《2022版高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时速度与导数课件新人教B版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022版高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时速度与导数课件新人教B版选修22（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、瞬时速度与导数【自我预习自我预习】1.1.瞬时速度与瞬时变化率瞬时速度与瞬时变化率(1)(1)物体运动的瞬时速度物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),s=f(t),当当_时时, ,函数函数f(t)f(t)在在t t0 0到到t t0 0+t+t之间的平均变化率之间的平均变化率 tt趋近于趋近于0 0 趋近于某个常数趋近于某个常数, ,这个常数称为这个常数称为t t0 0时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度. .(2)(2)函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0及其附近有定义及其附近有定义, ,当自变量在当自
2、变量在x=xx=x0 0附附近改变量为近改变量为xx时时, ,函数值相应地改变函数值相应地改变y=f(xy=f(x0 0+x)-+x)-f(xf(x0 0),),如果当如果当xx趋近于趋近于0 0时时, ,平均变化率平均变化率_趋近于一个常数趋近于一个常数l, ,则则常数常数l称为函数称为函数f(x)f(x)在点在点x x0 0的瞬时变化率的瞬时变化率. .记作记作: :当当x0x0时时, , l. .上述过程上述过程, ,通常也记作通常也记作 = =l. .【微提醒微提醒】xx趋于趋于0 0的距离要多近有多近的距离要多近有多近, ,即即|x-0|x-0|可以小于给定的任意小的正数可以小于给定
3、的任意小的正数, ,且始终且始终x0.x0.2.2.函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导数定义式处的导数定义式: :f(xf(x0 0)=)= . .(2)(2)实质实质: :函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导数即函数处的导数即函数y=f(x)y=f(x)在在点点x x0 0处的处的_瞬时变化率瞬时变化率3.3.导函数导函数(1)(1)函数可导的定义函数可导的定义如果如果f(x)f(x)在在_内内_都是可导的都是可导的, ,则则称称f(x)f(x)在区间在区间(a,b)
4、(a,b)可导可导. .开区间开区间(a,b)(a,b)每一点每一点x x(2)(2)导函数的定义导函数的定义条件条件:f(x):f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)可导可导. .定义定义: :对开区间对开区间(a,b)(a,b)内每个值内每个值x,x,都对应一个确定的都对应一个确定的导数导数f(x),f(x),于是在区间于是在区间(a,b)(a,b)内内_构成一个新的构成一个新的函数函数, ,我们把这个函数称为函数我们把这个函数称为函数y=f(x)y=f(x)的导函数的导函数. .导函数记法导函数记法:_.:_.f(x)f(x)f(x)f(x)或或yyx x,y,y【思考思考】(1)(1
5、)函数在某点处的导数的意义是什么函数在某点处的导数的意义是什么? ?提示提示: : 意义就是函数在该点的瞬时变化率意义就是函数在该点的瞬时变化率, ,即函数在该即函数在该点处变化的快慢点处变化的快慢. .(2)(2)函数函数f(x)f(x)在定义域内的任一点都存在导数吗在定义域内的任一点都存在导数吗? ?提示提示: : 不一定不一定. .存在导数的点存在导数的点x x0 0首先在区间内部首先在区间内部, ,不能不能是区间端点是区间端点, ,其次当其次当x0x0时时, , 趋近于趋近于一个常数一个常数. .如函数如函数f(x)= ,f(x)= ,在在x=0x=0处就不存在导数处就不存在导数. .
