曹培英老师课件12

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1、跨跨 越越 断断 层层 走走 出出 误误 区区数学课程标准解读：数学课程标准解读：“十个核心词十个核心词”的实践研究的实践研究引言引言义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011年版）年版） 最大的改变：最大的改变： 1.“1.“双基双基”“四基四基” 数学的基础知识、基本技能、基本思想、基数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验本活动经验 意味着：意味着：我国数学教育优良传统得到肯定我国数学教育优良传统得到肯定 理解理解记忆；记忆；回归回归“结果结果”与与“过程过程”并重的理念并重的理念 “ “但求曾经拥有，不求天长地久但求曾经拥有，不求天长地久”铺垫铺垫变式变式引言

2、引言义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011年版）年版） 最大的改变：最大的改变： 2.“2.“六个核心词六个核心词”“十个核心词十个核心词” 小学算术小学算术( (清末清末) )：熟习日用计算：熟习日用计算( (两个核心词两个核心词) ) 即便是小学数学的知识也并非都能实际应用即便是小学数学的知识也并非都能实际应用 例如：量角例如：量角 又如：人的一生中又如：人的一生中 使用三角形面积公式的可能性使用三角形面积公式的可能性0.5%0.5% 患上各种程度糖尿病的可能性患上各种程度糖尿病的可能性50%50% 所以，联系日常生活的目的主要是帮助建构知所以，联系日常生活的目的主要

3、是帮助建构知识的意义，促进理解；还必须为进一步学习着想识的意义，促进理解；还必须为进一步学习着想 实乃实乃“屠龙之技屠龙之技”引言引言义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011年版）年版） 最大的改变：最大的改变： 2.“2.“六个核心词六个核心词”“十个核心词十个核心词” 小学算术小学算术( (清末清末) )：熟习日用计算：熟习日用计算( (两个核心词两个核心词) ) 小学数学小学数学(1978)(1978)：计算能力，：计算能力，初步的逻辑思维初步的逻辑思维与与空间观念空间观念，解决简单实际问题，解决简单实际问题( (四个核心词四个核心词) ) 义务教育数学义务教育数学(

4、2001)(2001)：数感数感、符号感符号感、空间观、空间观念、念、统计观念统计观念、应用意识、推理能力、应用意识、推理能力 义务教育数学义务教育数学(2011)(2011)：数感、符号数感、符号意识意识、空间、空间观念、观念、几何直观几何直观、数据分析数据分析观念、观念、运算能力运算能力、推理、推理能力、能力、模型思想模型思想、应用意识、应用意识、创新意识创新意识一、数感一、数感 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。计等方面的感

5、悟。计等方面的感悟。计等方面的感悟。 建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。或表述具体情境中的数量关系。或表述具体情境中的数量关系。或表述具体情境中的数量关系。 已有研究认为数感是已有研究认为数感是已有研究认为数感是已有研究认为数感是“ “直觉直觉直觉直觉” ”、“ “敏感敏感敏感敏感” ”、“ “能力能力能力能力” ” 其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似其实，如同球员的球感，歌手的乐

6、感类似其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似 简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。 教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大小比较小比较小比较小比较都有助于形成数感。都有助于形成数感。都有助于形成数感。都有助于形成数感。 看不到新概念背后的实在之物，就容易看不到新概念背后的实在之物，就容易看不到新概念背后的实在之物，

7、就容易看不到新概念背后的实在之物，就容易（割裂历史）（割裂历史）（割裂历史）（割裂历史）一、数感一、数感 认知偏差：认知偏差：认知偏差：认知偏差： 全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索 实践误区：实践误区：实践误区：实践误区：先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准l教学教学教学教学100100100100以内数的认识：估豆子以内数的认识：估豆子以内数的认识：估豆子以内数的认识：估豆子l教学教学教学教学1000100010001000以内数的认识：估纸以内数的认识：估纸以内数的认识：估纸以内数的认识：估纸加强应用，培养

8、现实的数感加强应用，培养现实的数感加强应用，培养现实的数感加强应用，培养现实的数感l教学整万数的认识：估人民币教学整万数的认识：估人民币教学整万数的认识：估人民币教学整万数的认识：估人民币l（割裂历史）（割裂历史）（割裂历史）（割裂历史）一、数感一、数感 认知偏差：认知偏差：认知偏差：认知偏差： 全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索 实践误区：实践误区：实践误区：实践误区：先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准加强应用，培养现实的数感加强应用，培养现实的数感加强应用，培养现实的数感加强应用，培养现实的数感 问题所在：

9、问题所在：问题所在：问题所在： 数感、量感不分数感、量感不分数感、量感不分数感、量感不分 以特殊的量为载体以特殊的量为载体以特殊的量为载体以特殊的量为载体 有效案例：有效案例：有效案例：有效案例： 首先，数感是数出来的！首先，数感是数出来的！一、数感一、数感 简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。 有没有不依赖量的数感？有没有不依赖量的数感？有没有不依赖量的数感？有没有不依赖量的数感？ 请看读数的例子：请看读数的例子：请看读数的例子：请看读数的例子：3060

10、0， 30060， 30006三万零六百三万零六百 三万零六十三万零六十 三万零六三万零六30000060003000006000 三十亿三十亿三十亿三十亿零零六千六千六千六千67896789由由由由( )( )( )( )个千，个千，个千，个千，( )( )( )( )个百，个百，个百，个百，( )( )( )( )个十和个十和个十和个十和( )( )( )( )个一组成个一组成个一组成个一组成. .6789=6789=( )( )( )( )10001000( )( )( )( )100100( )( )( )( )1010( )( )( )( )967896789读作读作读作读作( )(

11、 )( )( )千千千千 ( ) ( ) ( ) ( ) 百百百百 ( ) ( ) ( ) ( ) 十十十十 ( )( )( )( ) ；8769 98 87 76 6其次，读数可以也应该读出其次，读数可以也应该读出数感！数感！分数也能读出数感，如分数也能读出数感，如分数也能读出数感，如分数也能读出数感，如“2/32/32/32/3什么意思？什么意思？什么意思？什么意思？” “ “ “ “2/32/32/32/3的意思就是的意思就是的意思就是的意思就是三分之二三分之二三分之二三分之二”3 32 2一、数感一、数感回溯以往相关教学策略：回溯以往相关教学策略：1.1.在数概念教学中培养数感在数概念

12、教学中培养数感个个十十百百千千如如: :借助几何直观引入计数单位借助几何直观引入计数单位一、数感一、数感水深水深 60米米20 米米水深水深 20米米海平面海平面0米米 甲湖甲湖 乙湖乙湖(1)(1)(1)(1)看看看看图图写数。写数。写数。写数。 ( ( ( (数概念直数概念直数概念直数概念直观观化的化的化的化的练习练习) ) ) )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(2)(2)(2)(2)你知道全校做早操，操场上有多少人吗你知道全校做早操，操场上有多少人吗你知道全校做早操，操场上有多少人吗你知道全校做早操，操场上有多少人吗? ? ? ? 大约大约大约大

13、约1000100010001000人人人人, , , , 想一想想一想想一想想一想,( ),( ),( ),( )个这样学校的学生集中在一起个这样学校的学生集中在一起个这样学校的学生集中在一起个这样学校的学生集中在一起, , , ,约一万人约一万人约一万人约一万人. . . . （数概念生活化的练习）（数概念生活化的练习）（数概念生活化的练习）（数概念生活化的练习）(3)(3)(3)(3)读一读，填一填读一读，填一填读一读，填一填读一读，填一填. . . .（数概念形式化的练习）（数概念形式化的练习）（数概念形式化的练习）（数概念形式化的练习） 如前面的填空练习如前面的填空练习如前面的填空练习

