《高等数学课件：4-4a 几种特殊函数的积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：4-4a 几种特殊函数的积分（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 高等数学（上）高等数学（上）第四节第四节 几种特殊函数的不定积分几种特殊函数的不定积分有理函数：有理函数：两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数 . .一、有理函数的积分一、有理函数的积分 高等数学（上）高等数学（上）称为称为真分式真分式；称为称为假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和. .例例 把把有理函数的积分有理函数的积分化成一个化成一个多项式多项式和一个和一个真分式真分式积分积分之和之和. . 高等数学（上）高等数学（上）关键：关键：将将真分式真分式化为化为部分分式部分分式之和之和
2、. .由代数学里的部分分式定理知：由代数学里的部分分式定理知：1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为 高等数学（上）高等数学（上）2）分母中若有因式分母中若有因式 , ,其中其中, ,则分解后为：则分解后为：其中其中Ai , Bi 都是常数都是常数 ( i 1 , 2 , ) 定理定理1 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. . 高等数学（上）高等数学（上）例例1（待定系数法待定系数法） 高等数学（上）高等数学（上）1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为2）分母中若有因式分母中若有因式 , ,则分解为：则分解为：因此因此, ,只要求
3、出四类积分只要求出四类积分. . 高等数学（上）高等数学（上） 高等数学（上）高等数学（上） 高等数学（上）高等数学（上）例例2由由得得 ， ， . .所以所以 高等数学（上）高等数学（上）例例3得得 高等数学（上）高等数学（上）因此因此 高等数学（上）高等数学（上）例例4 求求可求得可求得 高等数学（上）高等数学（上）例例5 5注意注意 一般的一般的方法方法不一定是最佳不一定是最佳的方法的方法, , 故有理式故有理式 的积分应的积分应先考虑其它方法先考虑其它方法, , 不得已时才用不得已时才用一般方法一般方法计算计算. . 高等数学（上）高等数学（上）例例6 高等数学（上）高等数学（上）三角
4、函数有理式的定义：三角函数有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，一般记为数，一般记为 . .二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分因为因为 高等数学（上）高等数学（上）因而因而若令若令 ，则，则（称为万能代换称为万能代换）定理定理2 三角函数有理式的原函数都是初等函数三角函数有理式的原函数都是初等函数. . 高等数学（上）高等数学（上）例例7（令（令 ） 高等数学（上）高等数学（上）注意注意 万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法, , 故三角有理式故三角有理式 的计算的计算先考虑其它方法先考虑其它方法, , 不得已才用万能代换不得已才用万能代换. .例如例如又如又如 高等数学（上）高等数学（上）例例8 求积分求积分解解 高等数学（上）高等数学（上）讨论类型讨论类型解决方法：解决方法：作代换作代换去掉根号去掉根号 . .三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分 高等数学（上）高等数学（上）例例9解解 令令 ，则，则 所以所以 高等数学（上）高等数学（上）例例10解解 令令 ，则，则 ，原式原式 高等数学（上）高等数学（上）例例11解解 令令 ，则，则原式原式 高等数学（上）高等数学（上）四、不能用初等函数表示的积分四、不能用初等函数表示的积分 高等数学（上）高等数学（上）例例16 (1)
