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1、4.2随机变量的方差一一.方差的定义及计算方差的定义及计算 二.方差的性质方差的性质三三. .切比雪夫不等式切比雪夫不等式四四. .矩矩1. 概念的引入概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量. .实例实例 有两批灯泡有两批灯泡, ,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)=1000时时. . 2. 方差的定义方差的定义 两者量纲相同两者量纲相同 D(X ) 描述描述 r.v. X 的取值偏离均值的取值偏离均值 的平均偏离程度的平均偏离程度 数数方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程取值分散程度的量度的量
2、. .如果如果 D(X) 值大值大, ,表示表示 X 取值分散程度大取值分散程度大, ,E(X) 的代表性差的代表性差; ; 而如果而如果 D(X) 值小值小, ,则表示则表示X 的的取值比较集中取值比较集中, ,以以 E(X) 作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好. .3. 方差的意义方差的意义离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差4. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 证明证明(2) 利用公式计算利用公式计算例例1 设设r.v X服从几何分布，概率函数为服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p
3、)k-1, k=1,2,其中其中0p0,0,或或(1)(1)这个不等式给出了在随机变量这个不等式给出了在随机变量X X的分布未知的情的分布未知的情况下事件况下事件 |x-|x-|的概率的一种估计方法。例的概率的一种估计方法。例如如: : (2) (2) 切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)D(X)的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量变量X X的方差越小，则的方差越小，则X X的取值越集中在其中心的取值越集中在其中心E(X)E(X)的附近。方差越小，的附近。方差越小，X X取值越集中在区间取值越集中在区间(E(X)-, E(X)+)(E(X)-, E(X)+)之内。之内。 意义：切比雪夫不等式意义：切比雪夫不等式(3)(3)可以证明方差性质可以证明方差性质7.7.矩矩1）定义）定义2）说明）说明 例例6 6：解：解： 等号成立充要条件：存在常数等号成立充要条件：存在常数 使得使得P(Y= X )=1注：注： 等号成立充要条件：存在等号成立充要条件：存在 使得使得