14、如前面的填空练习 甲湖水面高度记作甲湖水面高度记作甲湖水面高度记作甲湖水面高度记作0 0 0 0米，甲湖水底高度记作米，甲湖水底高度记作米，甲湖水底高度记作米，甲湖水底高度记作( )( )( )( )米；乙湖是堰米；乙湖是堰米；乙湖是堰米；乙湖是堰塞湖，水底高度记作塞湖，水底高度记作塞湖，水底高度记作塞湖，水底高度记作( )( )( )( )米，水面高度记作米，水面高度记作米，水面高度记作米，水面高度记作( )( )( )( )米。米。米。米。 -20-20-20-20+20+20+20+20+80+80+80+80“多多多多样样化化化化”旨在旨在旨在旨在“各取所需各取所需各取所需各取所需”，

15、 适适适适应应不同学生！不同学生！不同学生！不同学生！2332332332332332332.2.2.2.在计算教学中发展数感在计算教学中发展数感在计算教学中发展数感在计算教学中发展数感 如小数乘法计算法则推导：如小数乘法计算法则推导：如小数乘法计算法则推导：如小数乘法计算法则推导：0.1530.1530.1530.153？ 0.150.150.150.15 3 3 3 3 45 45 45 451 11 1一、数感一、数感小时行小时行小时行小时行6 6 6 6公里，公里，公里，公里，1 1 1 1小时行？小时行？小时行？小时行？ 1 1 1 1小时行小时行小时行小时行2/32/32/32/3

16、小时行小时行小时行小时行6 6 6 6kmkm 即即即即3 3份中的份中的份中的份中的2 2份是份是份是份是6 6先求先求先求先求1 1份是多少份是多少份是多少份是多少分数除法计算法则推导：分数除法计算法则推导：分数除法计算法则推导：分数除法计算法则推导：数感可以算出来、估出来。数感可以算出来、估出来。数感可以算出来、估出来。数感可以算出来、估出来。小学数学历来重视数感培养，从小学数学历来重视数感培养，从小学数学历来重视数感培养，从小学数学历来重视数感培养，从“自发自发自发自发”走向了走向了走向了走向了“自觉自觉自觉自觉”3 3份是份是份是份是9 9再求再求再求再求3 3份是多少份是多少份是多

17、少份是多少 0.0.0.0.一、数感一、数感3.3.在解决实际问题中激活数感在解决实际问题中激活数感一个典型案例：一个典型案例：一个典型案例：一个典型案例：7215721510801080（米）（米）（米）（米） 10801080稍大于稍大于稍大于稍大于10001000；10801080超过超过超过超过20002000的一半，都是真正的数感，与量无关的一半，都是真正的数感，与量无关的一半，都是真正的数感，与量无关的一半，都是真正的数感，与量无关一、数感一、数感总而言之总而言之数感：数感：数感：数感：最朴实的数学素养，最朴实的数学素养，最朴实的数学素养，最朴实的数学素养， 就是关于数的感觉与理解

18、。就是关于数的感觉与理解。就是关于数的感觉与理解。就是关于数的感觉与理解。数感可以：数感可以：数感可以：数感可以：数出来数出来数出来数出来读出来读出来读出来读出来算出来算出来算出来算出来估出来估出来估出来估出来用出来用出来用出来用出来 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算

19、和推理，得到的结论具有一般性。理，得到的结论具有一般性。理，得到的结论具有一般性。理，得到的结论具有一般性。 建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。达和进行数学思考的重要形式。达和进行数学思考的重要形式。达和进行数学思考的重要形式。 符号：指具有某种代表意义的记号、标识；符号：指具有某种代表意义的记号、标识；符号：指具有某种代表意义的记号、标识；符号：指具有某种代表意义的记号、标识； 它是意义的载体，精神的外化呈现。它是意义的载体

20、，精神的外化呈现。它是意义的载体，精神的外化呈现。它是意义的载体，精神的外化呈现。 数学的符号：数学的符号：数学的符号：数学的符号：“ “标识标识标识标识” ”的内容是特殊的；的内容是特殊的；的内容是特殊的；的内容是特殊的； 它的它的它的它的“ “作用作用作用作用” ”更具特殊性。更具特殊性。更具特殊性。更具特殊性。二、符号意识二、符号意识 培养符号意识误区的主要表现：培养符号意识误区的主要表现：培养符号意识误区的主要表现：培养符号意识误区的主要表现：生活中的符号混同数学符号生活中的符号混同数学符号生活中的符号混同数学符号生活中的符号混同数学符号 社会已经先于学校培养了孩子的符号意识社会已经先

21、于学校培养了孩子的符号意识社会已经先于学校培养了孩子的符号意识社会已经先于学校培养了孩子的符号意识规律的表征混同符号意识规律的表征混同符号意识规律的表征混同符号意识规律的表征混同符号意识 其他学科先于数学发展了学生的符号表征其他学科先于数学发展了学生的符号表征其他学科先于数学发展了学生的符号表征其他学科先于数学发展了学生的符号表征一概让学生自创符号一概让学生自创符号一概让学生自创符号一概让学生自创符号 自创之后更应了解为什么全人类沿用这些符号？自创之后更应了解为什么全人类沿用这些符号？自创之后更应了解为什么全人类沿用这些符号？自创之后更应了解为什么全人类沿用这些符号？ 二、符号意识二、符号意识

22、红红红红 绿绿绿绿 红红红红 绿绿绿绿 红红红红 绿绿绿绿 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 只是记号只是记号只是记号只是记号对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识二、符号意识一是数字符号，如：一是数字符号，如：一是数字符号，如：一是数

23、字符号，如：1 1 怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识二、符号意识一是数字符号，一是数字符号，一是数字符号，一是数字符号，二是运算符号二是运算符号二是运算符号二是运算符号，如：如：如：如：数学符号：被感知的直观形式与内在思想，数学符号：被感知的直观形式与内在思想，数学符号：被感知的直观形式与内在思想，数学符号：被感知的直观形式与内在思想， 高度和谐、统一。高度和谐、统一。高度和谐、统一。高度和谐、统一。 “ “再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符再也没有比平

24、行而又等长的短线段更确切的相等符再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符号了号了号了号了” ” 列科尔德列科尔德列科尔德列科尔德 诸如此类，举不胜举。诸如此类，举不胜举。诸如此类，举不胜举。诸如此类，举不胜举。 可见：数学符号如同可见：数学符号如同可见：数学符号如同可见：数学符号如同“ “象形文字象形文字象形文字象形文字” ”， 简洁、生动、形象、传神。简洁、生动、形象、传神。简洁、生动、形象、传神。简洁、生动、形象、传神。 符号本身就符号本身就符号本身就符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。具有促进理解，帮助记忆的教学功能。具有促进理解，

25、帮助记忆的教学功能。具有促进理解，帮助记忆的教学功能。 任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！ 怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识二、符号意识三是关系符号，如：三是关系符号，如：三是关系符号，如：三是关系符号，如：一是数字符号，一是数字符号，一是数字符号，一是数字符号，二是运算符号二是运算符号二是运算符号二是运算符号， 对于小学数学来说：对于小学

26、数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说： 首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！ 其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。 “ “ “ “优势优势优势优势”在于简洁吗？在于简洁吗？在于简洁吗？在于简洁吗？二、符号意识二、符号意识 ( (a+b) )c=ac+bc c a b “ “优势优势优势优势” ”不仅在于不仅在于不仅在于不仅在于“ “简洁简洁简洁简洁” ”、还

27、在于、还在于、还在于、还在于“ “准确准确准确准确” ”、“ “无无无无歧义歧义歧义歧义” ”更在于由特殊到一般更在于由特殊到一般更在于由特殊到一般更在于由特殊到一般 对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说： 首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！ 其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。 “ “使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一

28、使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性般性般性般性” ” 你想一个整数，把它乘你想一个整数，把它乘你想一个整数，把它乘你想一个整数，把它乘2 2 2 2加加加加7 7 7 7，再把结果乘，再把结果乘，再把结果乘，再把结果乘3 3 3 3减减减减21212121。告。告。告。告诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？ 设：所想的数为设：所想的数为设：所想的数