6、因因为为 , ,当当xx趋近于趋近于0 0时时, , 越越来越大来越大, ,无法趋近于一个确定的值无法趋近于一个确定的值. .【自我总结自我总结】1.1.对瞬时速度的两点说明对瞬时速度的两点说明(1)(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率. .(2)(2)当当tt在变化中趋近于在变化中趋近于0 0时时, ,比值比值 趋近于一个确趋近于一个确定的常数定的常数, ,此常数称为此常数称为t t0 0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度. .2.2.对瞬时变化率的两点说明对瞬时变化率的两点说明(1)(1)平均变化率与瞬时变化率的关系平均变化率与瞬时变化率的关系:
7、 :区别区别: :平均变化率刻画函数值在区间平均变化率刻画函数值在区间xx1 1,x,x2 2 上变化的上变化的快慢快慢, ,瞬时变化率刻画函数值在瞬时变化率刻画函数值在x x0 0点处变化的快慢点处变化的快慢; ;联系联系: :当当xx趋于趋于0 0时时, ,平均变化率平均变化率 趋于一个常数趋于一个常数, ,这个常数即为函数在这个常数即为函数在x x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率, ,它是一个固定它是一个固定值值. .(2)“x(2)“x无限趋近于无限趋近于0”0”的含义的含义: :xx趋于趋于0 0的距离要多近有多近的距离要多近有多近, ,即即|x-0|x-0|可以小于给可以小于给定
8、的任意小的正数定的任意小的正数, ,且始终且始终x0.x0.3.3.对导数概念的两点说明对导数概念的两点说明(1)(1)当当x0x0时时, ,比值比值 的极限存在的极限存在, ,则则f(x)f(x)在点在点x x0 0处处可导可导; ;若若 的极限不存在的极限不存在, ,则则f(x)f(x)在点在点x x0 0处不可导或处不可导或无导数无导数. .(2)(2)在点在点x=xx=x0 0处的导数的定义可变形为处的导数的定义可变形为f(xf(x0 0)=)= 或或f(xf(x0 0) ) 4.4.函数函数y=f(x)“y=f(x)“在点在点x x0 0处的导数处的导数”“”“导函数导函数”“”“导
9、数导数”之间的区别与联系之间的区别与联系(1)“(1)“函数在点函数在点x x0 0处的导数处的导数”, ,就是在该点的函数值的就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限改变量与自变量的改变量的比的极限, ,它是一个数值它是一个数值, ,只与只与x x0 0有关有关, ,与与xx无关无关, ,不是变数不是变数. .(2)(2)导函数也简称导数导函数也简称导数. .(3)(3)函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )就是导函数就是导函数f(x)f(x)在点在点x=xx=x0 0处的函数值处的函数值, ,即即f(xf(x0 0).).【
10、自我检测自我检测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1) =f(a).=f(a).( () )(2)(2)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2在在x=1x=1处的瞬时变化率等于处的瞬时变化率等于1.1.( () )(3)(3)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数就是处的导数就是y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的处的瞬时变化率瞬时变化率. .( () )提示提示: :(1).(1).由导数定义知由导数定义知 =f(a).=f(a).(2). (2+x)=2.(2). (2+x)=2.(3).(3).根
11、据导数的定义可知根据导数的定义可知, ,函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导处的导数就是数就是y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率. .2.2.函数函数f(x)=1f(x)=1在在x=2x=2处的导数等于处的导数等于_._.【解析解析】 答案答案: :0 03.3.函数函数y=f(x)=y=f(x)= 在在x=1x=1处的瞬时变化率为处的瞬时变化率为_._.【解析解析】因为因为y=f(1+x)-f(1)= y=f(1+x)-f(1)= 所所以以 所以当所以当xx趋近于趋近于0 0时时, , 趋近于趋近于-1.-1.故故函数函数f(x
12、)f(x)在在x=1x=1处的瞬时变化率为处的瞬时变化率为-1.-1.答案答案: : -1 -1类型一求瞬时速度类型一求瞬时速度【典例典例】如果某物体的运动路程如果某物体的运动路程s s与时间与时间t t满足函数满足函数s=2(1+ts=2(1+t2 2)(s)(s的单位为的单位为m,tm,t的单位为的单位为s),s),求此物体在求此物体在1.2 s1.2 s末的瞬时速度末的瞬时速度. .【思路导引思路导引】物体在物体在1.2 s1.2 s末的瞬时速度即为末的瞬时速度即为s s在在1.21.2处处的导数的导数, ,利用导数的定义利用导数的定义, ,先求先求 , ,再求再求 . .【解析解析】s
