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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶高阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程第七节第七节一一、通通解的结构解的结构 三、三、常系数齐次常系数齐次线性线性微分微分方程方程 二二、通通解的解的求法求法n阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为其中 为x的已知函数.当当f(x)0时，称此方程为时，称此方程为n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程；否则否则称为称为n阶非齐次线性微分方程阶非齐次线性微分方程；主要讨论主要讨论2阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程证毕证毕一一、齐次线性方程、齐次线性方程通通解的结构解的结构是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是
2、该方程的解.证证:代入方程左边代入方程左边, 得得(叠加原理叠加原理) 定理定理7.1机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义7.1是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关
3、, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如， 在在( , )上都上都有有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，若在某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为必需全为 0 ,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使( 无妨设无妨设线性无关线性无关常数常
4、数思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0, 则则必线性必线性相关相关(证明略证明略)线性无关线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 7.2是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 则则数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为(自证自证) 推论推论. 是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、通通解的解的求法求法是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程的的一个非零一个非零解解, 可设此
5、方程还有解可设此方程还有解其中其中u(x)为待定的函数为待定的函数(不恒等于常数不恒等于常数). 将将y2(x)带入方带入方程程1.置换法置换法 若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于由于y1(x)是此方程的解，从而有是此方程的解，从而有若令若令 则则用分离变量法可求得用分离变量法可求得v(x)， 再求再求u(x)，从而能得原方程，从而能得原方程的另一个解的另一个解y2(x). 由于这两个解线性无关，原方程的通由于这两个解线性无关，原方程的通解为解为例例7.1 已知函数已知函数 是是的解，求此方程的通解的解，求此方程的通解.解：解： 令令 是所给方程的另一个解，带入是所给方程的另一个解，
6、带入方程得方程得分离变量后再积分得分离变量后再积分得其中其中C为任意常数为任意常数.由于只需求另一个解，不妨取由于只需求另一个解，不妨取C=1, 即即其中其中C1,C2为任意常数为任意常数.2. 幂级数法幂级数法 定理定理7.3 则在则在R x R 内方程内方程必有幂级数解必有幂级数解: 设设 P(x), Q(x) 在在(R, R )内可展成内可展成 x 的幂级数的幂级数, (证明略证明略)此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多很多重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.机动 目录 上页 下页 返回
7、 结束 例例7.2 求方程求方程的通解的通解.解：解：在此方程中在此方程中 它们在它们在x=0处可展处可展成幂级数，有定理成幂级数，有定理7.3知所给方程有如下幂级数解知所给方程有如下幂级数解带入原方程得带入原方程得带入原方程得所给方程的通解带入原方程得所给方程的通解.三三. .常系数常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代
8、入得得称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1. 当当时时, 有两个相异实根有两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为( r 为待定常数为待定常数 ),所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 当当时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:是特征方程的重根是特征方程的重根取取 u = x , 则得则得因此原方程的通解为因此原方程的通解为机动 目录 上
9、页 下页 返回 结束 3. 当当时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.3 求方程求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为例例7.4 求解初值
10、问题求解初值问题解解: 特征方程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.5 求方程求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.6 (单摆运动单摆运动) 有一个质量为有一个质量为m的小球，用长为的小球，用长为l的细的细机动 目录 上页 下页 返回 结束 线把它悬挂在某固定点线把它悬挂在某固定点O. 它在重力作用下，在垂直于地它在重力作用下，在垂直于地面的平面内，沿一圆弧往复
11、摆动面的平面内，沿一圆弧往复摆动. 若忽略空气阻力，试求若忽略空气阻力，试求摆球微小摆动时的运动规律摆球微小摆动时的运动规律.解解：取点：取点O为极点，摆线的平衡位置所在的铅垂线为极点，摆线的平衡位置所在的铅垂线OA为为极轴，摆线与极轴的夹角为极轴，摆线与极轴的夹角为，且规定逆时针方向为正，且规定逆时针方向为正，如图建立极坐标系如图建立极坐标系.设摆线长度不变，摆球在时刻设摆线长度不变，摆球在时刻t的位置为的位置为(t). 当摆球沿圆弧运动时，它相对平衡当摆球沿圆弧运动时，它相对平衡位置位置A的位移为的位移为s=l, 它的切向速度它的切向速度，切向加速度为，切向加速度为使摆球沿圆弧运动的力是作
12、用在摆球上的重力使摆球沿圆弧运动的力是作用在摆球上的重力mg在切在切线方方向上的分量线方方向上的分量f，因，因f总使摆球向平衡位置总使摆球向平衡位置A运动，运动，机动 目录 上页 下页 返回 结束 即当夹角即当夹角为正时，向为正时，向减小的方向运动；当夹角减小的方向运动；当夹角为负为负时，向时，向增加的方向运动，所以增加的方向运动，所以由于不计空气阻力，由牛顿第二定律得由于不计空气阻力，由牛顿第二定律得这是二阶非线性微分方程这是二阶非线性微分方程. 但当研究摆但当研究摆球的微小摆动时，即当球的微小摆动时，即当较小时，由于较小时，由于 故方程可近似地表示为故方程可近似地表示为机动 目录 上页 下
13、页 返回 结束 这是二阶常系数齐次线性微分方程这是二阶常系数齐次线性微分方程. 设摆球的初始位置设摆球的初始位置和初始角速度为和初始角速度为特征方程为特征方程为特征根为特征根为于是通解为于是通解为利用初始条件解得利用初始条件解得若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项特征方程特征方程: 推广推广:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7 求方程求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为机动 目录 上页 下
14、页 返回 结束 其中其中C1,C2,C3为任意常数为任意常数.的通解.例例7.8 求方程求方程解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为其中其中C1,C2,C3,C4,C5为任意常数为任意常数.例例7.9解解: 特征方程特征方程:特征根为特征根为则方程通解则方程通解 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.的通解. 解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程通解为因此原方程通解为例例.解解: 特征方程特征方程:特征根特征根 :原方程通解原方程通解:(不难看出不难看出, 原方程有特解原方程有特解推广 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题为特解的为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为因此特征方程为即即故所求方程为故所求方程为其通解为其通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 作业： 习题7.7(A)2(1), 3(1)(4), 4(4).