29、为设：所想的数为x x，则，则，则，则 2 2 2 2x x7 7 7 7二、符号意识二、符号意识 则（则（则（则（ )3)3)3)321212121 6 6 6 6x x2121212121212121 6 6 6 6x不引进符号与字母，就没有今天的数学！不引进符号与字母，就没有今天的数学！不引进符号与字母，就没有今天的数学！不引进符号与字母，就没有今天的数学！如：如：如：如： 原来的描述原来的描述原来的描述原来的描述 物体的形状、大小、位置关系留在脑中的物体的形状、大小、位置关系留在脑中的物体的形状、大小、位置关系留在脑中的物体的形状、大小、位置关系留在脑中的表象表象表象表象。 现在的描述

30、现在的描述现在的描述现在的描述 空间观念主要是指根据物体特征空间观念主要是指根据物体特征空间观念主要是指根据物体特征空间观念主要是指根据物体特征抽象抽象抽象抽象出几何图形，出几何图形，出几何图形，出几何图形，根据几何图形根据几何图形根据几何图形根据几何图形想象想象想象想象出所描述的实际物体；出所描述的实际物体；出所描述的实际物体；出所描述的实际物体；想象想象想象想象出物体的出物体的出物体的出物体的方位和相互之间的位置关系；方位和相互之间的位置关系；方位和相互之间的位置关系；方位和相互之间的位置关系；描述描述描述描述图形的运动和变化；图形的运动和变化；图形的运动和变化；图形的运动和变化；依据语言

31、的描述依据语言的描述依据语言的描述依据语言的描述画出画出画出画出图形等。图形等。图形等。图形等。 三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物（侧重（侧重（侧重（侧重“ “界定界定界定界定” ”，“ “是什么是什么是什么是什么” ”）：）：）：）：（侧重（侧重（侧重（侧重“ “表现表现表现表现” ”，“ “怎么样怎么样怎么样怎么样” ”）：）：）：）：空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换变换名称名称 性质性质三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换

32、变换名称名称 性质性质星星河河街街会展路会展路 星星星星河河河河街街街街 中中中中山山山山路路路路三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换变换名称名称 性质性质长方形、一片长方形、一片长方形、一片长方形、一片花瓣旋转花瓣旋转花瓣旋转花瓣旋转三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换变换名称名称 性质性质6 6 6 6个面、个面、个面、个面、12121212条条条条 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空

33、间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。依据语言

34、的描述画出图形等。三、空间观念三、空间观念空间知觉空间知觉空间知觉空间知觉（表象的基础）（表象的基础）空间观念空间观念空间观念空间观念（表象的形成）（表象的形成） 空间想象空间想象空间想象空间想象（表象的改造）（表象的改造）三种水平既递进发展，又交错共存三种水平既递进发展，又交错共存实物指认实物指认图形指认图形指认剖面指认剖面指认空间观念发展规律空间观念发展规律空间观念发展规律空间观念发展规律例如：指认圆柱高例如：指认圆柱高例如：指认圆柱高例如：指认圆柱高三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点 (1)(1)(1)(1)从感知强成分到感知弱成分从感知强成

35、分到感知弱成分从感知强成分到感知弱成分从感知强成分到感知弱成分 强弱具有相对性强弱具有相对性强弱具有相对性强弱具有相对性, , , ,特殊性特殊性特殊性特殊性 如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分； 关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点 (1)(1)(1)(1)从感知强成份到感知弱成份从感知强成份到感知弱成份从感知强成份到感知弱成份从感知强成份到感知弱成份 强弱具有相对性强弱具有相对

36、性强弱具有相对性强弱具有相对性, , , ,特殊性特殊性特殊性特殊性 如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分； 关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(2)(2)(2)(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系垂直、平行概念中的垂直、平行概念中的垂直、平行概念中的垂直、平行概念中的“要素要

37、素要素要素”相交成直角的两条直线互相垂直相交成直角的两条直线互相垂直相交成直角的两条直线互相垂直相交成直角的两条直线互相垂直同一平面内不相交的两条直线互相平行同一平面内不相交的两条直线互相平行同一平面内不相交的两条直线互相平行同一平面内不相交的两条直线互相平行以双杠为例：以双杠为例：以双杠为例：以双杠为例：先讨论平行：先讨论平行：先讨论平行：先讨论平行：再讨论垂直：再讨论垂直：再讨论垂直：再讨论垂直：平行平行平行平行 同一平面同一平面同一平面同一平面垂直垂直垂直垂直同一平面同一平面同一平面同一平面两个平面两个平面两个平面两个平面( ( ( (异面垂直异面垂直异面垂直异面垂直) ) ) )1 1

38、3 32 21 12 22 24 44 41 14 42 2三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(2)(2)(2)(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系 一个包装盒，如果从里面长一个包装盒，如果从里面长一个包装盒，如果从里面长一个包装盒，如果从里面长3.83.8分米，宽分米，宽分米，宽分米，宽2 2分米，容积分米，容积分米，容积分米，容积34.234.2立立立立方分米。小胖想用它来装一件长方分米。小胖想用它来装一件长方分米。小胖想用它来装一件长方分

39、米。小胖想用它来装一件长3.53.5分米，宽分米，宽分米，宽分米，宽1.91.9分米分米分米分米, ,高高高高4.84.8分分分分米的礼物米的礼物米的礼物米的礼物, ,是否装得下？是否装得下？是否装得下？是否装得下？ 3.51.94.83.51.94.831.9231.92 关注长与长、宽与宽、高与高的关系关注长与长、宽与宽、高与高的关系关注长与长、宽与宽、高与高的关系关注长与长、宽与宽、高与高的关系 34.23.82 34.23.824.5 4.5 很少想象盒与礼物的实际大小很少想象盒与礼物的实际大小很少想象盒与礼物的实际大小很少想象盒与礼物的实际大小34. 2 34. 2 4. 84. 8

40、3.83.83.83.82 2 2 24.54.54.54.53.53.53.53.51.91.91.91.94.84.84.84.8答：装得下。答：装得下。答：装得下。答：装得下。三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(3)(3)(3)(3)从熟悉标准图形到熟悉变式图形从熟悉标准图形到熟悉变式图形从熟悉标准图形到熟悉变式图形从熟悉标准图形到熟悉变式图形 图形的认识：图形的认识：图形的认识：图形的认识： 标准图形标准图形标准图形标准图形变式图形变式图形变式图形变式图形 “ “ “ “标准标准标准标准”与与与与“变式变式变式变式”是相对的是相对的是相对的

41、是相对的三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(4)(4)(4)(4)从直观辨认图形到语言描述特征从直观辨认图形到语言描述特征 例如：识别梯形例如：识别梯形说出梯形特征说出梯形特征 梯子形状的图形梯子形状的图形只有一组对边平行的四边形只有一组对边平行的四边形 四边形四边形平行平行 （幼儿园）（幼儿园）( (小学高年级小学高年级) )三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(5)(5)(5)(5)从使用日常语言到使用几何语言从使用日常语言到使用几何语言从使用日常语言到使用几何语言从使用日常语言到使用几何语言 如如如

42、如“ “高高高高” ”： 生活中的高生活中的高生活中的高生活中的高几何图形的高几何图形的高几何图形的高几何图形的高 身高、树高身高、树高身高、树高身高、树高平行四边形的高平行四边形的高平行四边形的高平行四边形的高 三角形的高三角形的高三角形的高三角形的高 圆柱的高圆柱的高圆柱的高圆柱的高 圆锥的高圆锥的高圆锥的高圆锥的高( ( ( (平行线间的距离平行线间的距离平行线间的距离平行线间的距离) ) ) )( ( ( (点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离) ) ) )( ( ( (平行平面的距离平行平面的距离平行平面的距离平行平面的距离) ) ) )( ( ( (点到平面的距

43、离点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离) ) ) )三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(6)(6)(6)(6)从形成二维空间观念到三维空间观念从形成二维空间观念到三维空间观念从形成二维空间观念到三维空间观念从形成二维空间观念到三维空间观念 三、空间观念三、空间观念（1 1）观察观察：有序观察，选择对象，变换角度：有序观察，选择对象，变换角度（2 2）操作操作：学会画图，动手操作，自我释疑：学会画图，动手操作，自我释疑（3 3）变式变式：变化形状，变化位置，变化大小：变化形状，变化位置，变化大小（4 4）辨析辨析：同中见异，异中求同，精确分化：

