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1、本节内容2.1多多 边边 形形观察观察你能从图你能从图2-1 中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？图图2-1 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作形叫作多边形多边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的组成多边形的各条线段叫作多边形的边边.相邻两条边的公共端点叫作多边形的相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点顶点.连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线对角线. 相邻两边组成的角叫作多边形的相邻两边组成的角叫作多边形的内角内角，简称多边形的，简称多边形的角角
2、. 例如在图例如在图2-2中，中，AB是边，是边，E是顶点，是顶点，BD是对角是对角线，线，A是内角是内角.在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形正多边形. 多边形根据边数可以分为三角形，四边形，多边形根据边数可以分为三角形，四边形，五边形，五边形，图图2-2动脑筋动脑筋三角形的内角和等于三角形的内角和等于180，四边形的内角和是多少度呢？，四边形的内角和是多少度呢？ 如图如图2-3，四边形，四边形ABCD的一条对的一条对角线角线AC 把它分成两个三角形，因此把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的四边形的内角和等于这两个三角形的内
3、角和，内角和， 即即1802=360.图图2-3探究探究 在下列各个多边形中在下列各个多边形中，任，任取一个顶点取一个顶点，通过，通过该顶点该顶点画出所有对角线画出所有对角线，并，并完成下表完成下表.五边形五边形六边形六边形七边形七边形八边形八边形五边形五边形53（5- -2） 180六边形六边形6七边形七边形7图形图形 边数边数可分成三角形的个数可分成三角形的个数多边形的内角和多边形的内角和五边形五边形六边形六边形 八边形八边形8n边形边形n4（6- -2） 180（7- -2） 1805（8- -2） 1806n-2（n- -2）180五边形五边形六边形六边形七边形七边形八边形八边形 如图
4、如图2-4，n边形共有边形共有n个顶点个顶点A1，A2，A3，An. 与顶点与顶点A1不相邻的顶点有不相邻的顶点有( (n- -3) )个，因此从顶点个，因此从顶点A1出出发有发有( (n- -3) )条对角线，条对角线，n边形被分成了边形被分成了( (n- -2) )个三角形个三角形. n边形的内角和等于这边形的内角和等于这( (n- -2) )个三角形的内角和，因个三角形的内角和，因此此n边形的内角和等于边形的内角和等于( (n- -2) )180.图图2-4结论结论n边形的内角和等于边形的内角和等于( (n- -2) ) 180由此得出：由此得出：动脑筋动脑筋你还可以用其他方法探究你还可
5、以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？边形的内角和公式吗？ 如图如图2-5，在，在n边形内任取一点边形内任取一点O，与多边形各顶点，与多边形各顶点连接，把连接，把n边形分成边形分成n个三角形，用个三角形，用n个三角形的内角和个三角形的内角和n180减去中心的周角减去中心的周角360，得，得n边形的内角和为边形的内角和为（n- -2）180.图图2-5例例1（1）十边形的内角和是多少度？）十边形的内角和是多少度？ （2）一个多边形的内角和等于）一个多边形的内角和等于1980， 它是几边形？它是几边形？ 举举例例解解 （1）十边形的内角和是）十边形的内角和是( (10- -2) )180= 144
6、0.（2）设这个多边形的边数为）设这个多边形的边数为n，则，则（n- -2 ) )180= 1980， 解得解得n = 13. 所以这是一个十三边形所以这是一个十三边形.1.（1）正十二边形的每一个内角是多少度？）正十二边形的每一个内角是多少度？练习练习（2）一个多边形的内角和等于）一个多边形的内角和等于1800，它，它是几边形？是几边形？答：答：150.答：十二边形答：十二边形.2.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形 3. 分成分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？个三角形，那么这个多边形是几边形？答：十二边形答：十二边形.练习练习 如图
7、如图2-6，EDF是五边形是五边形ABCDE的一个外角的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角在多边形的每个顶点处取一个外角，它们，它们的的和叫作和叫作这个这个多边形的多边形的外角和外角和. 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个成的角叫作这个多边形的一个外角外角.图图2-6动脑筋动脑筋 我们已经知道三角形的外角和为我们已经知道三角形的外角和为360，那么那么四边形的外角和为多少度呢？四边形的外角和为多少度呢？ 如图如图2-7，在四边形，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外的每一个顶点处取一个外角，角，如如1，2，3，
