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1、第二章 解线性方程组的直接法1.3 基本的三角分解法(Doolittle法)上式可记为同样,由综合以上分析,有因此可以推导出U的第一行L的第一列-(1)-(2)U的第r行L的第r列-(3)-(4)称上述称上述(1) (4)式所表示的分解过程为式所表示的分解过程为Doolittle分解分解思考对于线性方程组系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后线性方程组可化为下面两个三角形方程组上述解线性方程组的方法称为上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的直接三角分解法的 Doolittle法法例1. 用Doolittle法解方程组解:由Doolittle分解Doolittle法在计算机上实现是比较
2、容易的第二章 解线性方程组的直接法例1.用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮点数计算）解: 本方程组的精度较高的解为用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)一、Gauss列主元消去法的引入9999回代后得到与精确解相比,该结果相当糟糕究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数主元如果在求解时将1,2行交换,即0.9999回代后得到这是一个相当不错的结果例2.解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)解:这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免绝对值最大不需换行经过回代后可得事实上,方程组的准确解为例例2所用的方
3、法是在所用的方法是在Gauss消去法的基消去法的基础上础上,利用换行避免小主元作除数利用换行避免小主元作除数,该该方法称为方法称为Gauss列主元消去法列主元消去法第二章 解线性方程组的直接法一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)记为-(1)因此Diagonal:对角为非奇异下三角阵为非奇异上三角阵-(2)-(3)因此所以综合以上分析,则有-(4)-(5)定理1. (Cholesky分解)且该分解式唯一这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解-(6)-(7)-(8)二、对称正定线性方程组的解法线性方程组-(10)-(11)则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组-(12)-(13)-(14)-(15)对称正定方程组的平方根法例1.用平方根法解对称正定方程组解:即所以原方程组的解为思考本例中出现了大量的根式运算原因为考虑改变分解方式请求解例1.三、平方根法的数值稳定性用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元由可知因此平方根法是数值稳定的第二章 解线性方程组的直接法对角占优矩阵:有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:其中-(1)以下以Doolittle分解导出三对角线性方程组的解法设二对角阵得得例1.用追赶法解三对角线性方程组解:因此原线性方程组的解为
