构型设计：7 立体的投影

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1、学习立体投影的基本知识学习立体投影的基本知识本章学习目标本章学习目标（1）基本立体的投影基本立体的投影（2）基本立体的尺寸）基本立体的尺寸（3）立体表面的交线）立体表面的交线本章学习内容本章学习内容7.立体的投影立体的投影基本立体的投影基本立体的投影基本立体的投影基本立体的投影7.1基本立体的尺寸标注基本立体的尺寸标注基本立体的尺寸标注基本立体的尺寸标注7.2立体表面的交线立体表面的交线立体表面的交线立体表面的交线7.3常见基本形体常见基本形体 常见的基本形体常见的基本形体平面立体平面立体曲面立体曲面立体 平面立体平面立体：表面都由平面组成的立体，包括：表面都由平面组成的立体，包括棱柱棱柱、棱

2、锥棱锥。平面立体的表面由若干个。平面立体的表面由若干个多边形平多边形平面面所围成，绘制所围成，绘制平面立体的投影平面立体的投影可归结为绘制它可归结为绘制它的各的各表面的投影表面的投影。7.1 7.1 基本立体的投影基本立体的投影一、一、平面立体的投影平面立体的投影 正三棱柱正三棱柱由由顶顶面面、底面底面和三个和三个侧侧面面围成。围成。 棱柱通常按它的棱柱通常按它的底面边数底面边数命名，如底面边数为三命名，如底面边数为三边形，则称为三棱柱。边形，则称为三棱柱。1.棱柱的投影及表面取点棱柱的投影及表面取点1）投影分析）投影分析 棱柱投影分析与绘图步骤棱柱投影分析与绘图步骤 六棱柱的上底面和下底六棱

3、柱的上底面和下底面与水平投影面面与水平投影面H平行。六平行。六棱柱两棱柱两底面底面的水平投影反映的水平投影反映实形，正面及侧面投影积聚实形，正面及侧面投影积聚成水平直线。成水平直线。侧面侧面的投影积的投影积聚成直线或为类似形。聚成直线或为类似形。 绘图步骤：绘图步骤：(1) 绘棱柱的绘棱柱的水平投影水平投影；(2) 绘绘底面底面的投影；的投影；(3) 绘绘顶面顶面及及侧面侧面。1.棱柱的投影及表面取点棱柱的投影及表面取点2）表面取点）表面取点 在平面立体表面上取点，其原理和方法与在平面立体表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同。在平面上取点相同。 例例7-1 如图所示，已知如图所示，已知点

4、点M、N在六棱柱表面在六棱柱表面上，并知点上，并知点M的水平投的水平投影影(m)和点和点N的正面投的正面投影影n ，求出点，求出点M、N的的另外两个投影。另外两个投影。 mmnn1.棱柱的投影及表面取点棱柱的投影及表面取点 a b n a1 b1 (m)a(a1) b(b1) 正四棱锥正四棱锥由由正方形的底正方形的底面面和四个相同和四个相同的的等腰三角形等腰三角形的侧面的侧面围成。围成。 棱锥的形成棱锥的形成 棱锥由一个棱锥由一个底面底面和若干和若干侧面侧面组成。侧棱交于组成。侧棱交于有限远的一点有限远的一点锥顶锥顶。点击图片播放视频2.棱锥的投影及表面取点棱锥的投影及表面取点1）投影分析）投

5、影分析 棱锥投影分析与绘图步骤棱锥投影分析与绘图步骤 棱锥棱锥底面底面平行于平行于水平投影面，其正面水平投影面，其正面投影和侧面投影积聚投影和侧面投影积聚成水平直线。成水平直线。侧面侧面投投影积聚成直线或为类影积聚成直线或为类似三角形。似三角形。 绘图步骤：绘图步骤：(1) 绘绘底面底面的水平投影；的水平投影；(2) 绘绘底面底面的正面和侧面投的正面和侧面投影；影；(3) 绘绘锥顶锥顶及及侧面侧面的投影。的投影。 babc a(c)s a c s s b2.棱锥的投影及表面取点棱锥的投影及表面取点2）表面取点）表面取点 例例 棱锥表面取点棱锥表面取点 在平面立体表面上取点，其原理和方法与在平面

6、立体表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同。在平面上取点相同。 例例7-2 如图所示，已如图所示，已知点知点M、N在三棱锥表在三棱锥表面上，并知它们的正面上，并知它们的正面投面投影影m 、n ，求出点求出点M、N的另外两的另外两个投影。个投影。 m(n)nm2.棱锥的投影及表面取点棱锥的投影及表面取点平面与立体交线平面与立体交线1、平面与立体的交线、平面与立体的交线 截切：截切：用平面与立体相交，截去体的一部分。用平面与立体相交，截去体的一部分。截平面截平面截交线截交线截面截面截交线截交线截平面截平面截面截面截面截面截交线截交线 截平面截平面：切割基本形体的平面；：切割基本形体的平面； 截