8、4. 1 +2 +3 +4 = 4 180 - - 360 = 360. 1 +DAB = 180，2 +ABC = 180， 3 +BCD = 180， 4 +ADC = 180，又又 DAB +ABC +BCD +ADC = 360， 四边形的外角和为四边形的外角和为360.图图2-7探究探究 三角形的外角和是三角形的外角和是360，四边形的外角和是，四边形的外角和是360，n边形（边形（n为为不小于不小于3的任意整数）的外角的任意整数）的外角和都是和都是360吗？吗？n边形的外角和与边数有关系吗？边形的外角和与边数有关系吗？ 类似于求四边形外角和的思路，在类似于求四边形外角和的思路，在n
9、边形的每一边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为角之和为180. 因此，这因此，这n个外角与跟它相邻的内角之个外角与跟它相邻的内角之和加起来是和加起来是n 180，将这个总和减去，将这个总和减去n边形的内角和边形的内角和（n- -2 ) )180所得的差即为所得的差即为n边形的外角和边形的外角和.n 180- -（n-2 ) )180 =n- -（n- -2 ) ) 180 = 2180 = 360 . n 边形的外角边形的外角和与边数没有关系和与边数没有关系.结论结论任意多边形的外角和等于任意多边形的外角和等于360.由
10、此得出：由此得出：例例2 一个多边形的内角和等于它外角和一个多边形的内角和等于它外角和 的的5倍，它是几边形？倍，它是几边形？举举例例解解 设多边形的边数为设多边形的边数为n，则它的内角和等于则它的内角和等于( (n- -2) ) 180.由题意得由题意得( (n- -2) ) 180=5360，解得解得 n=12.因此这个多边形是十二边形因此这个多边形是十二边形.观察观察 三角形具有稳定性，三角形具有稳定性， 那么四边形呢？用那么四边形呢？用4 根木条根木条钉成如图钉成如图2-8 的木框，随意扭转四边形的边，它的形状的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？会发生变化吗？图图2-8
11、我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，变了， 这说明这说明四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性. 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如例如图图2-9 （a）中的电动伸缩门、图中的电动伸缩门、图2-9 （b）中的升降器）中的升降器.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图2-9 （c）中的）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性三角形的稳定性.图图2-9（a）（c）（b）1. 一
12、个多边形的每一个外角都等于一个多边形的每一个外角都等于45， 这个多边形是几边形？它的每一个内角这个多边形是几边形？它的每一个内角 是多少度？是多少度？练习练习答：这个多边形是八边形，答：这个多边形是八边形， 每个内角是每个内角是135.2. 如图，求图中如图，求图中x的值的值.答：答：x =60.练习练习3. 举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子.练习练习答：有种答：有种衣架是衣架是根据平行四边形根据平行四边形的不稳定性，用同样的不稳定性，用同样 长的长的木条构成的几个相连的菱形，每个顶点木条构成的几个相连的菱形，每个顶点处都处都 有有一一个挂
13、钩个挂钩，不仅美观，不仅美观，而且实用，如下图：而且实用，如下图： 答：有种答：有种衣架是衣架是根据平行四边形根据平行四边形的不稳定性，用同样的不稳定性，用同样 长的长的木条构成的几个相连的菱形，每个顶点木条构成的几个相连的菱形，每个顶点处都处都 有有一一个挂钩个挂钩，不仅美观，不仅美观，而且实用，如下图：而且实用，如下图： 液晶电视的双臂旋转伸缩可悬挂支架也用到了四边形液晶电视的双臂旋转伸缩可悬挂支架也用到了四边形的不稳定性，调节幅度大，可上下左右及前后多方向的不稳定性，调节幅度大，可上下左右及前后多方向调节满足客户观看需要，如下图：调节满足客户观看需要，如下图：中考中考 试题试题例例1 若
14、一个正多边形的一个外角是若一个正多边形的一个外角是40，则这，则这个正多边形的边数是个正多边形的边数是 （ ） A. 10 B.9 C.8 D.6解析解析 根据任意多边形的外角和均为根据任意多边形的外角和均为360及及正多边形各外角度数都相等知正多边形各外角度数都相等知360 40= 9. 故选故选B.B中考中考 试题试题例例2 某多边形的内角和是其外角和的某多边形的内角和是其外角和的3倍，倍，则此多边形的边数是则此多边形的边数是 （ ） A. 5 B.6 C.7 D.8解析解析 设边数为设边数为n，则则 ( (n- -2) ) 180= 3360， n=8，故选故选D.D中考中考 试题试题例例3 当多边形的边数增加当多边形的边数增加1时，它的内角和与外时，它的内角和与外角和角和 （ ）A. 都不变都不变.B. 内角和增加内角和增加180，外角和不变，外角和不变 C. 内角和增加内角和增加180，外角和减少，外角和减少180. D. 都增加都增加180.解析解析 多边形的外角和为多边形的外角和为360与边数无关，与边数无关，由内角和公式由内角和公式( (n- -2) )180得得n增加增加1，内角和，内角和增加增加180，故选，故选 B.B结结 束束
