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1、11.2二项式定理高考理数高考理数1.二项式定理(a+b)n=an+an-1b1+an-kbk+bn(nN*).这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系数(k=0,1,2,n)叫做二项式系数.二项展开式中的an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1=an-kbk.注意:(1)Tk+1指的是第k+1项,是第k+1项的二项式系数.(2)(a+b)n与(b+a)n相同,但具体到它们展开式的某一项却是不同的,所以公式中的a与b位置不能颠倒.知识清单【知识拓展】【知识拓展】1.二项式的项数与项(1)二项式的展开
2、式共有n+1项,an-kbk是第k+1项.即k+1是项数,an-kbk是项.(2)通项是Tk+1=an-kbk(k=0,1,2,n).其中含有Tk+1,a,b,n,k五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素.2.二项式系数与展开式项的系数的异同在Tk+1=an-kbk中,就是该项的二项式系数,它与a,b的值无关;Tk+1项的系数指化简后除字母以外的数,如a=2x,b=3y,Tk+1=2n-k3kxn-kyk,其中2n-k3k就是Tk+1项的系数.利用二项式定理求展开式的通项、特定项、二项式或项的系数,一般是将通项公式化简后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为0;求有理项时,指数为整数等
3、),解出项数k+1,代回通项公式即可.例例1已知的展开式的前三项中的系数成等差数列.(1)求展开式中所有的有理项;(2)求展开式中系数最大的项.解析解析(1)的展开式中的前三项系数依次为,由这三个数成等差数列得2=+,即n2-9n+8=0,n=8或n=1(舍去).二项展开式的通项Tr+1=()8-r()r=,方法方法1求展开式中的特定项或特定项的系数求展开式中的特定项或特定项的系数突破方法要使Tr+1项为有理项,则Z,r=0,4,8.有理项为T1=x4,T5=x=x,T9=x-2.(2)设第k项的系数最大,则有解得3k4,故系数最大的项为第三项T3=7和第四项T4=7.1-1(2015陕西一模
4、,13,5分)的展开式中的常数项等于.答案答案-160解析解析的展开式的通项为Tr+1=26-r(-1)rx3-r,令3-r=0,求得r=3,故展开式中的常数项等于-23=-160.(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a、bR)的式子,求其展开式的各项系数之和常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=,偶数项系数之和为a1+a3+
5、a5+=.例例2(2016江西横峰一模,17,12分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求:(1)a0+a1+a7的值;(2)a0+a2+a4+a6及a1+a3+a5+a7的值;(3)二项式系数和.解析解析(1)令x=1,则a0+a1+a7=-1.(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a6-a7=2187,令x=0,则a0=1,于是a1+a2+a3+a7=-2,a1+a3+a5+a7=-1094,方法方法2二项式系数和与各项的系数和的问题二项式系数和与各项的系数和的问题a0+a2+a4+a6=1093.(3)二项式系数和为+=27=128.2-1(2016贵州兴义调研
6、)在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解析解析设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10.(*)各项系数和即为a0+a1+a10,奇数项系数和为a0+a2+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+a10.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数和为+=210.(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为+=29,偶数项的二项式系数和为+=29.(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+a10=1.令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+a10=510.+得2(a0+a2+a10)=1+510,奇数项的系数和为.-得2(a1+a3+a9)=1-510,偶数项的系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+a9=.x的偶次项系数和为a0+a2+a4+a10=.
