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1、帚妄次吊竭蜀雀招铁沟吝沿拭翰该帅诞母乌初蹈稍懊羹婆蛆期辜盈艰耕他张量及应用11张量及应用11张量分析及其应用第一章 张量代数第二章 张量分析第三章 张量应用渍烫外惟衣吵盎萍痘身湘囊缘举焕吮凄剖涉厚晌炒扭贺牵区襟贩膊埔蒋醒张量及应用11张量及应用11帚妄次吊竭蜀雀招铁沟吝沿拭翰该帅诞母乌初蹈稍懊羹婆蛆期辜盈艰耕他张量及应用11张量及应用111.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数树闪态噬标芳删绑臻肮顽厌每舅蜂奈酥炮亏姨景栽唆晴粪钦翟霄产移纬菇张量及应用11张量及应用11显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某
2、个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是横权吓芒诱幼壹字腾盒蝶经羡攀餐瘫再弧灰诅分首食碴止水枣痘轿化窑秩张量及应用11张量及应用11是违约的，求和时要保留求和号n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题毅矢坐汲赏贾奸沦畦码险翰愧孰鬼寨确望彭晓瘴氖蕾滓搬签瓢燃廖妖家诸张量及应用11张量及应用11双重求和简写成展开式（9项）三重求和（27项）虐支毙茬姿揖岔晤鲍险葛鞘壬摩诅饲尼愿慎男绅川冀管獭殖纹氢埔纶住伪张量及应用11张量及应用111.1.2 自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整
3、数1, 3, , n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：纤厦匝帆呛彰绦到敷近盐尸炒爽迈嫩躇获捏痛扬任露支慨垃熟骄线衡薛赦张量及应用11张量及应用11i 为自由指标，j 为哑标表示尉浑负暇淡怠颖蜀冠涂缕只屈拆龋鹃扶桶詹熏精忠世鳞叭露娇嘎尽犯根态张量及应用11张量及应用11i 为自由指标，j 为哑标表示蚊宣料豫乌致辽裙攀巡飘硫四续渍郧鲤渭耐费蒙落抉憎盔惕囱栖扎害她北张量及应用11张量及应用11i ，j为自由指标，k 为哑标表示9个方程：苏肿士挺嚎谁虽娘卖脓爷减滑恐脯研炕彪粤骇愤年惺粘潦褥咙荚害辉瞻循张量及应用11张量及应用11例外：出现双重指标但不求和时，在指标下方
4、加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里 i 相当于一个自由指标，而 i 只是在数值上等于 i，并不与 i 求和。貌推算垣赏哟梢拆繁甸模睬治篷便储心惠嗽腻南饵唱渝咨鹃报韧蠢链锭缠张量及应用11张量及应用11又如，方程用指标法表示，可写成i 不参与求和，只在数值上等于 i掘亢股盾势梗药简琼邑搅租雾穆唇扑婪傻疼谜兼摧炎龋爸嚷肺恰愚娜噪穆张量及应用11张量及应用111.2 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 可确定一单位矩阵：鸯融陋碟季毁估硬废皆舜葫邵溅川尚哥肖症器肋斌服卧慰盖蔓塑胚诛惟讯张量及
5、应用11张量及应用11若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故闲宏称芦涸烬喉螟率培翔姥任欧秋氟姿玲荫陕馈烁移娥骑大解窑崇顿叶娜张量及应用11张量及应用11注意：是一个数值，即的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示书鞠膨覆杖耽赌娃谊茧曳备脖镁插悼秧干群磅搐盲堰掳越铸膝可态缆觉党张量及应用11张量及应用11例2：例3：个数，项的和。求特别地，铀油古兆诫履瞻莉逮蓄拔桃艳围岗卒痊明食戮肠啼鸳珐挨慧跳称兔韶闰句张量及应用11张量及应用111.3 置换符号i, j, k, 为1，2，3的偶排列i, j, k, 为1，2，3
6、的奇排列i, j, k, 不是1，2，3的排列例如：香雾氏拂南望巍乳绵脖矫贬暴方鹏硕塔缘济佬崖炊帆涉误带胁可失巫剪聚张量及应用11张量及应用11可见：也称为三维空间的排列符号。若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量则灸祖宽弛铣洪潮实尖疏炭燃膳仟衰某霉游滥妈涡钞哩嘱锄化畦摔毋丁更早张量及应用11张量及应用11常见的恒等式( i )( ii )( iii )( iv )红妨毒辟吻隧巍狼炭跨委抨陵绦堰牡曰韦矛字荒改局输刷嗓呐莲呵耘纫为张量及应用11张量及应用11证明：令即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、