7、交线截交线：截平面与形体表面的交线；：截平面与形体表面的交线； 截面：截面：由截交线围成的平面图形。由截交线围成的平面图形。三、平面体切割三、平面体切割圆柱的形成圆柱的形成 圆柱由一平行于轴线的圆柱由一平行于轴线的母线母线绕轴线绕轴线旋转旋转一周形成。一周形成。 圆柱有两个圆柱有两个底面底面和一个和一个回转面回转面。 圆柱面的圆柱面的素线素线都与轴线平行，所有都与轴线平行，所有纬圆纬圆的直径相同。的直径相同。(a) 圆柱面的形成 (b) 圆柱的结构特征 (c) 圆柱面的结构特征圆柱的特征母线母线轴线轴线底面底面圆柱面圆柱面素线素线纬圆纬圆点击图片播放视频3.圆柱的投影及表面取点圆柱的投影及表面

8、取点 1）投影分析）投影分析 圆柱投影分析圆柱投影分析 圆柱的轴线垂直于圆柱的轴线垂直于H面。圆柱面。圆柱上、下底圆上、下底圆为水平面，水平投影反为水平面，水平投影反映映实形实形，其正面和侧面，其正面和侧面投影投影积聚为一直线积聚为一直线。 圆柱面圆柱面的水平投影的水平投影积聚为圆，与底圆的水积聚为圆，与底圆的水平投影重合，其正面和平投影重合，其正面和侧面投影为侧面投影为矩形矩形。 圆柱面的轮廓素线圆柱面的轮廓素线AA1、BB1将圆柱面分成将圆柱面分成可见的可见的前半部分前半部分与不可与不可见的见的后半部分后半部分。 轮廓素线轮廓素线CC1、DD1将圆柱面分成可见的将圆柱面分成可见的左左半部分

9、半部分与不可见的与不可见的右半右半部分部分。3.圆柱的投影及表面取点圆柱的投影及表面取点1）投影分析）投影分析 圆柱绘图步骤圆柱绘图步骤 绘图步骤：绘图步骤：(1) 绘出圆柱的绘出圆柱的轴线轴线和圆和圆的的对称中心线对称中心线；(2) 绘画出具有绘画出具有积聚性积聚性的的水平投影水平投影（圆）；（圆）；(3) 绘根据投影关系画出绘根据投影关系画出正面投影正面投影和和侧面投影侧面投影（两（两个一样大小的长方形）。个一样大小的长方形）。3.圆柱的投影及表面取点圆柱的投影及表面取点2）表面取点）表面取点 例例 圆柱表面取点圆柱表面取点 例例7-3 如图所示，已知点如图所示，已知点A、B、C在圆柱表面

10、上，在圆柱表面上，并知它们的正面投影并知它们的正面投影a、b、(c)，求出求出A、B、C的另外两个投影。的另外两个投影。a bcb”a”(c”)3.圆柱的投影及表面取点圆柱的投影及表面取点圆锥的形成圆锥的形成 圆锥是由一直圆锥是由一直母线母线绕与它绕与它相交的轴线相交的轴线旋转一周形旋转一周形成的，具有一个成的，具有一个底面底面和一个和一个回转面（圆锥面）回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有圆锥面上所有素线相交素线相交于锥顶，所有于锥顶，所有纬圆平行纬圆平行。 (a) 圆锥面的形成 (b) 圆锥的结构特征 (c) 圆锥面的结构特征圆锥的特征母线母线轴线轴线底面底面圆锥面圆锥面锥顶锥顶素线素线纬圆纬

11、圆4. 圆锥的投影及表面取点圆锥的投影及表面取点 1）投影分析）投影分析 圆锥投影分析圆锥投影分析 圆锥的轴线垂直于圆锥的轴线垂直于H面。圆锥面。圆锥底圆底圆为水平为水平面，水平投影反映面，水平投影反映实形实形，其正面和侧面投影其正面和侧面投影积聚积聚为为水平直线水平直线。 圆锥面圆锥面的水平投影的水平投影为圆，其正面和侧面投为圆，其正面和侧面投影为影为三角形三角形。 圆锥面的轮廓素线圆锥面的轮廓素线SA、SB将圆柱面分成可将圆柱面分成可见的见的前半部分前半部分与不可见与不可见的的后半部分后半部分。 轮廓素线轮廓素线SC、SD将将圆柱面分成可见的圆柱面分成可见的左半左半部分部分与不可见的与不可

