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1、3.3 频率抽样理论 时间(频率)函数抽样抽样 频率(时间)函数周期化周期化导 致对Z变换在单位圆上等间隔抽样即对 抽样，频率抽样点数为N N N N，则：的离散傅立叶级数 的主值序列，即由DFT和DFS的关系知， 是 以N为周期的周期延拓序列一，频域采样定理信号与系统-33频率抽样理论时域无混叠由N个 可以恢复得到X(z)若 MN时域混叠故： N M 为频率抽样（不失真）条件若 MN所以可见， 在单位圆上的N点等间隔采样采样 的IDFT是原序列 以N为周期的周期延拓周期延拓序列的主值序列。频域采样定理：如果序列长度为M， 表示在区间0，2上对 的N点等间隔采样.则只有当 时，才能由X(k)恢
2、复出 和 ，否则产生时域混叠现象。且信号与系统-33频率抽样理论二二 ， 内插函数内插函数通过内插函数恢复出 或频率抽样内插（恢复）设序列 长度为M，在频域02之间等间隔采样N点，内插函数其中内插公式（ 其中 ）信号与系统-33频率抽样理论1. 内插函数是连续函数 例如：N=4时，图示如右1k=0k=1k=2k=32. 相应的系数： 即样本值（原来的抽样点正好是插值点）把 代入其中小结：信号与系统-33频率抽样理论3.4 DFT的应用举例3.4.1 3.4.1 用用DFTDFT计算线性卷积计算线性卷积一，用一，用DFT计算循环卷积计算循环卷积如果L且由时域循环卷积定理有下图为用DFT计算循环卷
3、积的框图DFTDFTIDFTL信号与系统-33频率抽样理论二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件和 都是有限长序列，长度分别是N1和N2，线性卷积循环卷积N因为所以等于 以N为周期的周期延拓序列的主值序列N1+N21点N点只有当 时， 以N为周期进行周期延拓才无混叠现象此时取其主值序列满足结论：信号与系统-33频率抽样理论例： 0 1 2 3n123n 0 1 2 11线性卷积n 0 1 2 3 4 516353n -2 -1 0 11 0 1 2 3 n6453循环卷积n 0 1 2 3 4 16353循环卷积循环
4、卷积满足 的n 0 1 2 3 4 516353信号与系统-33频率抽样理论三三 ， 利用利用DFT求线性卷积和求线性卷积和实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用DFT计算就方便（尤其还有DFT的快速运算法:FFT）四，四， 当输入长序列信号时，如何利用当输入长序列信号时，如何利用DFT求系统的输出求系统的输出x (n)y (n)h (n)N点M点 若 输入序列x(n)的宽度N很大， 而h(n)的宽度不太大直接对整个长序列x(n) 作DFT的话，运算工作量很大（N很大） 为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。NDFTDFTIDFTN点N点N点点点补NN1个零补NN2个零
5、信号与系统-33频率抽样理论1, 重叠相加法L L L L L L L nM-1将x(n)的每个小段都延长M-1,并补以0M-1M-1卷积长度为L+M-1各段相加， 即为输出（包括交迭部分相加）假设将x(n)的宽度N均匀分成P段: N=PL， h(n)的长度是M信号与系统-33频率抽样理论重叠相加法步骤：重叠相加法步骤：1 将将x(n)分段，段长分段，段长M与与N近似：近似：2 将各分段数据将各分段数据xk(n)和和h(n)补零到补零到L=N+M-1点，点，即即xk(n)补补N-1点零，点零，h(n)补补M-1点零；点零；3 求各分段数据求各分段数据xk(n)的的DFT：Xk(k)；信号与系统