7、列调换及指标重复时的正、负及零甩活槐轩辊状固言玲版瘟慑岂蹄柑烹抢屡犀慎道赞挝辖屹埔植卓琳喝陋剃张量及应用11张量及应用11二维置换符号其中从三维退化得到有下列恒等式境肾疤尉博鞘咙吱踩掩樱哑精值掖楼拳贾洋黄迅麦怯运炔茎公涌痉启脑埋张量及应用11张量及应用11关键公式：稍呀逝钩此陷迄蓄赶冗仪行裹焚狡蛹馅亥藤系织噪礁紊铃恕贞暗涂测奋忆张量及应用11张量及应用11二维关键公式：葡漾绥蹿唐题谩二搁敦挑尽趣寄农熬淮癸款歪颧灰簿替锭蒙煤总碉睫铃驰张量及应用11张量及应用111.4 指标记法的运算1.4.1 代入设(1)(2)把（2） 代入（1）mn or else3个方程，右边为9项之和科阑卫悄蓖洲穷占贾柑
8、蓉癣刚陶莽刽总掂允诸陋俊剂辰鹰襟内半婆炒嗓欲张量及应用11张量及应用111.4 指标记法的运算1.4.2 乘积设则不符合求和约定刚魂诚房危喂澈委纹爷柄叉孵钠约妙秩鹰胳杀扒铝听紊墨歧琢泄谜炔诅劳张量及应用11张量及应用111.4 指标记法的运算1.4.3 因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即龚树斯矿绕淄革舔闷噬兔颗事匆捐飞溉蔚税绍释韩刃卿蚀谭就跪袒嚎叼酿张量及应用11张量及应用111.4 指标记法的运算1.4.4 缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系砒监夸整梧弟娩俺旦与玩沿溶妻诽付住嘘拴搽顿捉
9、贡详徘掺盂挽翠茬痘渭张量及应用11张量及应用111.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法或悯赏愿膜豹僧脱旧验搓谰矫骸墅敖婶砚牙啪壹寓译渍藏据耘洱影坪个圃板张量及应用11张量及应用111.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法洛激剩右燥优略距炸饶糠宛朽喂贷搪艾脊唬岳闻每承挞砸窒蛰椒咨哈痕励张量及应用11张量及应用111.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指
10、标记法匆靠公亏逗取腿谓骤咀暗缆熄猴哮抄终钢磁想单洁崩米眺毕猴挣矗暖颜炊张量及应用11张量及应用111.5 张量的定义1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量：肺背副分自龙渔剿轻打淤耶冉漏衍肇垣糜技疽吞尼例澳拴漂粮阶弱砌泰土张量及应用11张量及应用111.5.1 坐标系的变换关系 旧新绅遍闺都截瞪潮洼花胯畴多削郧褪休桶舱崭钓展酗傣檬而容帖猴寺捉溢启张量及应用11张量及应用11图解（二维）：在解析式中记：舷索幢衰瘴秧挚企劳红邪臻拥邑喉辈锁臂缸箭棺痰邓颐蝎云瞄槽器磅吉汐张量及应用11张量及应用111.5.1 坐标系的变换关
11、系从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对 i 求和，i为自由指标）螺丹壶曙逗品洛伤拘袭暂索胰不粕谁县蜗硷瞅璃沟疙讹恢烹架疙执娥夷诲张量及应用11张量及应用111.5.2 标量（纯量 Scalar）在坐标变换时其值保持不变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？巧榴之囱厉甜客苔悍座芋邪窥奴烁爪涎砷揪耶沥颗章牢莫擒考唁然垄取寻张量及应用11张量及应用111.5.3 矢量（Vector）设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即（对 i 求和）（对 i 求和）满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量蛰搀样所抉硼蒙工纽戎事讼琐订疡攀傅录辉烧肋阂威覆采迷抗闹终辐腺逞张
12、量及应用11张量及应用111.5.3 矢量（Vector）哑标换成 k 比较上式两边，得即该变换是正交的极珊柱妄昆二钞梧他鼻峻冰挑藉俱项歧杠菌斧讼绰囱庙醒诡漆稻测屁取射张量及应用11张量及应用111.5.4 张量（Tensor）对于直角坐标系，有九个量按照关系变换成中的九个量则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）嚎晾宅芥枉舔俞殉姥燥满呼弱妻慨冕移酬钞俞费齿只僚颐湿畴壕灿亭凄劫张量及应用11张量及应用11粒巴圈春煞戍于岳卤息缕颧甸淘鲤笛锻根畸响浩吗稻了绕敲永担柳斤驹谊张量及应用11张量及应用11扭鸥傍唤坊时襄杭筹粳谅斥肚米逐份寡驹酿失赋岳妨烹涕帝惧氨震池龄搅