12、见的右半部右半部分分。5.圆锥的投影及表面取点圆锥的投影及表面取点1）投影分析）投影分析 圆锥绘图步骤圆锥绘图步骤 绘图步骤：绘图步骤：(1) 绘制绘制轴线轴线和圆的和圆的对称对称中心线中心线的投影的投影 ；(2) 绘制绘制圆锥的圆锥的水平投影水平投影（圆）（圆） ；(3) 绘制绘制圆锥的圆锥的正面正面和和侧侧面面投影（两个一样大小投影（两个一样大小的的三角形三角形） 。 s s s5. 圆锥的投影及表面取点圆锥的投影及表面取点2）表面取点）表面取点 例例 圆锥表面取点圆锥表面取点 例例7-4 如图所示，已知点如图所示，已知点A在圆锥表面上，并知它在圆锥表面上，并知它的正面投影的正面投影a，可

13、采用下，可采用下列两种方法求出点列两种方法求出点A的水的水平投影平投影a和侧面投影和侧面投影a” 。a a”eess”se” 素线法素线法 5. 圆锥的投影及表面取点圆锥的投影及表面取点2）表面取点）表面取点 例例 圆锥表面取点圆锥表面取点 例例7-5 如图所示，已知点如图所示，已知点A在圆锥表面上，并知它在圆锥表面上，并知它的正面投影的正面投影a，可采用下，可采用下列两种方法求出点列两种方法求出点A的水的水平投影平投影a和侧面投影和侧面投影a” 。a a”ss”s 纬圆法纬圆法 5.圆锥的投影及表面取点圆锥的投影及表面取点圆球的形成圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球，一圆周绕

14、自身的一直径旋转一周即形成圆球，形成的回转面称为形成的回转面称为圆球面圆球面。平面与球面的交线为。平面与球面的交线为一个圆，称为一个圆，称为纬圆纬圆。 圆球的形成 轴线轴线圆母线圆母线纬圆纬圆6.圆球的投影及表面取点圆球的投影及表面取点 轮廓素线（圆周轮廓素线（圆周AECF）平行于正立投影面，把圆球平行于正立投影面，把圆球分为前半球可见，后半球不分为前半球可见，后半球不可见；可见； 轮廓素线（圆周轮廓素线（圆周ABCD）平行于水平投影面，把圆球平行于水平投影面，把圆球分为上半球可见，下半球不分为上半球可见，下半球不可见；可见； 轮廓素线（圆周轮廓素线（圆周BEDF）平行于侧立投影面，把圆球平行

15、于侧立投影面，把圆球分为左半球可见，右半球不分为左半球可见，右半球不可见。可见。 1）投影分析）投影分析 圆球投影分析圆球投影分析 球的三个投影均为球的三个投影均为圆圆，其直径与圆球的球，其直径与圆球的球面面直径相等直径相等。这三个圆。这三个圆是圆球上三个不同方向是圆球上三个不同方向的的轮廓纬圆轮廓纬圆的投影。的投影。 6.圆球的投影及表面取点圆球的投影及表面取点2）表面取点）表面取点 例例 圆球表面取点圆球表面取点 例例7-6 已知点已知点A在球面上，在球面上，并知它的正面投影并知它的正面投影a，求，求出点出点A的另外两个投影。的另外两个投影。 a”辅助圆法辅助圆法a6. 圆球的投影及表面取

16、点圆球的投影及表面取点7.2 7.2 基本立体的尺寸标注基本立体的尺寸标注 基本立体的大小是用长、宽、高三个方向尺基本立体的大小是用长、宽、高三个方向尺寸标注的。寸标注的。 平面立体须标注底面和高的尺寸，或上底、平面立体须标注底面和高的尺寸，或上底、下底和高的尺寸下底和高的尺寸。 转体尺寸一般应注出底圆或上、下底圆的直转体尺寸一般应注出底圆或上、下底圆的直径及高度尺寸，圆的直径尺寸前加径及高度尺寸，圆的直径尺寸前加“”，半径，半径尺寸前加尺寸前加“R”，圆的直径尺寸一般注在非圆的投，圆的直径尺寸一般注在非圆的投影图上，圆的半径尺寸应注在投影为圆弧的投影影图上，圆的半径尺寸应注在投影为圆弧的投影

17、图上。图上。 球的直径尺寸前加球的直径尺寸前加“S”。7.3 7.3 立体表面的交线立体表面的交线 平面与立体相交或立体与立体相交时，在立平面与立体相交或立体与立体相交时，在立体的表面上都会产生交线。交线是相交两表面公体的表面上都会产生交线。交线是相交两表面公共点的集合。共点的集合。 求作平面与立体相交或立体与立体相交时的求作平面与立体相交或立体与立体相交时的交线问题，可以转化为求交线问题，可以转化为求平面与立体相交或立体平面与立体相交或立体与立体相交时表面交线的公共点问题与立体相交时表面交线的公共点问题。截交线的性质截交线的性质一、平面与立体的交线一、平面与立体的交线 截交线的性质截交线的性

