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1、u 有限性有限性 每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即若设若设 ，则，则1.3 古典概型古典概型 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间即样本空间S是个有限集是个有限集u 等可能性等可能性一一. 古典概型：若随机试验满足如下两条件，则称其为古典概型：若随机试验满足如下两条件，则称其为古典概型（或等可能概型）古典概型（或等可能概型）。 设试验的样本空间设试验的样本空间S共有共有n个等可能的样本点个等可能的样本点1，2，.，n ，而随机事件包含其，而随机事件包含其S中的中的k个基本事
2、个基本事件，则随机事件件，则随机事件A的概率可以定义为的概率可以定义为概率的古典定义概率的古典定义:u 确定试验的样本空间所包含的基本事件数（样本点数）确定试验的样本空间所包含的基本事件数（样本点数）u 确定事件确定事件A包含的基本事件数（样本点数）包含的基本事件数（样本点数）计算步骤：计算步骤：例例2一个袋子中装有一个袋子中装有 10 个大小相同的球个大小相同的球, , 其中其中 3个黑球个黑球, ,7 个白球个白球, , 求以下概率求以下概率: :(1) 从袋子中任取两球从袋子中任取两球, ,(2) 从袋子中任取两球从袋子中任取两球, , 两个都是黑球。两个都是黑球。刚好一个白球一个黑球。
3、刚好一个白球一个黑球。解解(1) 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有种种, , 其中其中刚好一个白球刚好一个白球, , 一个黑球的取法有一个黑球的取法有种种取法取法, ,记记为为好好取到一个白球一个黑球取到一个白球一个黑球”, ,事件事件“刚刚则则例例2一个袋子中装有一个袋子中装有 10 个大小相同的球个大小相同的球, , 其中其中 3个黑球个黑球, ,7 个白球个白球, , 求以下概率求以下概率: :解解(2) 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有种种, ,两个两个球均是球均是黑球的取法有黑球的取法有种种, ,则则事件事件“两个球均为黑球两个球均为黑球”记记为事
4、件为事件(2) 从袋子中任取两球从袋子中任取两球, , 两个都是黑球。两个都是黑球。例例3求下列各事件的概率求下列各事件的概率: :将标号为将标号为1, ,2, ,3, ,4的四个球的四个球(1)(3)(4)(2)各球自左至右或自右至左各球自左至右或自右至左顺序顺序; ;第第1号球号球排在最右边或最左边排在最右边或最左边; ;第第1号球与第号球与第2号球相邻号球相邻; ;第第1号球排在第号球排在第2号球的右边号球的右边(不一定相邻不一定相邻). .解解 将将4个球随意地排成一行有个球随意地排成一行有4!=24种种排法排法, ,基本事件总数为基本事件总数为 24. . 记记 (1), , (2)
5、, , (3), ,(4) 的事件的事件别为别为即即随意地排成一行随意地排成一行, ,1, ,2, ,3, ,4的的恰好排成恰好排成分分(2)(1)中中有两种排法有两种排法, , 故有故有中有中有种排法种排法, , 故有故有(3) 先将第先将第1, ,2号球排在一起看成一个球号球排在一起看成一个球, ,再与其他两再与其他两个球排队，共有个球排队，共有种排法种排法, ,故故(1)(3)(4)(2)各球自左至右或自右至左各球自左至右或自右至左顺序顺序; ;第第1号球号球排在最右边或最左边排在最右边或最左边; ;第第1号球与第号球与第2号球相邻号球相邻; ;第第1号球排在第号球排在第2号球的右边号球
6、的右边(不一定相邻不一定相邻). .1, ,2, ,3, ,4的的恰好排成恰好排成解解(4) 第第1号球排在第号球排在第2号球的右边的每一种排法号球的右边的每一种排法, ,换第换第1号球和第号球和第2号球的位置便对应于第号球的位置便对应于第1号球排在号球排在交交第第2号球的左边的一种排法号球的左边的一种排法, , 反之亦然反之亦然. . 因而第因而第1号号球排在第球排在第2号球的右边与第号球的右边与第1号球排在第号球排在第2号球的左号球的左边的排法种数相同边的排法种数相同, ,各占总排法数的各占总排法数的故有故有例例4将将 3 个个球球随即放入随即放入 4 个杯子中个杯子中, , 问杯子中问杯
7、子中的个数最多为的个数最多为1, ,2, ,3的的概率各是多少概率各是多少?解解设设分别表示分别表示1, ,2, ,3的的事件事件. . 我们认为球是可以区分的我们认为球是可以区分的, , 于是于是, ,球过程的所有可能结果数为球过程的所有可能结果数为(1)所含的基本事件数所含的基本事件数: : 即即是从是从 4 个杯子中任选个杯子中任选3个杯子个杯子, 每个杯子放入一个球每个杯子放入一个球, , 杯子的选法有杯子的选法有种种, ,球的放法有球的放法有 3! 种种, , 故故放放球球杯子中的最多球数分别为杯子中的最多球数分别为(2)所含的基本事件数所含的基本事件数: : 由于杯子中的最多球由于