6、-33频率抽样理论4 将各分段数据的将各分段数据的DFTXk(k)与事先算好的系统脉冲与事先算好的系统脉冲响应响应h(n)的的DFTH(k)逐点相乘：逐点相乘：5 对对Yk(k)用用FFT求其求其IDFT，得到各分段数据的卷积：，得到各分段数据的卷积：6 将各个将各个yk(n)相加，相加，重叠部分逐点相加重叠部分逐点相加，即得到最终，即得到最终的卷积结果序列的卷积结果序列y(n)。信号与系统-33频率抽样理论M-1个补010L-132 0-M+1-1重叠相加法2, 重叠保留法L L L L L L nM-1每个小段延长M-1,补以下一小段起始数据M-1M-1卷积长度仍为L+M-1M-1M-1
7、除去每段输出起始的0,M-2部分后，各段衔接相加，即为输出1032 L-1k+1 x (n)起始的 M-1个重叠保留法信号与系统-33频率抽样理论v重叠保留法（重叠保留法（Overlap Save Method）在重叠相加法中若在实现快速卷积时在重叠相加法中若在实现快速卷积时各分段补零的部分各分段补零的部分不是补零，而是保存原序列中的数据不是补零，而是保存原序列中的数据，这样来求得卷积，这样来求得卷积的方法称为的方法称为“重叠保留法重叠保留法”。重叠保留法的处理过程为：重叠保留法的处理过程为： 1 先将先将x(n)分解成：分解成：其分段情况可如下图说明。其分段情况可如下图说明。信号与系统-33
8、频率抽样理论L-(N-1)L-1L-1L-1信号与系统-33频率抽样理论2 算出：算出： 3 抛弃抛弃yk(n)的前的前N-1个卷积混淆点，如后图所示；个卷积混淆点，如后图所示；4 将各个将各个yk(n)顺序连接起来，即得到最终的卷积结果序顺序连接起来，即得到最终的卷积结果序列列y(n)。信号与系统-33频率抽样理论L-1L-1L-1N-1信号与系统-33频率抽样理论3.4.2 用DFT对信号进行谱分析一，用一，用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析信号时间宽度与带宽的制约关系：若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则持续时间无限长。严格讲，持续时间有限的带限信号是不存
9、在的。严格讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。严格讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。严格讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。对于频谱很宽的信号预滤波使连续信号带宽小于折叠频率对持续时间很长的信号截取截取幅度很小的部分时间信号以下分析假设 是经过预滤波和截取处理的有限带限信号所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似近似的。分析过程：对 进行时域采样时域采样，得到 ，再对 进行DFT，得到的X(k)是x(n)的傅立叶变换 在频率区间0, 2上的N点等间隔采样采样。信号与系统-33频率抽样理论1、设连续 的持续时间为Tp，最高频率为fc，其傅立叶变换为对 以采样间隔T采样得其中 ,且满足
10、设共采样N N点，t(a)0 是f 的连续周期函数如右图b示如下图a示(b) T0 012 N1(c) NT用DFT计算连续信号频谱原理对 在0, fs上等间隔采样N N点，采样间隔为F如图c示则有Tp/2-Tp/2信号与系统-33频率抽样理论2、同样由推出连续信号的频谱特性，可以通过对连续信号的采样，并进行DFT再乘以T的近似方法得到。时域采样信号可由上式导出。栅栏效应栅栏效应：由 只能看到 在N个采样点上得离散值，而看不到其全部频谱特性，有可能漏掉较大的频率分量。如果 持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理截断处理，会产生频率混叠和泄漏泄漏现象，使谱分析产生误差。3、下面讨论上述问题产生