18、质 ：(1) 共有性共有性：是截平面与立体：是截平面与立体表面表面的的共有线共有线； (2) 封闭性封闭性：是：是封闭封闭的的平面多边形平面多边形。 求截交线的方法：求截交线的方法：(1) 棱线法：棱线法：求各棱线与截平面的交点；求各棱线与截平面的交点；(2) 表表面法：面法：求各表面与截平面的交线。求各表面与截平面的交线。 立体经平面切割后形成新的形体，切割立体的平立体经平面切割后形成新的形体，切割立体的平面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。1.平面与平面立体表面的交线平面与平面立体表面的交线例例7-7 如图所示，六棱柱被截切，已知

19、其正面投影，如图所示，六棱柱被截切，已知其正面投影，补全其水平投影和侧面投影。补全其水平投影和侧面投影。 12(3)4(5)6(7”)53421766”4”5”7”2”3”1”作图步骤：作图步骤：(1) 求截切平面与棱线求截切平面与棱线的的交点交点的的V面投影；面投影；(2) 按一定的顺序按一定的顺序连接连接各个交点的各个交点的V面投影；面投影；(3) 绘制绘制各棱线各棱线的的V面面投影。投影。 例例7-8 如图所示，三棱锥被一如图所示，三棱锥被一正垂面斜切，已知其正面投影，正垂面斜切，已知其正面投影，求水平投影。求水平投影。 123123作图步骤作图步骤(1)(1)求截交线求截交线顶点顶点的

20、水平投影；的水平投影；(2)(2)依次依次连接各顶点连接各顶点的水平投影；的水平投影；(3)(3)绘制各绘制各棱线棱线的的水平投影。的的水平投影。 1）平面与圆柱表面的交线平面与圆柱表面的交线 截交线截交线是截平面与形体表面的交线。按截平面与是截平面与形体表面的交线。按截平面与圆柱轴线的圆柱轴线的相对位置不同相对位置不同，与圆柱的，与圆柱的截交线截交线可以有可以有三种形式三种形式两平行直线两平行直线、圆圆和和椭圆椭圆 。2. 平面与曲面立体表面的交线平面与曲面立体表面的交线 截平面截平面位置位置平行于平行于圆圆柱柱轴线轴线垂直于垂直于圆圆柱柱轴线轴线倾倾斜于斜于圆圆柱柱轴线轴线截交截交线线直直

21、线线圆圆椭圆椭圆立立体体图图投投影影图图例例7-8 如图所示，圆柱被如图所示，圆柱被与圆柱轴线倾斜的与圆柱轴线倾斜的正垂面正垂面截切截切，已知其正面投影和，已知其正面投影和水平投影，求侧面投影。水平投影，求侧面投影。 1” 2” 3” 4” 1 2(4) 3 1 3 2 4绘图步骤：绘图步骤：(1)求求特殊点：特殊点：最低点最低点 、最高点、最高点 、最前点、最前点、最后点最后点；(2)求求一般点一般点：V、VI、VII、VIII；(3)光滑连接光滑连接各点；各点；(4)求求轮廓素线轮廓素线投影。投影。 567 8 5(8) 6(7)5”7”6”8” 截平面与轴线的截平面与轴线的不同夹角不同夹

22、角时，时，截交线形状截交线形状的变化的变化趋势趋势 。椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。截平面与圆柱轴线成45时，投影为圆。 45 45圆柱体切割圆柱体切割 生产实际中的机件，经常有生产实际中的机件，经常有圆柱切割圆柱切割的结构形式，的结构形式，在画这些零件的视图时经常遇有求在画这些零件的视图时经常遇有求截交线截交线的问题。的问题。 (a) 切割 (b)开槽圆柱切割与开槽点击播放视频圆柱体切割圆柱体切割例例7.97.9：空心圆柱被切割，求俯视图。：空心圆柱被切割，求俯视图。例例7.107.10：空心圆柱被切割，求俯视图。：空心圆柱被切割，求俯视图。例例7-117-11 空心圆柱

23、被开槽，求俯视图。空心圆柱被开槽，求俯视图。例例7.127.12：空心圆柱被开槽，求俯视图。：空心圆柱被开槽，求俯视图。分析、比较分析、比较分析、比较分析、比较2) 平面与圆锥表面的交线平面与圆锥表面的交线 根据截平面与圆锥轴线的位置不同，截交线有五根据截平面与圆锥轴线的位置不同，截交线有五种情况种情况圆、直线、双曲线、椭圆圆、直线、双曲线、椭圆和和拋物线拋物线。截平面位置垂直于圆锥轴线通过锥顶平行于圆锥轴线与圆锥所有素线相交平行于圆锥一条素线截交线圆圆直线直线双曲线双曲线椭圆椭圆抛物线抛物线立体图投影图例例7.13 如图所示，圆锥被如图所示，圆锥被一侧平面截切，求其侧面一侧平面截切，求其侧面