8、杯子中的最多球数是数是 3, , 即即 3 个球放在同一个杯子中个球放在同一个杯子中故故法法, ,共有共有 4 种放种放(3) 由于三个球放在由于三个球放在 4 个杯子中个杯子中为为显然显然且且互不相容互不相容, , 故故的各种可能放法的各种可能放法事件事件例例5在在 12000 的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数, ,到的整数既不能被到的整数既不能被 6 整除整除, ,问取问取又不能被又不能被 8 整除的概整除的概率是多少率是多少? ?解解设设为为为为件件“取到的数能被取到的数能被 8 整除整除”, ,则则所求概率为所求概率为由于由于故得故得由于由于故得故得事件事件“取到的数能被取
9、到的数能被 6 整除整除”, ,事事又由于一个数同时能被又由于一个数同时能被 6 与与 8 整除整除, , 就相当于能就相当于能因此因此, , 由由被被 24 整除整除, ,于是所求概率为于是所求概率为例例6解解一个袋子中装有一个袋子中装有个球个球 ,个白球个白球 , 随意地每次从中取出一球随意地每次从中取出一球(不放回不放回) ,各事件的概率各事件的概率 :因为所考虑的事件涉及到取球的次序因为所考虑的事件涉及到取球的次序 ,事件也应考察顺序事件也应考察顺序 ,(1)定其中一个后定其中一个后 ,其中其中个黑球个黑球 ,求下列求下列(1)第第次取得的是黑球次取得的是黑球 ;(2)第第 次才取到黑
10、球次才取到黑球 .所以基本所以基本次取球的总取法为次取球的总取法为记记(1),(2)中的事件分别为中的事件分别为个黑球中任意一个个黑球中任意一个 , 选选意选取意选取 ,其它各次取球必在其它各次取球必在个球中任个球中任共有共有种选法种选法 , 从而从而中包含的取中包含的取法有法有种种 ,次取到的黑球可以是次取到的黑球可以是第第例例6解解一个袋子中装有一个袋子中装有个球个球 ,个白球个白球 , 随意地每次从中取出一球随意地每次从中取出一球(不放回不放回) ,各事件的概率各事件的概率 :(1)定其中一个后定其中一个后 ,其中其中个黑球个黑球 ,求下列求下列(1)第第次取得的是黑球次取得的是黑球 ;
11、(2)第第 次才取到黑球次才取到黑球 .个黑球中任意一个个黑球中任意一个 , 选选意选取意选取 ,其它各次取球必在其它各次取球必在个球中任个球中任共有共有种选法种选法 , 从而从而中包含的取中包含的取法有法有种种 ,次取到的黑球可以是次取到的黑球可以是第第故故例例6解解一个袋子中装有一个袋子中装有个球个球 ,个白球个白球 , 随意地每次从中取出一球随意地每次从中取出一球(不放回不放回) ,各事件的概率各事件的概率 :其中其中个黑球个黑球 ,求下列求下列(2)第第 次才取到黑球次才取到黑球 .(2)一个一个 ,故故第第 次才取到的黑球可以是次才取到的黑球可以是个黑球中的任意个黑球中的任意第第 1
12、 到第到第是在是在个白球中任选个白球中任选个个(共共有有种取法种取法) , 其它各次在剩下的其它各次在剩下的个球中个球中任意选取任意选取(共有共有), 于是于是所含的总取法为所含的总取法为几何概型几何概型古典概型只考虑了古典概型只考虑了有限等可能结果有限等可能结果的随机试验模型的随机试验模型.下面我们进一步研究样本空间为一线段、平面区下面我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的域或空间立体等的何概型何概型.1. 设样本空间设样本空间S是平面上是平面上某个区域某个区域, 它的面积记它的面积记为为.2. 向区域向区域S上随机投掷一上随机投掷一点点, 这里这里“随机投掷一随机投掷一等可
13、能随机试验的概率模型等可能随机试验的概率模型几几几何概型几何概型点点”的含义是指的含义是指只与这区域面积成比例只与这区域面积成比例,而与这部分区域的位置和而与这部分区域的位置和形状无关形状无关.3. 设事件设事件A是是S的某个区域的某个区域, 它的面积为它的面积为则向则向区域区域S上随机投掷一点上随机投掷一点, 该点落在区域该点落在区域A的概率为的概率为几何概率几何概率( )*注注: 若样本空间若样本空间S为一线段或一空间立体为一线段或一空间立体,则向则向S“投投点点”的相应概率仍可用的相应概率仍可用( )*式来确定式来确定, 但但应理解应理解为长度或体积为长度或体积.该点落入该点落入S内任何
14、部分区域内的可能性内任何部分区域内的可能性例例 7解解某人午觉醒来某人午觉醒来,他打开收音机他打开收音机, ,想听电台报时想听电台报时, ,发觉表停了发觉表停了, ,设设电台每正点时报时一次电台每正点时报时一次, ,(她她) 等待时间短于等待时间短于 10 分钟的概率分钟的概率. .求他求他以分钟为单位以分钟为单位, , 记上一次报时时刻为记上一次报时时刻为0,下一下一次报时时刻为次报时时刻为 60, , 于是于是必在必在记记“等待时间短于等待时间短于 10 分钟分钟”为事件为事件则有则有于是于是这个人打开收音机的时间这个人打开收音机的时间例例8(会面问题会面问题)间在某地会面间在某地会面,
15、, 先到者等候另一人先到者等候另一人 20 分钟分钟, ,如果每个人如果每个人过时过时试计算二人能够会面的概率试计算二人能够会面的概率. .解解记记 7 点点为为计算时刻的计算时刻的 0 时时, , 以分钟单位以分钟单位, ,分别记甲、乙达到指定地点的时刻分别记甲、乙达到指定地点的时刻,则样本空间则样本空间以以表示事件表示事件“两人能会面两人能会面”, ,则显然有则显然有就离开就离开. .到达到达, ,为为甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 7 点到点到 8 点之点之可在指定的一小时内任意时可在指定的一小时内任意时解解样本空间为样本空间为以以表示事件表示事件“两人能会面两人能会面”, , 则显然有则显然有根据题意根据题意, , 这是一个几何概这是一个几何概于是于是型问题型问题, ,