44、同中见异，异中求同，精确分化（5 5）结合结合：形象与语言结合，数与形结合：形象与语言结合，数与形结合怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？三、空间观念三、空间观念 加强加强“画图画图”的重要意义：的重要意义： 小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；小学阶段，有时间铺垫，却少有作为； 初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何命题，只能一带而过。命题，只能一带而过。命题，只能一带而过。命题

45、，只能一带而过。 能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。因此，客观上加大了两极分化。因此，客观上加大了两极分化。因此，客观上加大了两极分化。因此，客观上加大了两极分化。怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？例如，画图：例如，画图：过两点画直线过两点画直线过两点画直线过

46、两点画直线过两点画线段过两点画线段过两点画线段过两点画线段过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线段过直线外一点画已知直线的垂线段过直线外一点画已知直线的垂线段过直线外一点画已知直线的垂线段三、空间观念三、空间观念怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？ 感知感知两点确定一条直线两点确定一条直线两点确定一条直线两点确定一条直线两点之间线段最短两点之间线段最短两点之间线段

47、最短两点之间线段最短平行公理平行公理平行公理平行公理垂线的唯一性垂线的唯一性垂线的唯一性垂线的唯一性垂直线段最短垂直线段最短垂直线段最短垂直线段最短 三、空间观念三、空间观念 加强加强“操作操作”（动作直观）动作直观）的重要意义：的重要意义： 即使高年级，当空间想象受阻时，动手操作即使高年级，当空间想象受阻时，动手操作实验依然是行之有效的教学对策。实验依然是行之有效的教学对策。 如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成27272727个个个个同样大小的小正方体木块。三面、两面

48、、一面涂色的小同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小正方体木块各有多少个？正方体木块各有多少个？正方体木块各有多少个？正方体木块各有多少个？表面无色的有多少个？表面无色的有多少个？表面无色的有多少个？表面无色的有多少个？怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？8 ；12；62781261 三、空间观念三、空间观念 “ “操作操作”帮助帮助空间想象的实例：空间想象的实例： 一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘一个表面涂色的长方体

49、木块，长、宽、高都是整数厘一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘米，把它切割成若干个棱长米，把它切割成若干个棱长米，把它切割成若干个棱长米，把它切割成若干个棱长1 1 1 1厘米的小正方体木块。厘米的小正方体木块。厘米的小正方体木块。厘米的小正方体木块。 如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的小正方体最多有几个？小正方体最多有几个？小正方体最多有几个？小正方体最多有几个？ 如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有如果其

50、中只有两个面涂色的小正方体恰有如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4 4 4 4个，那个，那个，那个，那么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？ 怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？3,2,23,2,24,4,14,4,16,3,16,3,1四、几何直观四、几何直观 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形

51、象，有助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。于探索解决问题的思路，预测结果。于探索解决问题的思路，预测结果。于探索解决问题的思路，预测结果。案例案例案例案例1 1：团体操原来队伍每行：团体操原来队伍每行：团体操原来队伍每行：团体操原来队伍每行1010人人人人, ,有有有有5 5行。现在调整成每行增加行。现在调整成每行增加行。现在调整成每行增加行。现在调整成每行增加 3 3人，增加人，增加人，增加人，增加2 2行，现在需要增加多少人？行，现在需要增加多少人？

52、行，现在需要增加多少人？行，现在需要增加多少人？ 3 3 3 32 2 2 2？ (10(10(10(103)(53)(53)(53)(52)2)2)2)105105105105 案例案例案例案例2 2：如图，如图，如图，如图，“ ”“ ”与与与与“ ”“ ”，哪个面积，哪个面积，哪个面积，哪个面积大大大大? ? 案例案例案例案例3 3：1四、几何直观四、几何直观 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。学习过程中都发挥着重

53、要作用。学习过程中都发挥着重要作用。学习过程中都发挥着重要作用。 希尔伯特：希尔伯特：希尔伯特：希尔伯特：“ “在数学中在数学中在数学中在数学中, , , ,象在任何科学研究中那样象在任何科学研究中那样象在任何科学研究中那样象在任何科学研究中那样, , , ,有有有有两种倾向。一种是抽象的倾向两种倾向。一种是抽象的倾向两种倾向。一种是抽象的倾向两种倾向。一种是抽象的倾向另一种是直观的倾向，另一种是直观的倾向，另一种是直观的倾向，另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意即更

54、直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意义，也可以说领会它们生动的形象义，也可以说领会它们生动的形象义，也可以说领会它们生动的形象义，也可以说领会它们生动的形象” ”。 克莱因：克莱因：克莱因：克莱因：“ “数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上确的直观上确的直观上确的直观上, , 数学直观就是对概念、证明的直接把握。数学直观就是对概念、证明的直接把握。数学直观就是对概念、证明的直接把握。数学直观就是对概念、证明的直接把握。” ” 有必要区分两种层次的几何直观：有必要区分两种层次的几

55、何直观：有必要区分两种层次的几何直观：有必要区分两种层次的几何直观： 感性认识阶段、较低层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：“ “直观感知直观感知直观感知直观感知” ” 理性认识阶段、更高层次的几何直观：理性认识阶段、更高层次的几何直观：理性认识阶段、更高层次的几何直观：理性认识阶段、更高层次的几何直观：“ “直观洞察直观洞察直观洞察直观洞察” ” 四、几何直观四、几何直观案例案例案例案例4 4：两个数的和是：两个数的和是：两个数的和是：两个数的和是1 16 6，这两个数的积最大是多少？，这两个数的积最大是多少？

56、，这两个数的积最大是多少？，这两个数的积最大是多少？ 周长相等的长方形，长、宽相等时面积最大。周长相等的长方形，长、宽相等时面积最大。周长相等的长方形，长、宽相等时面积最大。周长相等的长方形，长、宽相等时面积最大。用用用用16161616厘米长铁丝围成长方形厘米长铁丝围成长方形厘米长铁丝围成长方形厘米长铁丝围成长方形 在小学：在小学：在小学：在小学：“ “直观感知直观感知直观感知直观感知” ”是大量的，习以为常了；是大量的，习以为常了；是大量的，习以为常了；是大量的，习以为常了； “ “直观洞察直观洞察直观洞察直观洞察” ”是不多的，较少被关注。是不多的，较少被关注。是不多的，较少被关注。是不

57、多的，较少被关注。四、几何直观四、几何直观四、几何直观四、几何直观 怎样培养几何直观怎样培养几何直观 1.1.1.1.加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立加强空间观念的建立 2.2.2.2.加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用加强数形结合的运用 3. 3. 3. 3.加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练加强构造直观的训练 如：示意图如：示意图如：示意图如：示意图线段图线段图线段图线段图韦恩图韦恩图韦恩图韦恩图面积图面积图面积图面积图 4. 4. 4. 4.重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解重视数学的直观理解 5.5.5.

