ，4+10=180 ， 5+11=180 ，6+12=180 . 7+ 8+9+ 10 +11+ 12 =（62）180 = 720, 结论：结论：多边形的外角和等于多边形的外角和等于360. 1+ 2+3+ 4 +5+ 6 = 6180 720 = 360.对于对于 n 边形，结论仍然成立！边形，结论仍然成立！例题讲解多边形多边形多边形多边形图形图形图形图形多边形的外角和多边形的外角和多边形的外角和多边形的外角和三角形三角形三角形三角形四边形四边形四边形四边形五边形五
9、边形五边形五边形六边形六边形六边形六边形n n边形边形边形边形31803180o o- -1 1 1 1180180o o=360=360o o41804180o o- -2 2 2 2180180o o=360=360o o51805180o o- -3 3 3 3180180o o=360=360o o61806180o o- -4 4 4 4180180o o=360=360o on180n180o o- -(n-2)(n-2)(n-2)(n-2)180180o o=360=360o o多边形的外角和多边形的外角和从上表中得到了什么结论？从上表中得到了什么结论？结论：结论：任何多边形的外
10、角和为任何多边形的外角和为360360练习练习1 1： 已知一个多边形，它的内角和等已知一个多边形，它的内角和等于外角和的于外角和的2 2倍，求这个多边形的边数。倍，求这个多边形的边数。 解：解： 设多边形的边数为设多边形的边数为n n 它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)(n-2)180180， 多边形外角和等于多边形外角和等于360360， (n-2)(n-2)180=2 360180=2 360。 解得解得: n=6: n=6 这个多边形的边数为这个多边形的边数为6 6。练一练练一练练一练练一练练习练习2 2：正五边形的每一个外角等于：正五边形的每一个外角等于_，每一个内角等于每一个
11、内角等于_。5X=360X=7272108解：设正五边形的每一个外角度数为解：设正五边形的每一个外角度数为x，由，由多边形的外角和等于多边形的外角和等于360度可得：度可得：所以每一个内角度数为所以每一个内角度数为108 练习练习3 3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36求这个多边形的边数。 解：设一个外角为解：设一个外角为x， 则内角为（则内角为（x36） 根据题意得：根据题意得： x+x+36180 x72 360725答：这个正多边形为正五边形。答：这个正多边形为正五边形。学习目标学习目标1.学会用三角形内角和定理证明多边形的内角学会用三角形内角和定理证明多边形的内角和与外角和；和与
12、外角和；2.会利用多边形的内角和与外角和来解决相关会利用多边形的内角和与外角和来解决相关问题。问题。问题问题 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并请你观察并思考如下几个问题思考如下几个问题:(1)小小明明每每从从一一条条街街道道转转到到下下一一条条街街道道时时，身身体转过的角是哪个角？在图中标出它们体转过的角是哪个角？在图中标出它们.ABCDE12345(2)他每
13、跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在上图中，你能求出在上图中，你能求出1+2+3+4+5的大小的大小吗？你是怎样得到的？吗？你是怎样得到的？从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点到点A.A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。就是多边形的外角和。由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。的各个角的和等于一个周角。即：即
14、：多边形的外角和等于多边形的外角和等于360360回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？l每个内角的度数是每个内角的度数是每个外角的度数是每个外角的度数是（4 4）正多边形的外角）正多边形的外角例2：一个正多边形的一个内角为一个正多边形的一个内角为150150， 你知道它是几边形吗？你知道它是几边形吗？ 解：设这个多边形为n边形，根据题意得：（n2）18010n n12答：这个多边形是12边形。另解：由于多边形外角和等于360 而这个正多边形的每个外角都等于 18015030， 所以这个正 多边形的边数等于 3603012。典型例题典型例题例例3、已已知知两两个个
