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1、第十章第十章 排列、组合、排列、组合、二项式定理和概率二项式定理和概率第 讲（第一课时）（第一课时）考考点搜索点搜索二项式定理，二项展开式及其通项公式二项式定理，二项展开式及其通项公式二项式系数及其性质二项式系数及其性质高高考猜想考猜想1.1.利用通项公式解决二项展开式中的项与系数问题利用通项公式解决二项展开式中的项与系数问题. .2.2.利用二项式定理求近似值、求余数、证明不等式等利用二项式定理求近似值、求余数、证明不等式等. .1.对于nN*，(a+b)n=_，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a+b)n的_.2.二项展开式中各项的系数 (r=0，1，2，n)叫做_
2、；二项展开式的第r+1项叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，Tr+1=_.3.与首末两端_的两个二项式系数相等.二项展开式二项展开式二项式系数二项式系数等距离等距离4.二项式系数的前半部分是_，后半部分是_，且在中间取得_.5.当n为偶数时，二项展开式的项数为奇数，正中间一项的二项式系数是_；当n为奇数时，二项展开式的项数为偶数，正中间两项的二项式系数是_.6. _； _(所有偶数项的二项式系数之和等于所有奇数项的二项式系数之和).递增的递增的递减的递减的最大值最大值2n2n-11. 的展开式中的常数项是( ) A. 14 B. -14 C. 42 D. -42解：设 的展开式中的第r+1项
3、为 ，当 ，即r=6时，它为常数项，所以常数项为 .A2.已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|等于()A.29B.49C.39D.1解：x的奇数次方的系数都是负值，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a3+-a9.所以已知条件中只需令x=-1即可.故选B.B3.已知 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是 _.解：因为 的展开式中各项系数和为128，所以令x=1，即得所有项系数和为2n=128，所以n=7.设该二项展开式中的第r+1项为 ，令 ,即r=3时，x5项的系数为 =35.35题型题型1
4、 求二项展开式中的项求二项展开式中的项已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是143，求展开式中的常数项.解:依题意有=143,化简得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不符合题意,舍去).设该展开式中第r+1项为所求的项，则.令, 得r=2.故展开式中的常数项为第三项,且.2. (1)求(1+2x-x2)(1-x)10的展开式中x4的系数. (2)求(1+x)+(1+x)2+(1+x)15的展开式中x3的系数. 解：(1)因为(1-x)10展开式中x4，x3，x2的系数分别为 ，所以展开式中合并同类项后x4的系数是 . 题型题型2 求二项展开式中指定项的系数求二项展
5、开式中指定项的系数 (2)原式= .因为(1+x)16的二项展开式中x4的系数是 =1820，所以原式的展开式中x3的系数是1820.点评:多个二项式运算结果中的指定项的系数求解问题,涉及到多个项的搭配,在配凑过程中,一是注意不要遗漏某些对应项,如第(1)问中的第一个式子中的常数项、一次项、二次项分别对应第二个式子中的四次项、三次项、二次项;二是注意一些公式的转化变形;如第(2)问中的多个求和式子可利用求和公式将其转化.求 的展开式中的常数项.解法1： .得到常数项的情况有：三个括号中全取-2，得(-2)3；一个括号中取|x|，一个括号中取 , 一个括号中取-2，得 ，所以展开式中的常数项为(
6、-2)3+(-12)=-20.解法2： .设第r+1项为常数项，则 令6-2r=0，得r=3.所以展开式中常数项为 .3. (1)求(1-3x)8的展开式中各项系数的绝对值之和. (2)求(1+2x)12(2-x)8的展开式中x的奇次幂的系数之和. 解:(1)设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+a8x8.其中a0, a2, a4, a6, a80, a1, a3, a5, a70.取x=-1，则|a0|+|a1|+|a2|+|a8|=a0-a1+a2- a3+a8 =(1+3)8=48.题型题型3 求展开式中的系数和求展开式中的系数和(2)因为(1+2x)12(2-x)8的展开式中x的最
7、高次幂为20,从而可设(1+2x)12(2-x)8=a0+a1x+a2x2+a20x20.取x=1, 则a0+a1+a2+a20=312. 取x=-1, 则a0-a1+a2-+a20=38. -, 得a1+a3+a5+a19=312-382=4038.故展开式中x的奇次幂的系数之和为4038.点评:求展开式中的系数和问题,一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a8x8，则a1+a2+a3+a8=_.解：令x=1，则a0+a
8、1+a2+a8=2+22+28=510.令x=0，则a0=8，所以a1+a2+a8=502.502(1)已知(1+2x)6的展开式中第2项大于它的相邻两项，求x的取值范围；(2)已知(1+x+mx2)10的展开式中x4的系数大于-330，求m的取值范围.题型题型 求二项式中参数的取值范围求二项式中参数的取值范围解：(1)因为 ，由已知 ，所以，即 ，解得 ，所以x的取值范围是( ).(2)因为 .由此可知,上式中只有第三、四、五项的展开式中含有x4项,其系数分别为： .由已知, -330.化简整理,得m2+8m+120,即(m+2)(m+6)0.所以m-2或m-6,故m的取值范围是 (-，-6
9、)(-2，+).1.展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数，解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析.2.二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念.一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a、b的取值有关，而二项式系数与a、b的取值无关.3.有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式求解，结合方程思想进行求值，通过解不等式求取值范围.4.求展开式中的系数和，一般通过对a、b适当赋值来求解；对求非二项式的展开式系数和，可先确定其展开式中的最高次数，按多项式形式设出其展开式，再赋值求系数和.