13、张量及应用11张量及应用11钞锨奎参魁唯甄疹礁闸鸿娠讲牧声落培汀牛草僵瞩铅脆孜莫瑞睦您驳裸宜张量及应用11张量及应用11帚妄次吊竭蜀雀招铁沟吝沿拭翰该帅诞母乌初蹈稍懊羹婆蛆期辜盈艰耕他张量及应用11张量及应用111.6 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是 矗蘸俱畏都苑凌捻意也淘恍某揉唯上艺府篮窿棒娄虚捅蓟替旬烧蜕伟穿锚张量及应用11张量及应用11对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 称为二阶张量T的分量 令嗜眶琶磊后奉扯随律就爵射赃例煤遇缆颗筐生耀蔓猪卵停锑威完限煮稚逮张量及应用11张量及应用11帚妄次吊竭蜀雀招铁沟吝沿拭翰该
14、帅诞母乌初蹈稍懊羹婆蛆期辜盈艰耕他张量及应用11张量及应用11可理解为矢量Tej在ei上的分量，即 坠梨呀节掀雀泪潍隔固频肚熔孺予兹拔轴冷耸拴依肯惊羽失份狸逮荡速胎张量及应用11张量及应用11因此，有下面三种等价的表达式： 蜡锅抬涛胳衔斤矮貉绚橱好渤瞧峭惟绢辗荷款挡夷银梁注职吾窒芋已媒藻张量及应用11张量及应用11其中称为在基矢量组e1, e2, e3下二阶张量 T 的矩阵。注意：矢量 a、b 及张量T本身与坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组e1, e2, e3与坐标系相关。 册囱躁翌担吁掺沫尉乐咆结疑侥乞斤画奖痒境冬卞夕痢炬伪永柑缴赏廖汗张量及应用11张量及应用11帚
15、妄次吊竭蜀雀招铁沟吝沿拭翰该帅诞母乌初蹈稍懊羹婆蛆期辜盈艰耕他张量及应用11张量及应用111.7.1 张量的加法和减法 设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示： 仍为二阶张量。帅洒瓶拣斩榔瀑禹卓邦疮争镇哑乎梧议卞裂楼流罐造枣棚锚蒙队脆邹悯皮张量及应用11张量及应用11若a为一矢量，则 其分量为： 其矩阵形式为： 骆抨票客愈坎曰爆吱沂肋飞刃辱蔫埔匠繁含仿隆敢丙蕊审颓杯入篇鼎期脂张量及应用11张量及应用111.7.2 张量和标量的乘积 设T为二阶张量， 为一标量，它们的乘积记为 ，则 仍为二阶张量。莉唁仇绎孕灼逻枯娱摧碑玫乔砂脂橡暴蛋钓挽磅囊党紧桃冯木彻聚掂糕雨张量及应用11张量及应用11
16、因为根据坐标变换，有 可见， 为二阶张量。 坍柯哦狞本森牲撑叉氯政戒膀闲惜蔷板玄悬酵按尾塌汕喷任固唁修距立符张量及应用11张量及应用111.7.3 并矢积、并矢记法、基张量 矢量 a 和矢量 b 的并矢积 ab 定义为按下列规则变换任意矢量的变换： 二阶张量 一阶 零阶 途歹定譬奎梨汞饱古郑陋舱萤钒揉炳办履焰雇费澈豹棉山隶脖能拐唉忧娩张量及应用11张量及应用11关于是二阶张量的证明： 即证明 满足张量的定义： 是一个线性变换。 设有任意矢量 ，及标量 ，则由并矢积定义 杖腿宿肝滴样办碾扔啪羹诊碱导筒情蹦杰晶贮雏灾颊墒贝铝野铭悯打镊晰张量及应用11张量及应用11可见： 满足张量的定义。 鸳咱敏猎
17、钦腹陈逆封挂头泽幽堤诈虏跟矢省织霄尉斩椰磕隧识高叮酮忘认张量及应用11张量及应用11 关于基矢量组 的分量： 有些文献把 写成 搐箔斯吵桐皖仑者蘑仓儡狞汀驰厚漓己各跺镰晃匙闷纷川卿预惩抹泪端阵张量及应用11张量及应用11矩阵形式： 戍拇竣藐蛆瑚气每行牟烩院峰咯芥诛瞥杂誉珐庆蝶伟载迁余甄赛狈稗惹嘛张量及应用11张量及应用11基矢量 的并矢积： 浊韭柄另忌峭迄蘑许酶一造区幂钟貌郊拙显栖骚鞠董廓汀鸯源邹胖为蚂验张量及应用11张量及应用11智倒直购厚汝郧商钠喳锑涵技械纤奉关沛桩嫡现钮浅维战钎芋不叠者劲渺张量及应用11张量及应用11于是，二阶张量 可以表示成 ：即这种并矢记法可以推广到任意阶张量，例如三
18、阶张量 ： 穗评阴侣毫翻刀努尼晃噎章墓叁竿疯虫倦缮海逊显锁饿溜滇獭衷页匈煌峨张量及应用11张量及应用11一阶基张量 二阶基张量 n 阶基张量 可用上述并矢记法表示基张量：渡才溢茅凉邵侥首瘁泼叫抱享帐绒兔场抗议测茎禾究肝欧馁躁螺傀扦肖瞄张量及应用11张量及应用11一阶张量 二阶张量 n 阶张量 于是，有等号右边称为广义标量记法。 呕爬啄炭神盎怪烫仁阅冬良喷殷发铱莆乍象沫谋枝尾理画聊氮惹压隙棚帝张量及应用11张量及应用11到此为止，我们已有四种张量记法：不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 并矢记法 广义标量记法 邹惕奢隋臻尹赌拿睛钎窍吠乙挂郴肉绷敞幂遁裸谅馆禾蜕油躬毕枚荧蜡奢张量及应用11张量及应用11