58、5.重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察重视数学的直观洞察四、几何直观四、几何直观 几何直观具有局限性几何直观具有局限性几何直观具有局限性几何直观具有局限性：案例案例案例案例5 5 5 5：垂直与平行：垂直与平行：垂直与平行：垂直与平行 “ “ “ “直线的位置关系直线的位置关系直线的位置关系直线的位置关系”“ “关系关系关系关系” ”：人际关系，如人际关系，如人际关系，如人际关系，如“ “师生关系师生关系师生关系师生关系” ”数量关系，如数量关系，如数量关系，如数量关系，如“ “8 8是是是是4 4的的的的2 2倍倍倍倍” ”平面上两直线平面上两直线平面上两直线平面上两直线

59、( ( ( (观察距离观察距离观察距离观察距离) ) ) )相交相交相交相交平行平行平行平行重合重合重合重合( ( ( (没有交点没有交点没有交点没有交点) ) ) )( ( ( (一个交点一个交点一个交点一个交点) ) ) )( ( ( (无数交点无数交点无数交点无数交点) ) ) )( ( ( (不讨论不讨论不讨论不讨论) ) ) )( ( ( (观察角观察角观察角观察角) ) ) )画一画，两条直线有哪些位置关系画一画，两条直线有哪些位置关系画一画，两条直线有哪些位置关系画一画，两条直线有哪些位置关系“ “先行组织者先行组织者先行组织者先行组织者” ”, , 具有更高包容性的概具有更高包

60、容性的概具有更高包容性的概具有更高包容性的概念念念念四、几何直观四、几何直观 几何直观具有局限性几何直观具有局限性几何直观具有局限性几何直观具有局限性：案例案例案例案例5 5 5 5：垂直与平行：垂直与平行：垂直与平行：垂直与平行 “ “ “ “直线的位置关系直线的位置关系直线的位置关系直线的位置关系”课后，有学生争论：课后，有学生争论：课后，有学生争论：课后，有学生争论：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？四、几何直观四、几何直观 几何直观具有局限性几何直观具有局限性几

61、何直观具有局限性几何直观具有局限性：案例案例案例案例5 5 5 5：垂直与平行：垂直与平行：垂直与平行：垂直与平行 “ “ “ “直线的位置关系直线的位置关系直线的位置关系直线的位置关系”课后，有学生争论：课后，有学生争论：课后，有学生争论：课后，有学生争论：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？夹角为夹角为夹角为夹角为0 0 0 0平面上两直线平面上两直线平面上两直线平面上两直线相交相交相交相交平行平行平行平行重合重合重合重合( ( ( (没有交点没有交点没有交点没有交点

62、) ) ) )( ( ( (一个交点一个交点一个交点一个交点) ) ) )( ( ( (无数交点无数交点无数交点无数交点) ) ) )间距为间距为间距为间距为0 0 0 0从量变到质变从量变到质变从量变到质变从量变到质变( ( ( (相当于一条直线，不讨论；相当于一条直线，不讨论；相当于一条直线，不讨论；相当于一条直线，不讨论；到学习解析几何再讨论到学习解析几何再讨论到学习解析几何再讨论到学习解析几何再讨论) ) ) ) 还是还是还是还是“数形结合数形结合数形结合数形结合”更全面。更全面。更全面。更全面。五、数据分析观念五、数据分析观念 数据分析观念包括：数据分析观念包括：数据分析观念包括：数

63、据分析观念包括： 了解现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集了解现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集了解现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集了解现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息； 了解统计过程了解统计过程了解统计过程了解统计过程 了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根了解对于同样的数据可以有

64、多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；据问题的背景选择合适的方法；据问题的背景选择合适的方法；据问题的背景选择合适的方法； 了解按需选择了解按需选择了解按需选择了解按需选择 通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。就可能从中发现规律

65、。就可能从中发现规律。就可能从中发现规律。 体验随机性体验随机性体验随机性体验随机性 数据分析是统计的核心。数据分析是统计的核心。数据分析是统计的核心。数据分析是统计的核心。五、数据分析观念五、数据分析观念知识技能层面的内涵知识技能层面的内涵知识技能层面的内涵知识技能层面的内涵 （统计过程）（统计过程）（统计过程）（统计过程）数据收集数据收集数据收集数据收集整理、描述整理、描述整理、描述整理、描述分析判断分析判断分析判断分析判断整体观、随机观、相对观整体观、随机观、相对观整体观、随机观、相对观整体观、随机观、相对观求实精神求实精神求实精神求实精神思想观点层面的内涵思想观点层面的内涵思想观点层面

66、的内涵思想观点层面的内涵 价价价价 值值值值 观观观观 层面的内涵层面的内涵层面的内涵层面的内涵 “ “整体观整体观整体观整体观” ”：更多归纳，总体观察、把握：更多归纳，总体观察、把握：更多归纳，总体观察、把握：更多归纳，总体观察、把握 “ “相对观相对观相对观相对观” ”：存在例外，只有：存在例外，只有：存在例外，只有：存在例外，只有“ “好好好好” ”和和和和“ “不好不好不好不好” ”( ( ( (按需选按需选按需选按需选择择择择) ) ) )“ “求实精神求实精神求实精神求实精神” ”：尊重事实，用数据说话：尊重事实，用数据说话：尊重事实，用数据说话：尊重事实，用数据说话 五、数据分

67、析观念五、数据分析观念 1.1.什么是数据分析观念（内涵）什么是数据分析观念（内涵） 2.2.怎样发展学生的数据分析观念（策略）怎样发展学生的数据分析观念（策略） 已有经验已有经验的的总结：总结： 让学生亲历统计活动的过程；让学生亲历统计活动的过程； 让学生亲近数据、感悟数据。让学生亲近数据、感悟数据。 亟待突破的瓶颈：亟待突破的瓶颈： （1 1）开发统计活动资源）开发统计活动资源 （2 2）挖掘统计活动内涵）挖掘统计活动内涵五、数据分析观念五、数据分析观念 2. 2.怎样发展学生的数据分析观念怎样发展学生的数据分析观念 （1 1）开发统计活动资源）开发统计活动资源16141210 8 6 4

68、 2 010101010161616168 8 8 86 6 6 68 8 8 87 7 7 76 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 10 0 0 0最喜欢的卡通形象最喜欢的卡通形象最喜欢的卡通形象最喜欢的卡通形象各类过往车辆各类过往车辆各类过往车辆各类过往车辆各项目游玩人数各项目游玩人数各项目游玩人数各项目游玩人数虚拟场景，动态统计虚拟场景，动态统计虚拟场景，动态统计虚拟场景，动态统计五、数据分析观念五、数据分析观念 2. 2.怎样发展学生的数据分析观念怎样发展学生的数据分析观念 （1 1）开发统计活动资源）开发统计活动资源课外：小调查，小研究课外

69、：小调查，小研究课外：小调查，小研究课外：小调查，小研究 分类统计个人每次数学测验的扣分分类统计个人每次数学测验的扣分分类统计个人每次数学测验的扣分分类统计个人每次数学测验的扣分 计计算算算算应应用用用用概念概念概念概念合合合合计计第第第第1 1 1 1次次次次第第第第2 2 2 2次次次次总计总计五、数据分析观念五、数据分析观念 2. 2.怎样发展学生的数据分析观念怎样发展学生的数据分析观念 （2 2）挖掘统计活动内涵挖掘统计活动内涵如如如如统统统统计计计计“ “最最最最喜喜喜喜欢欢欢欢的的的的水水水水果果果果” ”：二二二二年年年年级级级级，除除除除了了了了举举举举手手手手统统统统计计计计

70、、选选选选用用用用画画画画“ “正正正正” ”或或或或“ “四四四四竖竖竖竖一一一一横横横横” ”做做做做记记记记录录录录、讨讨讨讨论论论论统统统统计计计计结结结结果果果果的的的的用用用用场场场场，还还还还能能能能挖挖挖挖掘掘掘掘什什什什么么么么？1.1.1.1.感知总体调查与抽样调查感知总体调查与抽样调查感知总体调查与抽样调查感知总体调查与抽样调查 引入统计：引入统计：引入统计：引入统计： 要知道班上同学最喜欢哪种水果，你认为三位同学想到的调查要知道班上同学最喜欢哪种水果，你认为三位同学想到的调查要知道班上同学最喜欢哪种水果，你认为三位同学想到的调查要知道班上同学最喜欢哪种水果，你认为三位同

71、学想到的调查方法，哪一种比较合适？为什么？方法，哪一种比较合适？为什么？方法，哪一种比较合适？为什么？方法，哪一种比较合适？为什么？ （1 1 1 1）小亚：问自己小组的）小亚：问自己小组的）小亚：问自己小组的）小亚：问自己小组的5 5 5 5位同学；位同学；位同学；位同学； （2 2 2 2）小胖：问和自己最要好的）小胖：问和自己最要好的）小胖：问和自己最要好的）小胖：问和自己最要好的4 4 4 4位男同学；位男同学；位男同学；位男同学； （3 3 3 3）小巧：问全班同学。）小巧：问全班同学。）小巧：问全班同学。）小巧：问全班同学。五、数据分析观念五、数据分析观念 2. 2.怎样发展学生的