13、=21+(1.2+t)s=21+(1.2+t)2 2-2(1+1.2-2(1+1.22 2)=4.8t+)=4.8t+2(t)2(t)2 2, , = (4.8+2t)=4.8, = (4.8+2t)=4.8,即即s|s|t=1.2t=1.2=4.8, =4.8, 故物故物体在体在1.2 s1.2 s末的瞬时速度为末的瞬时速度为4.8 m/s.4.8 m/s.【延伸探究延伸探究】1.1.试求该物体在试求该物体在t t0 0时的瞬时速度时的瞬时速度. .【解析解析】因为因为 s=21 + (t s=21 + (t0 0 + t) + t)2 2-2(1 +-2(1 +t t0 02 2) )=4
14、 t t=4 t t0 0 + 2( t) + 2( t)2 2, ,所以所以 = = (4t= = (4t0 0+2t)=4t+2t)=4t0 0, ,所以此物体在所以此物体在t t0 0时的瞬时速度为时的瞬时速度为4t4t0 0 m/s. m/s.2.2.物体在哪一时刻的瞬时速度为物体在哪一时刻的瞬时速度为12 m/s?12 m/s?【解析解析】因为因为 = = (4t= = (4t0 0+2t)=4t+2t)=4t0 0, ,所以由所以由4t4t0 0=12,=12,得得t t0 0=3,=3,所以此物体在所以此物体在3 s3 s时的瞬时速度为时的瞬时速度为12 m/s.12 m/s.【
15、方法技巧方法技巧】1.1.求运动物体瞬时速度的三个步骤求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)(1)求时间改变量求时间改变量tt和位移改变量和位移改变量s=s(ts=s(t0 0+t)+t)-s(t-s(t0 0).).(2)(2)求平均速度求平均速度 . .(3)(3)求瞬时速度求瞬时速度, ,当当tt无限趋近于无限趋近于0 0时时, , 无限趋近于无限趋近于常数常数v,v,即为瞬时速度即为瞬时速度. .2.2.求求 ( (当当xx无限趋近于无限趋近于0 0时时) )的极限的方法的极限的方法(1)(1)在极限表达式中在极限表达式中, ,可把可把xx作为一个数来参与运算作为一个数来参与运算. .(2
16、)(2)求出求出 的表达式后的表达式后,x,x无限趋近于无限趋近于0 0就是令就是令x=0,x=0,求出结果即可求出结果即可. .【补偿训练补偿训练】已知物体运动的速度与时间之间的关系已知物体运动的速度与时间之间的关系是是v(t)=tv(t)=t2 2+2t+2,+2t+2,则在则在t=1t=1时的瞬时加速度是时的瞬时加速度是_._.【解析解析】 当当tt趋近于趋近于0 0时时, ,在在t=1t=1时的瞬时加速度为时的瞬时加速度为4.4.答案答案: :4 4类型二求函数在某一点处的导数类型二求函数在某一点处的导数【典例典例】1.1.函数函数y=y= 在在x=1x=1处的导数为处的导数为_._.
17、2.(20172.(2017全国卷全国卷改编改编) )求函数求函数y=x+y=x+ 在在x=1x=1处的导处的导数数. .【思路导引思路导引】1.1.题题1 1中中, ,当当x=1x=1时时,y,y等于等于 . .2.2.先求先求 , ,再求再求 . .【解析解析】1.y= ,1.y= , 答案答案: : 2.2.因为因为y=(1+x)+ -(1+1)=x+ -1,y=(1+x)+ -(1+1)=x+ -1,所以所以 所以所以 【方法技巧方法技巧】求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0 处的导数的三个步骤处的导数的三个步骤简称简称: :一差、二比、三极限一差、二比、三极限.
18、.【拓展延伸拓展延伸】瞬时变化率的几种变形形式瞬时变化率的几种变形形式=f(x=f(x0 0).).【变式训练变式训练】求函数求函数y=f(x)=y=f(x)= 在在x=1x=1处的导数处的导数. .【解题指南解题指南】利用导数的定义求在利用导数的定义求在x=1x=1处的导数处的导数. .【解析解析】因为因为y=f(1+x)-f(1)y=f(1+x)-f(1)= = 所以所以f(1)=- .f(1)=- .【补偿训练补偿训练】求函数求函数y=x-y=x- 在在x=1x=1处的导数处的导数. .【解题指南解题指南】求求 的极限时的极限时, ,要对要对 进行化简进行化简, ,确确保保xx趋于趋于0
19、 0时时 有意义有意义. .【解析解析】因为因为所以所以因为因为所以函数所以函数【易错误区案例易错误区案例】利用定义求导数值利用定义求导数值【典例典例】设设f(x)f(x)为可导函数为可导函数, ,且且f(2)=f(2)= , ,则则 的值为的值为( () )A.1A.1B.-1B.-1C.C. D.- D.- 【错解案例错解案例】选选A. A. = =2f(2)=1.= =2f(2)=1.错误原因原因防范措施防范措施对导数的定数的定义理解不理解不清清,误认为=f(2)理解理解导数概念的内涵数概念的内涵f(x0)=【正解正解】选选B. =B. =【即时应用即时应用】设函数设函数f(x)f(x)在在x=1x=1处存在导数处存在导数, ,则则 ( () )A.f(1)A.f(1)B.3f(1)B.3f(1)C.C. f(1)f(1)D.D. f(1)f(1)【解析解析】选选D. D.