24、投影投影 。 绘图步骤：绘图步骤：(1)求求特殊点特殊点、 ；(2)求求一般点一般点、；(3)光滑连接光滑连接各点；各点；(4)求求轮廓素线轮廓素线投影。投影。 1 3素线法素线法 2 1 2(3) 2” 3” 1”454”5”4 (5)圆锥体切割圆锥体切割例例7.14 圆锥被一正垂面截切，完成圆锥被一正垂面截切，完成其水平投影和侧面投影。其水平投影和侧面投影。 绘图步骤：绘图步骤：(1)求求特殊点特殊点，最低点，最低点、最高点、最高点 、最前、最前点点、最后点、最后点，转，转向轮廓素线上点向轮廓素线上点、；(2)求求一般点一般点、；(3)光滑连接光滑连接各点；各点；(4)求求轮廓素线轮廓素线

25、投影。投影。123(4)5(6)7(8)9(10) 124387659102”1”10”9”4”3”6”5”8”7”点击播放视频圆锥体切割圆锥体切割3) 平面与圆球表面的交线平面与圆球表面的交线 平面与圆球的截交线为平面与圆球的截交线为圆圆。当截平面。当截平面平行、垂直平行、垂直、和和倾斜倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影分别为于投影面时，截交线在该投影面上的投影分别为直线直线、圆圆和和椭圆椭圆。 截平面位置与V面平行与H面平行与V面垂直立体图投影图例例7.15 圆球被一圆球被一正垂面正垂面截切，完成其水平投影和侧截切，完成其水平投影和侧面投影。面投影。 绘图步骤：绘图步骤：(1)截交线

26、的投影为截交线的投影为椭圆椭圆，投，投影椭圆上影椭圆上短轴短轴的两个端点的两个端点、与与长轴长轴的两个端点的两个端点 、 ；(2)求截交线与求截交线与轮廓线轮廓线的交点的交点 、 ；(3)求截交线与求截交线与轮廓线轮廓线的交点的交点 、 ；(4)依次依次光滑连接光滑连接各点；各点； (5)检查并加粗检查并加粗可见轮廓线可见轮廓线。 点击播放视频圆球体切割圆球体切割例例7.16 半圆球开槽，已知半圆球开槽，已知正面投影正面投影，求其，求其水平投影水平投影和和侧面投影侧面投影。 圆球体切割圆球体切割例例7.17 画顶尖的投影。画顶尖的投影。 分析：顶尖由分析：顶尖由同轴的同轴的圆锥圆锥与两与两个个

27、圆柱圆柱迭加而成。迭加而成。Q平面平面平行轴线平行轴线切切圆锥及两圆柱，圆锥及两圆柱，其与其与圆锥相交圆锥相交，得截交线为得截交线为双曲双曲线线，与，与圆柱相交圆柱相交的截交线为的截交线为两平两平行直线行直线。正垂面。正垂面P与圆柱相交的截与圆柱相交的截交线为交线为椭圆椭圆的一的一部分。部分。 PQ复合回转体切割复合回转体切割 物体上经常出现基本物体上经常出现基本立体相交立体相交的情形，的情形，这种相交也称为这种相交也称为相贯相贯，所产生的表面交线称，所产生的表面交线称为为相贯线相贯线。 二、二、立体与立体表面立体与立体表面的交线的交线 相贯线性质相贯线性质 相贯线形状相贯线形状是由参与相贯的

28、形体的是由参与相贯的形体的形状形状和位置的变和位置的变化决定化决定,具有以下性质：具有以下性质： (1) 共有性共有性：相贯线是相交形体：相贯线是相交形体表面的共有线表面的共有线，也是两，也是两立体表面的分界线。因此，相贯线的点是形体表面的共立体表面的分界线。因此，相贯线的点是形体表面的共有点和两立体表面的分界点。有点和两立体表面的分界点。 (2) 封闭性封闭性：相贯线一般是：相贯线一般是封闭的空间曲线封闭的空间曲线，特殊情况，特殊情况下为平面曲线或直线。下为平面曲线或直线。 形体相交有如下三种形式，其中平面体与平面体相形体相交有如下三种形式，其中平面体与平面体相交可按照平面截切平面体来分析，

29、不展开讨论。交可按照平面截切平面体来分析，不展开讨论。(a) 平面体与平面体相交 (b) 平面体与曲面体相交 (c) 曲面体与曲面体相交形体的相贯线1. 平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体相交，所得的相贯线是由平面立体与曲面立体相交，所得的相贯线是由若干段若干段平面曲线平面曲线（或（或直线段直线段）所组成的空间）所组成的空间封闭线封闭线框框。相贯线每段平面曲线是平面体上某一。相贯线每段平面曲线是平面体上某一棱面棱面与与曲曲面面的的截交线截交线。两段截交线的交点称为。两段截交线的交点称为结合点结合点，它是，它是平面体的平面体的棱线棱线与曲面体与曲面体表面表面的的交点