72、数据分析观念怎样发展学生的数据分析观念 （2 2）挖掘统计活动内涵挖掘统计活动内涵如如如如统统统统计计计计“ “最最最最喜喜喜喜欢欢欢欢的的的的水水水水果果果果” ”：二二二二年年年年级级级级，除除除除了了了了举举举举手手手手统统统统计计计计、选选选选用用用用画画画画“ “正正正正” ”或或或或“ “四四四四竖竖竖竖一一一一横横横横” ”做做做做记记记记录录录录、讨讨讨讨论论论论统统统统计计计计结结结结果果果果的的的的用用用用场场场场，还还还还能能能能挖挖挖挖掘掘掘掘什什什什么么么么？1.1.1.1.感知总体调查与抽样调查感知总体调查与抽样调查感知总体调查与抽样调查感知总体调查与抽样调查2.2

73、.2.2.接触不同的调查方法接触不同的调查方法接触不同的调查方法接触不同的调查方法 逐一回答，画正字统计举手统计逐一回答，画正字统计举手统计逐一回答，画正字统计举手统计逐一回答，画正字统计举手统计调调调调查查查查语语语语、数数数数、英英英英三三三三科科科科，你你你你最最最最喜喜喜喜欢欢欢欢什什什什么么么么，举举举举手手手手统统统统计计计计好好好好吗吗吗吗？如如如如果果果果你你你你不喜欢数学，你敢不举手吗？不喜欢数学，你敢不举手吗？不喜欢数学，你敢不举手吗？不喜欢数学，你敢不举手吗？是你们的真心话吗？是你们的真心话吗？是你们的真心话吗？是你们的真心话吗？学学学学生生生生对对对对无无无无记记记记名

74、名名名问问问问卷卷卷卷的的的的真真真真实实实实性性性性、第第第第三三三三方方方方调调调调查查查查的的的的公公公公信信信信力力力力，也也也也能能能能有有有有真真真真切的初步感受。切的初步感受。切的初步感受。切的初步感受。思思思思 品品品品音音音音 乐乐体体体体 育育育育美美美美 术术五、数据分析观念五、数据分析观念5.25.25.25.25.15.15.15.15.05.05.05.04.94.94.94.94.84.84.84.84.74.74.74.74.74.74.74.7以下以下以下以下 自行设计调查问卷：自行设计调查问卷：自行设计调查问卷：自行设计调查问卷： 1.1.1.1.你平均每天

75、看多长时间的电视？你平均每天看多长时间的电视？你平均每天看多长时间的电视？你平均每天看多长时间的电视？ 2.2.2.2.你的视力怎样？你的视力怎样？你的视力怎样？你的视力怎样？ 缘起：父子争论，看电视是否影响视力？缘起：父子争论，看电视是否影响视力？缘起：父子争论，看电视是否影响视力？缘起：父子争论，看电视是否影响视力？半小时以下半小时以下半小时以下半小时以下半小时半小时半小时半小时1 1 1 1小时小时小时小时1 1 1 1小时以上小时以上小时以上小时以上教师需指出：教师需指出：教师需指出：教师需指出：“样本样本样本样本”问题问题问题问题“ “小课题研究小课题研究小课题研究小课题研究” ”

76、案例案例案例案例五、数据分析观念五、数据分析观念171.7171.7170.2170.2168.2168.2“ “读图读图读图读图” ”教学案例教学案例教学案例教学案例关于看图的一般步骤：关于看图的一般步骤：关于看图的一般步骤：关于看图的一般步骤：先看标题（统计主题）先看标题（统计主题）先看标题（统计主题）先看标题（统计主题）再看横轴（统计项目）再看横轴（统计项目）再看横轴（统计项目）再看横轴（统计项目）数据中蕴涵着信息数据中蕴涵着信息数据中蕴涵着信息数据中蕴涵着信息图的直观性可能产生图的直观性可能产生图的直观性可能产生图的直观性可能产生“ “误导误导误导误导” ”一格表示的数量越小一格表示的

77、数量越小一格表示的数量越小一格表示的数量越小条形的长短相差越大条形的长短相差越大条形的长短相差越大条形的长短相差越大关于统计图的选择关于统计图的选择关于统计图的选择关于统计图的选择条形图与折线图可以混用条形图与折线图可以混用条形图与折线图可以混用条形图与折线图可以混用 4 43030540540五、数据分析观念五、数据分析观念关于统计图的选择关于统计图的选择关于统计图的选择关于统计图的选择 没有潜在变化规律的离散数量，是否不宜用折线图？没有潜在变化规律的离散数量，是否不宜用折线图？没有潜在变化规律的离散数量，是否不宜用折线图？没有潜在变化规律的离散数量，是否不宜用折线图？ 一项测试，有一项测试

78、，有一项测试，有一项测试，有5 5题，每题满分题，每题满分题，每题满分题，每题满分1010分，下面是甲、乙两班各题平均分，下面是甲、乙两班各题平均分，下面是甲、乙两班各题平均分，下面是甲、乙两班各题平均得分的统计图。得分的统计图。得分的统计图。得分的统计图。合适的图，能让数据合适的图，能让数据合适的图，能让数据合适的图，能让数据“ “开口说话开口说话开口说话开口说话” ”。关键在于：。关键在于：。关键在于：。关键在于：统计了什么，分析了什么，想让大家看到什么，统计了什么，分析了什么，想让大家看到什么，统计了什么，分析了什么，想让大家看到什么，统计了什么，分析了什么，想让大家看到什么，一切皆因需

79、要。一切皆因需要。一切皆因需要。一切皆因需要。 六、运算能力六、运算能力 主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。能力。能力。能力。 培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。理简洁的运算途径解决问题。理简洁的运算途径解决问题。理简洁的运算途径解决问题。 1.1.1.1.小学生运算能力的结构：小学

80、生运算能力的结构：小学生运算能力的结构：小学生运算能力的结构：算理理解算理理解算理理解算理理解算法掌握算法掌握算法掌握算法掌握口算基础口算基础口算基础口算基础运算策略运算策略运算策略运算策略六、运算能力六、运算能力 1. 1. 小学生运算的能力结构小学生运算的能力结构 2. 2. 应传承的有效教学策略应传承的有效教学策略 “ “理解记忆理解记忆理解记忆理解记忆” ” “ “铺垫变式铺垫变式铺垫变式铺垫变式” ” 3. 3. 近年来的若干近年来的若干教学误区教学误区“ “铺垫铺垫铺垫铺垫” ”：被遗弃的：被遗弃的：被遗弃的：被遗弃的“ “精准性精准性精准性精准性” ”教学技术教学技术教学技术教学

81、技术计算教学的与时俱进出现了部分异化计算教学的与时俱进出现了部分异化计算教学的与时俱进出现了部分异化计算教学的与时俱进出现了部分异化 如：缺乏价值的多种算法干扰了计算方法的主干如：缺乏价值的多种算法干扰了计算方法的主干如：缺乏价值的多种算法干扰了计算方法的主干如：缺乏价值的多种算法干扰了计算方法的主干 例：例：例：例：24242424 2“2“2“2“主干主干主干主干算法算法算法算法” ” 2 2 2 2个个个个4 4 4 4 加加加加 2 2 2 2个个个个20202020 过于渲染过于渲染过于渲染过于渲染6(42)6(42)6(42)6(42)，8(32)8(32)8(32)8(32)，2

82、424242424242424 无异于无异于无异于无异于“ “作秀作秀作秀作秀” ”！幸好，强大的惯性幸好，强大的惯性幸好，强大的惯性幸好，强大的惯性使基本功未被废掉使基本功未被废掉使基本功未被废掉使基本功未被废掉 58 58 58 58 36363636 86 86 86 86；565656564 4 4 4 83 83 83 83；535353532 2 2 2 8 8 8 80 0 0 0；4 4 4 44 4 4 4； 3 3 3 37 7 7 7；1 1 1 11 1 1 13 3 3 33 3 3 39 9 9 99 9 9 99 9 9 9六、运算能力六、运算能力 4.4.合理选

