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1、二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第七节一、无限区间上的广义积分一、无限区间上的广义积分广义积分 第五五章 科学出版社定积分需要推广定积分的观念，这就是广义积分（瑕积分）.被积函数有界有时不得不考察无限区间上的积分或无界函数的积分， 广义积分积分区间有限 无穷区间的广义积分无界函数的广义积分科学出版社定义定义1. 若存在且有限,则称此极限为 f (x) 的无限区间上的广义积分,这时称广义积分收敛 ;否则,就称广义积分发散 .一、无限区间上的广义积分一、无限区间上的广义积分记为设科学出版社定义( a 为任意取定的常数 )只要有一个积分发散 , 就称发散 .并非看作不定型 说明说明: 上
2、述定义中若出现 该广义积分仍然发散,类似地 , 定义科学出版社解解:例例1. 计算广义积分科学出版社解解:例例2. 计算广义积分科学出版社例例3. 证证:当 p 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .因此, 当 p 1 时, 广义积分收敛 , 其值为当 p1 时, 广义积分发散 . 证明积分当 p =1 时有 科学出版社定义定义2. 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分对f 在上可积. 若极限(或,(或在(或存在且有限,则称极限 I为无界函数f 在区间a, b)上的广义积分,记为或此时也称广义积分 收敛.否则,就称广义积分发散 .(或(a, b) 设科学出版社而在点 c 否
3、则，就称为发散. 无界 ,则定义当积分区间内有被积函数的无穷间断点时， 穷间断点将原积分区间分割成若干个小区间， 应该用无个小区间进行广义积分.然后对每无穷间断点应为积分区的端点.上述右边两个广义积分都收敛时，称左边广义积分收敛 .无界点常称为奇点(瑕点) .科学出版社例例4. 计算广义积分解解:原式如果没有注意例例5. 讨论广义积分的收敛性 . 解解:所以广义积分发散 .是瑕点，就会产生错误：而0是无穷间断点 , 所以科学出版社例例6. 讨论广义积分的收敛性 . 解解: 当p =1 时, 当p 1 时, 当p =1 时, 因此当p 1 时, 广义积分收敛, 其值为当时, 广义积分发散.科学出版社 1. 两类广义积分都是定积分的极限； 3. 下面两个广义积分非常重要，必须记住.注：注： 2. 无界函数的广义积分与定积分在形式上完全一致，若把这类广义积分当定积分计算， 可能得出错误结论.科学出版社例如 ,5. 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,使得在每一区间上只有一类反常积分，并逐一讨论.4. 有时通过换元 , 广义积分和定积分可以互相转化 .科学出版社