30、交点。 因此，求平面体与曲因此，求平面体与曲面立体表面的交线可以归面立体表面的交线可以归结为两个基本问题：结为两个基本问题：(1) 求棱线与曲面立体表求棱线与曲面立体表面的交点；面的交点；(2)棱面与曲面立体表面棱面与曲面立体表面的截交线。的截交线。 例例7-18 求四棱柱与圆锥的相贯线。求四棱柱与圆锥的相贯线。 作图步骤：作图步骤：(1) 求出四棱柱棱线与圆求出四棱柱棱线与圆锥的交点锥的交点I、II、III、IV；(2) 求出前后两段截交线求出前后两段截交线的的最高点最高点V、VI；(3) 求出一般点求出一般点VII、VIII、IX、X ；(4) 并并依次依次按顺序画出四按顺序画出四棱柱侧棱

31、面与圆锥的交线；棱柱侧棱面与圆锥的交线；(5)检查并检查并加粗加粗轮廓线。轮廓线。1(2) 4(3) 34125(6) 56 10 9877(8) 10(9) 图图a所示为圆柱穿孔，图所示为圆柱穿孔，图b所示为圆筒穿孔。都可认所示为圆筒穿孔。都可认为是平面立体（空心）与曲面立体相贯为是平面立体（空心）与曲面立体相贯 。 (a) 圆柱穿孔 (b) 圆筒穿孔圆柱、圆筒穿孔 两曲面立体相交所得交线的一般性质：两曲面立体相交所得交线的一般性质： (1) 交线是两曲面立体交线是两曲面立体表面的共有线表面的共有线，也是两相交，也是两相交曲面立体的曲面立体的分界线分界线。交线的所有点都是两曲面立体。交线的所

32、有点都是两曲面立体表面表面的共有点的共有点。 (2) 在一般情况下，两曲面立体的交线是在一般情况下，两曲面立体的交线是闭合空间闭合空间曲线曲线。 (3) 交线的形状取决于两曲面的交线的形状取决于两曲面的形状形状、大小大小及它们及它们的的相对位置相对位置。 求两曲面立体交线可求两曲面立体交线可归结为求归结为求两相交立体表面两相交立体表面上一系列共有点的问题上一系列共有点的问题，而具体的方法有而具体的方法有表面取点表面取点法法和和辅助平面法辅助平面法。2. 两曲面立体相交两曲面立体相交 当相交两形体表面当相交两形体表面中的某一形体表面在某中的某一形体表面在某一投影面有一投影面有积聚投影积聚投影时，

33、时，其相贯线在该投影面上其相贯线在该投影面上的投影也一定与此形体的投影也一定与此形体的投影的投影重合重合。 这样，可将此相贯这样，可将此相贯线投影作为另一相交形线投影作为另一相交形体体表面上的点表面上的点进行作图，进行作图，以求出其另外的投影。以求出其另外的投影。1）表面取点法）表面取点法 1、表面取点法、表面取点法 例例7.19 求两圆柱的交线。求两圆柱的交线。 空间及投影分析：空间及投影分析： 两圆柱轴线垂直相两圆柱轴线垂直相交且同时平行于正立投交且同时平行于正立投影面。因而两圆柱轴线影面。因而两圆柱轴线分别垂直于水平和侧立分别垂直于水平和侧立投影面，投影面，相贯线的水平相贯线的水平投影投

34、影与竖放圆柱的水平与竖放圆柱的水平投影圆周投影圆周重合重合，相贯线相贯线的侧面投影的侧面投影与横放圆柱与横放圆柱的侧面投影部分圆周的侧面投影部分圆周重重合合，由它们可求出相贯，由它们可求出相贯线的正面投影。线的正面投影。 作图步骤：作图步骤：(1) 求特殊点：直接求特殊点：直接求得求得最高点最高点I、II和和最最低点低点III的投影；的投影； (2) 求一般点，用表求一般点，用表面取点法可求得面取点法可求得V、VI的投影；的投影；(3)连线并判别可见连线并判别可见性；性；(4)检查并检查并加粗加粗轮廓轮廓线。线。 1 5 4 3 2 54 4”(5”) 13” 2 3 1”(2”) 例例7.2