11、的原因及改进措施。信号与系统-33频率抽样理论理想低通滤波器的单位冲激响应 及其频率响应函数 分别如下图示-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Tp1t1H(k)k0 1 2 3 45 10 15假设采样间隔即采样点数频域采样间隔其中分析H(k)为减少截断误差，可适当加长Tp，增加采样点数N，或用窗函数处理后再进行DFT。信号与系统-33频率抽样理论谱分析范围受采样频率fs限制，常取0 fs/2 或 -fs/2fs/2频率分辨率F表征谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔，显然F越小 ，谱分析性能越好。使用DFT时,在频率轴上所能得到的最小频率间隔。用DFT对连续信号谱分析的参数选择原则
12、参数选择原则：为提高谱分辨率，又不减少谱分析范围，必须增长记录时间，增加采样点数。（1）确定谱分辨率N不变，F ，fs ，谱分析范围fs不变，F ，N ，TpNT Tp，混叠效应解决:fs(35)fh 预滤波截断效应（2）选定F后，进一步确定作DFT所需点数N， 常取2的整数幂（3）由F与N确定所需模拟信号的长度补零不能提高频率分辨率，它的优点:（1）利于FFT（2）可以克服栅栏效应，使谱外观得到平滑，还可以消除频域泄漏现象信号与系统-33频率抽样理论二，用二，用DFT对序列进行谱分析对序列进行谱分析1、对周期为N的序列 ，其频谱函数为是以N为周期的离散谱，每个周期有N条谱线，第k条谱线位于处
13、，代表 的第k次谐波分量。所以可用 表示 的频谱结构. 序列的傅立叶变换可利用DFT（FFT）来计算。只要截取长度M等于 的整数个周期进行DFT，即MmN，就可以分析信号与系统-33频率抽样理论令r = 0，1，m1； 0，1，N1，当k=rm时，当为其它时，可见， 也可以表示 的频谱结构，信号与系统-33频率抽样理论信号与系统-33频率抽样理论利用利用DFT对序列进行谱分析对序列进行谱分析序列序列x(n)的频谱（付氏变换）就是序列在单位圆上的的频谱（付氏变换）就是序列在单位圆上的Z变换变换 ，它是关于，它是关于 的连续周期函数。的连续周期函数。对以对以N为周期的周期序列为周期的周期序列 求其
14、求其DFS，以所求出的，以所求出的DFS系系数作为各谱谐波分量幅度形成其频谱函数：数作为各谱谐波分量幅度形成其频谱函数：对对N点有限长序列点有限长序列x(n)做做N点点DFT变换，由变换，由DFT的物理意义的物理意义知，知，X(k)是其频谱是其频谱 在区间在区间0，2 上的上的N点等间隔取点等间隔取样，由频域取样定理知，样，由频域取样定理知，X(k)包含包含 全部信息。因此求全部信息。因此求得了得了x(n)的的DFT就可由它分析频谱了。就可由它分析频谱了。 仍为以仍为以2 为周期的周期函数。为周期的周期函数。截取截取 的整数个周期做的整数个周期做DFT，也能获得，也能获得 的频谱。的频谱。信号
15、与系统-33频率抽样理论利用DFT进行谱分析的误差对模拟信号利用对模拟信号利用DFT进行谱分析，必须时域采样，采样进行谱分析，必须时域采样，采样应满足采样定理，否则在高频段（即应满足采样定理，否则在高频段（即 或或f=fs/2附近）附近）会发生频谱混叠现象会发生频谱混叠现象。用较大的采样频率（用较大的采样频率（fs=(35)fh）对模拟信号采样，以尽）对模拟信号采样，以尽可能减小频谱混叠的影响。可能减小频谱混叠的影响。在采样前对模拟信号进行限带滤波，滤除带外谐波和噪声；在采样前对模拟信号进行限带滤波，滤除带外谐波和噪声；为了避免或减小混叠现象，应注意：为了避免或减小混叠现象，应注意：混叠现象混