83、择算法正确计算本是合理选择算法正确计算本是“笔算笔算”的内的内涵涵 如如如如“ “3522352235223522” ”的的的的笔算：笔算：笔算：笔算：2 2 2 2个个个个35353535加加加加20202020个个个个35353535 简便运算：简便运算：简便运算：简便运算： 35223522352235223520352035203520352352352352 割裂割裂割裂割裂“ “笔算笔算笔算笔算” ”与与与与“ “简便运算简便运算简便运算简便运算” ”实在没有道理实在没有道理实在没有道理实在没有道理3.53.52 21 1 又如又如又如又如569569569569 5663 566

84、3 5663 56635605605605605656565650450450450450475047504750473528352835283528 56565656 63636363 168 168 168 168 336 336 336 336 贯穿到分数计算，如：贯穿到分数计算，如：贯穿到分数计算，如：贯穿到分数计算，如： 35353535 22222222 70 70 70 70 700 700 700 700 “ “递推递推递推递推” ”“ “一半一半一半一半” ” / / / /7 7 7 7个个个个“ “一半一半一半一半” ”六、运算能力六、运算能力 4.4.合理选择算法正确计

85、算本是合理选择算法正确计算本是“笔算笔算”的内涵的内涵5.5.合理选择算法也是合理选择算法也是“估算估算”的题中之义的题中之义 2220=4402220=440221822182020=4002020=4002018=3602018=360360360360360比积小比积小比积小比积小能坐下能坐下能坐下能坐下（积的范围）（积的范围）（积的范围）（积的范围）440440440440比积大比积大比积大比积大360360440440积接近积接近积接近积接近400400400400比积少比积少2 2个个1818 多多2 2个个2020六、运算能力六、运算能力反例：反例：反例：反例：125812581

86、258125812581258125812581 1 1 1例如：例如：例如：例如：891.01891.01891.01891.0189898989.89.89.89.89 4.4.合理选择算法正确计算本是合理选择算法正确计算本是“笔算笔算”的内涵的内涵5.5.合理选择算法也是合理选择算法也是“估算估算”的题中之义的题中之义6.6.传统传统“简便运算简便运算”适度保留，发挥训练功适度保留，发挥训练功能能 为什么同是中国孩子，香港、台湾的小学生不会为什么同是中国孩子，香港、台湾的小学生不会为什么同是中国孩子，香港、台湾的小学生不会为什么同是中国孩子，香港、台湾的小学生不会有此有此有此有此“ “顽

87、疾顽疾顽疾顽疾” ”？6.6.传统传统“简便运算简便运算”适度保留，发挥训练功适度保留，发挥训练功能能六、运算能力六、运算能力7.7.加强加强“寻求合理简洁的运算途径解决问题寻求合理简洁的运算途径解决问题”解：解：解：解：(50(50(50(5048)48)48)48)(50(50(50(5047)47)47)47) 56 56 56 56313131311919191924242424130130130130 130 130 130 13031313131 130 130 130 13056565656答：答：答：答： 4.4.合理选择算法正确计算本是合理选择算法正确计算本是“笔算笔算”的内

88、涵的内涵5.5.合理选择算法也是合理选择算法也是“估算估算”的题中之义的题中之义七、七、推理能力推理能力 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。使用的思维方式。使用的思维方式。使用的思维方式。 推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从推理一般包括合情

89、推理和演绎推理，合情推理是从推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、

90、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。 在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于成

91、：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。证明结论。证明结论。证明结论。七、七、推理能力推理能力 推理推理推理推理举例举例举例举例 黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：“我不是最快的，我不是最快的，我不是最快的，我不是最快的，但比白兔快。但比白兔快。但比白兔快。但比白兔快。”请问，谁跑得最快请问，谁跑得最快请问，谁跑得最快请问，谁跑得最快? ? ? ?谁跑得最慢谁跑得最慢谁跑得最慢谁跑得最慢? ? ? ? 黑兔不是最快，白兔不是最快黑兔不是最快，白兔不是最快黑兔不是最快，白兔不是最快黑兔不

92、是最快，白兔不是最快 灰兔最快（排除法）灰兔最快（排除法）灰兔最快（排除法）灰兔最快（排除法） 计算计算计算计算7 7 7 75 5 5 5？ 7 7 7 73 3 3 310101010 7 7 7 75 5 5 57 7 7 73 3 3 32 2 2 2101010102 2 2 212121212 直角三角形的一个锐角是直角三角形的一个锐角是直角三角形的一个锐角是直角三角形的一个锐角是30303030，另一个，另一个，另一个，另一个锐角是多少？锐角是多少？锐角是多少？锐角是多少？ 三角形内角和三角形内角和三角形内角和三角形内角和180180180180 另一个锐角是另一个锐角是另一个锐

93、角是另一个锐角是180180180180909090903030303060606060 七、七、推理能力推理能力 因为因为因为因为36361818 所以所以所以所以30600306001800018000凭借经验和直觉凭借经验和直觉凭借经验和直觉凭借经验和直觉合情推理合情推理合情推理合情推理 因为因为因为因为36361818 所以所以所以所以3063061818个十个十个十个十 所以所以所以所以3060030600180180个百个百个百个百凭借数的概念凭借数的概念凭借数的概念凭借数的概念演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理 因为长方形面积长因为长方形面积长因为长方形面积长因为长方形面积长 宽宽

94、宽宽 所以长方体体积长所以长方体体积长所以长方体体积长所以长方体体积长 宽宽宽宽 高高高高类比类比类比类比合情推理合情推理合情推理合情推理180180 1800018000根据体积单位概念与计数根据体积单位概念与计数根据体积单位概念与计数根据体积单位概念与计数演绎计算演绎计算演绎计算演绎计算 案例案例案例案例2 2：案例案例案例案例1 1：八、八、模型思想模型思想 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。系的基本途径。系的基本途径。系的基

95、本途径。 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。并讨

96、论结果的意义。并讨论结果的意义。并讨论结果的意义。 这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。学习数学的兴趣和应用意识。学习数学的兴趣和应用意识。学习数学的兴趣和应用意识。 单价单价单价单价数量总价数量总价数量总价数量总价 本金本金本金本金利率利息利率利息利率利息利率利息y: :xk( ( ( (一定一定一定一定) ) ) )； xyk( ( ( (一定一定一定一定) ) ) )八、八、模型思想模型思想小胖每分走小胖每分走小胖每

97、分走小胖每分走40404040米，小巧每分走米，小巧每分走米，小巧每分走米，小巧每分走60606060米，他们从相距米，他们从相距米，他们从相距米，他们从相距1500150015001500 米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？ 师徒共做师徒共做师徒共做师徒共做1540154015401540个零件。徒弟做了个零件。徒弟做了个零件。徒弟做了个零件。徒弟做了16161616天天天天, , , ,平均每天做平均每天做平均每天做平均每天做40404040 个；师傅做了个；师傅做了个；师傅做了个

98、；师傅做了15151515天天天天, , , ,平均每天做几个？平均每天做几个？平均每天做几个？平均每天做几个？买买买买15151515个足球、个足球、个足球、个足球、16161616个篮球，足球每只个篮球，足球每只个篮球，足球每只个篮球，足球每只60606060元，篮球每只元，篮球每只元，篮球每只元，篮球每只40404040 元，一共应付多少元元，一共应付多少元元，一共应付多少元元，一共应付多少元? ? ? ?如图如图如图如图, , , ,求两种蔬菜的面积求两种蔬菜的面积求两种蔬菜的面积求两种蔬菜的面积( ( ( (单位单位单位单位: : : :米米米米) ) ) )。abcds1500(4