35、0 两圆柱轴线垂直交叉，求它们的相贯线。两圆柱轴线垂直交叉，求它们的相贯线。 作图步骤：作图步骤：(1) 求特殊点：点求特殊点：点I、II是在是在正面投影中可见的正面投影中可见的分界点分界点；点点III、IV是是最前最前和和最后最后点，点，点点III也是也是最低点最低点；点；点V、VI是是最高点最高点； (2) 求一般点：用表面取点求一般点：用表面取点法可求得法可求得VII、VIII的投影；的投影；(3)连线并判别可见性；连线并判别可见性；(4)检查并检查并加粗加粗轮廓线。轮廓线。 在圆柱上开孔，或两圆柱孔相交，其作图方法在圆柱上开孔，或两圆柱孔相交，其作图方法完全一样。如图完全一样。如图a所

36、示为所示为圆柱与圆孔圆柱与圆孔相贯，图相贯，图b所示所示为为圆孔与圆孔圆孔与圆孔相贯，图相贯，图c所示为所示为圆筒穿孔圆筒穿孔，内外圆，内外圆柱面上都有相贯线。柱面上都有相贯线。(a) 圆柱开圆孔 (b) 圆孔与圆孔相交 (c) 圆筒开圆孔 利用利用辅助平面法辅助平面法求相求相贯线，就是利用辅助平面贯线，就是利用辅助平面与相贯的两曲面立体相交，与相贯的两曲面立体相交，各得一各得一截交线截交线，而这两截，而这两截交线的交线的交点交点，就是所求，就是所求相相贯线贯线上的点。上的点。 对于投影不具有对于投影不具有积聚积聚性性的相贯线求解采用的相贯线求解采用辅助辅助平面法平面法。2）辅助平面法）辅助平

37、面法 P点击播放视频 分析分析：由于圆锥与：由于圆锥与圆球的投影均圆球的投影均无积聚性无积聚性，相贯线的点相贯线的点不能再用表不能再用表面取点法面取点法求得，须用求得，须用辅辅助平面助平面的方法求取。的方法求取。 思路思路：用一个：用一个水平水平辅助平面辅助平面切割物体，与切割物体，与圆锥相交为圆，与球相圆锥相交为圆，与球相交也为圆，交也为圆，两圆的交点两圆的交点即为即为相贯线上的点相贯线上的点。例例7.21 求圆台与圆球的相贯线求圆台与圆球的相贯线 。 作图步骤：作图步骤：(1) 求求特殊点特殊点：点：点I、II是是相贯线的相贯线的最左最左和和最右最右点，点，也是也是最高最高和和最低最低点，

38、点点，点III、IV是是最前最前和和最后最后点。点。 (2) 求求一般点一般点：相贯线：相贯线V、VI两点；两点；(3) 依次依次光滑连接相贯线光滑连接相贯线上各点；上各点；(4) 连线并判断连线并判断可见性可见性，最后完成轮廓线的投影。最后完成轮廓线的投影。例例7.21 求圆台与圆球的相贯线求圆台与圆球的相贯线 。 2 1 3(4) 2 1 3 4 5 1” 2” 3”4” 5” 6” 5(6) 6点击播放视频例例7.22 求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱与圆锥的相贯线 。 辅助投影面的选择：辅助投影面的选择： 例例7.22 求圆柱与圆锥的相贯线。求圆柱与圆锥的相贯线。 作图步骤：作图步骤：(1)

39、 求求特殊点特殊点：点：点I、II是相贯线的最高和最低是相贯线的最高和最低点，点点，点III、IV是最前是最前和最后点，点和最后点，点V、VI是是最右点；最右点； (2) 求求一般点一般点：相贯线：相贯线VII、 VIII两点；两点；(3) 依次依次光滑连接相贯光滑连接相贯线上各点；线上各点；(4) 连线并判断连线并判断可见性可见性，最后完成轮廓线的投影。最后完成轮廓线的投影。121”2”12433(4)4”3”655(6)6”5”7”8”7(8)871、相贯线的形状变化、相贯线的形状变化 当两圆柱的当两圆柱的轴线垂直相交轴线垂直相交时，其相贯线的形状会随时，其相贯线的形状会随着两圆柱直径的变

40、化而变化，交线着两圆柱直径的变化而变化，交线向大圆柱向大圆柱一侧弯。一侧弯。(a) (b) (c) 相贯线的变化趋势(一) 三、两曲面立体相交三、两曲面立体相交 1、相贯线的形状变化、相贯线的形状变化 当两圆柱当两圆柱轴线垂直交叉轴线垂直交叉时，它们的相贯线随着两时，它们的相贯线随着两圆柱相对位置的变化而变化圆柱相对位置的变化而变化 。 相贯线的变化趋势（二）(a) (b) (c)三、两曲面立体相交三、两曲面立体相交 1、相贯线的形状变化、相贯线的形状变化 当两圆柱当两圆柱轴线垂直交叉轴线垂直交叉时，它们的相贯线随着两时，它们的相贯线随着两圆柱相对位置的变化而变化圆柱相对位置的变化而变化 。