15、多多边边形形的的内内角角和和为为1440，且且两两多多边边形形的的边边数数之之比比为为13，求求它它们们的的边边数数分分别别是多少？是多少？ 解解:设它们的边数分别是设它们的边数分别是x,y.由题意得：由题意得： （x-2）180+（ y -2）180=1440 x : y=1 : 3 解之得解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是答：它们的边数分别是3和和9。 牛刀小试：牛刀小试：（1）八边形的内角和等于）八边形的内角和等于 。（2）已知一个多边形的内角和等于）已知一个多边形的内角和等于2340， 它的边数是它的边数是 。（3）小明在计算多边形的内角和时求得的）小明在计算多边形的内角
16、和时求得的 度数是度数是1000，他的答案正确吗？为，他的答案正确吗？为 什么？什么？ 108015（4）已知四边形）已知四边形4个内角的度数比是个内角的度数比是1234， 那么这个四边形中最大角的度是那么这个四边形中最大角的度是 。（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角 都是都是n，则，则n= 。（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则 这个六边形的每个内角是这个六边形的每个内角是 。 （7）在四边形）在四边形ABCD中，中，A与与C互补，那么互补，那么B 与与D有什么关系呢？为什么？有什么关系呢？
17、为什么？ 1441351201、求下列图形中、求下列图形中x的值：的值：(1)(2)(3)CABDE(4)ABCD三、随堂练习三、随堂练习2 2、一个多边形的每一个外角都是、一个多边形的每一个外角都是60600 0，这个多边，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度形是几边形？它的内角和等于多少度? ? 3 3、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的的3 3倍？倍？ 4 4、一个多边形的每一个外角都相等，且每一个、一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大内角都比外角大90900 0，求这个多边形的边数和每，求这个多边形的边数和每个内角的度数
18、。个内角的度数。 8 8、两个多边形的边数比是、两个多边形的边数比是1:2,1:2,两个多边形的内两个多边形的内角和为角和为14401440度度, ,求这两个多边形的边数求这两个多边形的边数, ,7 7、一个多边形的每个内角都比相邻的外角、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3 3倍多倍多2020度度, ,求这个多边形的边数求这个多边形的边数, ,6 6、四边形的四个内角的比是、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,8:6:3:7,求它的四个内角求它的四个内角, ,5 5、一个多边形的内角和是外角和的、一个多边形的内角和是外角和的4 4倍倍, ,这是几边形这是几边形9、有一六边形，截去一三角形，
19、内角和会发生、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生怎样变化？请画图说明。怎样变化？请画图说明。内角和减少内角和减少180O内角和不变内角和不变内角和增加内角和增加180O3 3、n n边形的内角和为边形的内角和为(n(n2) 180(n3)2) 180(n3)1 1、n n边形从一个顶点出发的对角线有边形从一个顶点出发的对角线有(n(n3)3)条条(n3)(n3)2 2、n n边形共有对角线边形共有对角线 条条(n3)(n3)4 4、任何多边形的外角和为、任何多边形的外角和为360360四、课堂小结四、课堂小结5. 5. 已知内角和求几边形已知内角和求几边形: :内角和内角和180+2180
20、+26 6、正、正n n边形每个内角的度数是边形每个内角的度数是 7 7、正、正n n边形每个外角的度数是边形每个外角的度数是 教科书习题教科书习题11. .3第第1、2、4、5题题五、布置作业五、布置作业八边形的内角和等于多少度？八边形的内角和等于多少度？十边形呢？十边形呢？（82) 180= 1080小试牛刀小试牛刀总结：总结：1.n1.n边形内角和（边形内角和（n n2)180(n3)2)180(n3)2.2.从从n边形边形一个顶点出发，可以做一个顶点出发，可以做(n(n3)3)条对角线，它们将条对角线，它们将n边形分成边形分成（n-2）个个三角形三角形。(n3)(n3)一般地，从一般地，从n n边形的一个顶点出发，可以边形的一个顶点出发，可以作作(n-3)(n-3)条对角线它们将条对角线它们将n n边形分为边形分为(n-2)(n-2)个三角形个三角形