99、01500(401500(401500(4060)60)60)60)(1540(1540(1540(15404016)154016)154016)154016)15601560154016401615401540青菜青菜青菜青菜韭菜韭菜韭菜韭菜606040401616151540404040x x60606060x x1500150015001500401640164016401615151515x x1540154015401540设设设设x x分相遇，分相遇，分相遇，分相遇，设每天设每天设每天设每天x x个，个，个，个，八、八、模型思想模型思想小胖每分走小胖每分走小胖每分走小胖每分走404

100、04040米，小巧每分走米，小巧每分走米，小巧每分走米，小巧每分走60606060米，他们从相距米，他们从相距米，他们从相距米，他们从相距1500150015001500 米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？ 师徒共做师徒共做师徒共做师徒共做1540154015401540个零件。徒弟做了个零件。徒弟做了个零件。徒弟做了个零件。徒弟做了16161616天天天天, , , ,平均每天做平均每天做平均每天做平均每天做40404040 个；师傅做了个；师傅做了个；师傅做了个；师傅做了15151

101、515天天天天, , , ,平均每天做几个？平均每天做几个？平均每天做几个？平均每天做几个？买买买买15151515个篮球、个篮球、个篮球、个篮球、16161616个足球，篮球每只个足球，篮球每只个足球，篮球每只个足球，篮球每只40404040元，足球每只元，足球每只元，足球每只元，足球每只60 60 60 60 元，一共应付多少元元，一共应付多少元元，一共应付多少元元，一共应付多少元? ? ? ?如图如图如图如图, , , ,求两种蔬菜的面积求两种蔬菜的面积求两种蔬菜的面积求两种蔬菜的面积( ( ( (单位单位单位单位: : : :米米米米) ) ) )。abcds1500(401500(4

102、01500(401500(4060)60)60)60)(1540(1540(1540(15404016)154016)154016)154016)15601560154016401615401540青菜青菜青菜青菜韭菜韭菜韭菜韭菜606040401616151540404040x x60606060x x1500150015001500401640164016401615151515x x1540154015401540设设设设x x分相遇，分相遇，分相遇，分相遇，设每天设每天设每天设每天x x个，个，个，个，八、八、模型思想模型思想小胖每分走小胖每分走小胖每分走小胖每分走40404040米，

103、小巧每分走米，小巧每分走米，小巧每分走米，小巧每分走60606060米，他们从相距米，他们从相距米，他们从相距米，他们从相距1500150015001500 米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？ ab ab cd cd s s40404040x x60606060x x1500150015001500150015001500150040404040x x60606060x x150015001500150060606060x x40404040x x(60(60(

104、60(6040)40)40)40)x x15001500150015001500150015001500x x60606060404040401500150015001500x x40404040606060601500150015001500x x6060606040404040150015001500150040404040x x60606060x x60606060x x150015001500150040404040x x40404040x x150015001500150060606060x x这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考。这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程

105、便于思考。这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考。这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考。水池同时打开进水管、出水管水池同时打开进水管、出水管水池同时打开进水管、出水管水池同时打开进水管、出水管几小时后水池满？几小时后水池满？几小时后水池满？几小时后水池满？ 动态平衡的数学模型动态平衡的数学模型动态平衡的数学模型动态平衡的数学模型 只是只是只是只是“ “取材不当取材不当取材不当取材不当” ”设设设设x x分钟后两人相遇。分钟后两人相遇。分钟后两人相遇。分钟后两人相遇。九、应用意识九、应用意识 应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数应用意识有两个方面的含义，一方面有意识

106、利用数应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数大量与数量和图形有关的问题

107、，这些问题可以抽象成数大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。学问题，用数学的方法予以解决。学问题，用数学的方法予以解决。学问题，用数学的方法予以解决。利用利用利用利用“ “左右的相对性左右的相对性左右的相对性左右的相对性” ”，解释，解释，解释，解释“ “上下楼梯靠右走上下楼梯靠右走上下楼梯靠右走上下楼梯靠右走” ”的合理性。的合理性。的合理性。的合理性。九、应用意识九、应用意识 应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数

108、学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以

109、解决。学问题，用数学的方法予以解决。学问题，用数学的方法予以解决。学问题，用数学的方法予以解决。方巾边长的最小公倍数方巾边长的最小公倍数方巾边长的最小公倍数方巾边长的最小公倍数间隔时间的最小公倍数间隔时间的最小公倍数间隔时间的最小公倍数间隔时间的最小公倍数一圈用时的最小公倍数一圈用时的最小公倍数一圈用时的最小公倍数一圈用时的最小公倍数九、应用意识九、应用意识 在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。综合实践

110、活动是培养应用意识很好的载体。综合实践活动是培养应用意识很好的载体。综合实践活动是培养应用意识很好的载体。突破应用题单列的教材体系，应用跟随知识，突破应用题单列的教材体系，应用跟随知识，突破应用题单列的教材体系，应用跟随知识，突破应用题单列的教材体系，应用跟随知识，恢复了数学知识与应用的天然联系。恢复了数学知识与应用的天然联系。恢复了数学知识与应用的天然联系。恢复了数学知识与应用的天然联系。森林北路森林北路森林北路森林北路森林南路；森林南路；森林南路；森林南路；互相垂直：互相垂直：互相垂直：互相垂直：23231212森林西路森林西路森林西路森林西路中山路；森林西路中山路；森林西路中山路；森林西

111、路中山路；森林西路森林东路；森林东路；森林东路；森林东路； 中山路中山路中山路中山路森林东路；樟树路森林东路；樟树路森林东路；樟树路森林东路；樟树路玉兰路玉兰路玉兰路玉兰路九、应用意识九、应用意识 在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。数据的采集；数据的采集；数据的采集；数据的采集；图表的应用

112、；图表的应用；图表的应用；图表的应用；数据的分析；数据的分析；数据的分析；数据的分析；根据根据根据根据“ “样本样本样本样本” ”推断推断推断推断“ “总体总体总体总体” ”。统计知识的综合应用。统计知识的综合应用。统计知识的综合应用。统计知识的综合应用。十、创新意识十、创新意识 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。体现在数学教与学的过程之中。体现在数学教与学的过程之中。体现在数学教与学的过程之中。 学生自己发现和提出问题是创新的基础；

113、独立思学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。律，并加以验证，是创新的重要方法。律，并加以验证，是创新的重要方法。律，并加以验证，是创新的重要方法。 创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿创新意识的培养应该从

114、义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。数学教育的始终。数学教育的始终。数学教育的始终。 创新：最高阶的思维，有过各种创新：最高阶的思维，有过各种创新：最高阶的思维，有过各种创新：最高阶的思维，有过各种训练项目训练项目训练项目训练项目 怎样培养？怎样培养？怎样培养？怎样培养？l创设宽松、和谐的学习氛围创设宽松、和谐的学习氛围创设宽松、和谐的学习氛围创设宽松、和谐的学习氛围l提供刺激，激活学生的潜能提供刺激，激活学生的潜能提供刺激，激活学生的潜能提供刺激，激活学生的潜能l 十、创新意识十、创新意识案例案例案例案例1 1 下面阴影部分占整个长方形的下面阴影部分占整个长方形的下面阴影部分占整个长方形的

115、下面阴影部分占整个长方形的( )( )( )( )分之分之分之分之( )( )( )( )。案例案例案例案例2 2 下面露出的部分是整体的下面露出的部分是整体的下面露出的部分是整体的下面露出的部分是整体的 ，请画出整体。请画出整体。请画出整体。请画出整体。案例案例案例案例3 3推导三角形面积公式，推导三角形面积公式，推导三角形面积公式，推导三角形面积公式，有学生这样折纸：有学生这样折纸：有学生这样折纸：有学生这样折纸：什么样的刺激有可能激活学生的潜能呢？什么样的刺激有可能激活学生的潜能呢？什么样的刺激有可能激活学生的潜能呢？什么样的刺激有可能激活学生的潜能呢？谢谢！谢谢！欢迎提问欢迎提问 共同探讨共同探讨跨跨 越越 断断 层层 走走 出出 误误 区区