41、相贯线的变化趋势（二）(d) (e) (f) 1、相贯线的形状变化、相贯线的形状变化 当两个回转立体的当两个回转立体的轴线共线轴线共线（即同轴线）且相交（即同轴线）且相交时，其相贯线是相交两回转面的时，其相贯线是相交两回转面的公共纬圆公共纬圆。(a) (b) (c)同轴线相交的回转体相交1、相贯线的形状变化、相贯线的形状变化 相交两回转面同时相交两回转面同时内切于一圆球面内切于一圆球面，其相贯线是，其相贯线是两条相交的平面曲线。两条相交的平面曲线。 (a) 两等径圆柱正交 (b) 两等径圆柱斜交 具有公共内切圆球面的两回转面相交1、相贯线的形状变化、相贯线的形状变化 相交两回转面同时相交两回转

42、面同时内切于一圆球面内切于一圆球面，其相贯线是，其相贯线是两条相交的平面曲线。两条相交的平面曲线。 (c) 圆柱与圆锥轴线正交 (d) 圆柱与圆锥轴线斜交 具有公共内切圆球面的两回转面相交四、多个基本体相交四、多个基本体相交 作图：作图：(1) 对相交部分，分别求出两相交对相交部分，分别求出两相交立体的立体的相贯线相贯线及各段相贯线的及各段相贯线的分分界点界点；(2) 综合起来成为整体的相贯线。综合起来成为整体的相贯线。 多个基本体相交时，其交线由基本立体间的各多个基本体相交时，其交线由基本立体间的各段交线组合而成。在求解相贯线时，既要分别求出段交线组合而成。在求解相贯线时，既要分别求出各段交

43、线各段交线，又要求出各段交线的，又要求出各段交线的分界点分界点。 分析：分析：(1) 分析是哪些分析是哪些基本体基本体相交在一起；相交在一起；(2) 分析哪些立体间有分析哪些立体间有相交关系相交关系，并，并分析其交线的分析其交线的形状形状、趋势趋势和和范围范围。例例7-23 求组合体相贯线。求组合体相贯线。 分析分析： 此立体由基本体此立体由基本体半球半球A、圆圆柱柱B、半圆柱半圆柱C、半圆柱半圆柱D和和长方长方体体E组合。组合。 (1) 半圆柱半圆柱C与与半球半球A相交且同相交且同轴线，交线为一个轴线，交线为一个半圆半圆； (2) 长方体长方体E与与圆柱圆柱B相交，交相交，交线为线为两条直线

44、两条直线； (3) 半圆柱半圆柱D与与圆柱圆柱B的轴线垂的轴线垂直相交，交线为直相交，交线为曲线曲线。 ABCDE点击播放视频例例7.23 求组合体相贯线。求组合体相贯线。 作图步骤：作图步骤：(1) 在三个视图中绘制各在三个视图中绘制各基本基本体体的轮廓线；的轮廓线；(2) 求求半圆柱半圆柱C与与半球半球A的交线的交线的最高点的最高点I和结合点和结合点II；(3) 求求长方体长方体E与与圆柱圆柱B的交线的交线的的II 和和III 点；点；(4) 求求半圆柱半圆柱D与与圆柱圆柱B的交线的交线的结合点的结合点III及最低点及最低点IV；(5) 求求半圆柱半圆柱D与与圆柱圆柱B的交线的交线上的一般

45、点上的一般点、；(6) 依次依次光滑连接光滑连接相贯线上各相贯线上各点；点；(7) 连线并判断可见性，最后连线并判断可见性，最后完成轮廓线的投影。完成轮廓线的投影。 1 2 34 1 2(3)46”5”655(6) 1” 2” 3” 4”例例7.24 如图所示，如图所示，铅垂圆柱铅垂圆柱、圆台圆台与与水平圆柱水平圆柱三个基三个基本体相交，两直径相等的孔相交，求其相贯线。本体相交，两直径相等的孔相交，求其相贯线。 作图步骤：作图步骤：(1) 求求水平圆柱水平圆柱上半部分与上半部分与圆圆台台的相贯线，特殊点是：的相贯线，特殊点是：I、II、III，一般点是：，一般点是：VII、 VIII；(2) 求求水平圆柱水平圆柱下半部分与下半部分与铅铅垂圆柱垂圆柱的相贯线，特殊点为：的相贯线，特殊点为：IV、V、VI；(3) 求求两个孔两个孔的相贯线，此时的相贯线，此时相贯线为直线且经过两轴线相贯线为直线且经过两轴线的交点；的交点；(4) 依次依次光滑连接光滑连接相贯线上各相贯线上各点；点；(5) 连线并判断可见性，最后连线并判断可见性，最后完成轮廓线的投影。完成轮廓线的投影。27(8)1(3)6(4)5546213877”8”