16、叠现象信号与系统-33频率抽样理论栅栏效应栅栏效应利用利用DFT分析信号频谱，是从信号频谱的分析信号频谱，是从信号频谱的N点采样值分析点采样值分析研究频谱特性的，这就好象通过有研究频谱特性的，这就好象通过有N+1个栅栏的个栅栏的N个栏缝个栏缝来观察信号频谱，仅看到通过来观察信号频谱，仅看到通过N个栏缝看到的频谱值，有个栏缝看到的频谱值，有可能漏掉一些重要频谱值，这种现象称为可能漏掉一些重要频谱值，这种现象称为“栅栏效应栅栏效应”。改善栅栏效应改善栅栏效应的措施是的措施是增加频谱采样点数增加频谱采样点数，即在时域通过，即在时域通过在序列末尾补零的方法增加在序列末尾补零的方法增加DFT的采样点数，
17、提高频谱分的采样点数，提高频谱分辨率。辨率。截断效应截断效应在实际应用中，信号序列可能是充分长（或无限长），在实际应用中，信号序列可能是充分长（或无限长），而在用而在用DFT进行谱分析时，由于各种条件的原因，有时进行谱分析时，由于各种条件的原因，有时需要对序列截短，利用截短序列求得的频谱与原信号频需要对序列截短，利用截短序列求得的频谱与原信号频谱肯定具有误差，由截短引起的误差称为谱肯定具有误差，由截短引起的误差称为截断效应截断效应。信号与系统-33频率抽样理论截断效应分析截断效应分析设某无限长序列设某无限长序列x(n)的频谱为的频谱为 ，N点门函数点门函数RN(n) 的频谱为：的频谱为：信号与
18、系统-33频率抽样理论按截断的思路，截短信号序列可表为：按截断的思路，截短信号序列可表为：这样，截短序列的频谱，按卷积定理可得：这样，截短序列的频谱，按卷积定理可得：显见在上式中，要截断无误差（即显见在上式中，要截断无误差（即），则只有：），则只有：亦即用无限宽的矩形窗函数取截断。亦即用无限宽的矩形窗函数取截断。截断效应的主要影响截断效应的主要影响泄漏泄漏：信号频谱从其所占有的频段向其它频段展宽的现：信号频谱从其所占有的频段向其它频段展宽的现象称为泄漏。象称为泄漏。从而的结论：从而的结论：只要对序列截断，则一定存在截断效应只要对序列截断，则一定存在截断效应。信号与系统-33频率抽样理论例如，例
19、如，x(n)=cos(n /4)，易得其频谱为：，易得其频谱为：信号与系统-33频率抽样理论经截断后，使原来的离散线谱向附近区域展宽。经截断后，使原来的离散线谱向附近区域展宽。泄漏使泄漏使信号频谱变模糊，使谱分辨率降低信号频谱变模糊，使谱分辨率降低。谱间干扰谱间干扰：一般而言，频谱主要能量所占频率范围称为：一般而言，频谱主要能量所占频率范围称为频谱的频谱的主瓣主瓣，除此外，其它频率范围的频谱形成，除此外，其它频率范围的频谱形成旁瓣旁瓣。由于截断窗函数旁瓣的影响（通过卷积），使得信号频由于截断窗函数旁瓣的影响（通过卷积），使得信号频谱不同分量间形成干扰，称作谱不同分量间形成干扰，称作谱间干扰谱间
20、干扰。谱间干扰可能。谱间干扰可能造成谱的假峰或淹没谱的小峰，使频谱分析造成误差。造成谱的假峰或淹没谱的小峰，使频谱分析造成误差。信号与系统-33频率抽样理论3 但是但是在在N一定条件下，旁瓣越小，其窗函数主瓣就越一定条件下，旁瓣越小，其窗函数主瓣就越宽宽。即只能通过降低谱分辨率为代价，换取减小谱间干。即只能通过降低谱分辨率为代价，换取减小谱间干扰。扰。1 增大增大N可使窗函数主瓣变窄，提高频谱分辨率；可使窗函数主瓣变窄，提高频谱分辨率；减小截断效应影响的措施减小截断效应影响的措施2 增大增大N对旁瓣无影响，为了减小谱间干扰，应选择其它对旁瓣无影响，为了减小谱间干扰，应选择其它旁瓣小而少的非矩形
21、窗函数来截断。旁瓣小而少的非矩形窗函数来截断。信号与系统-33频率抽样理论ChirpZ变换*频域分辨率取决于频域分辨率取决于N，分辨率与计算量是一对矛盾；，分辨率与计算量是一对矛盾；*频域频域N点是均匀的，具有相同的分辨率。在有些应用点是均匀的，具有相同的分辨率。在有些应用中，可能要求一段频谱分辨率高，另一些频率范围要中，可能要求一段频谱分辨率高，另一些频率范围要求低，求低，DFT很难适应；很难适应；*输入与输出点数相同，灵活性低；输入与输出点数相同，灵活性低；*DFT在整个谱中计算，有时是无必要的；在整个谱中计算，有时是无必要的；DFT局限：局限：*DFT在单位圆上计算取样，而有的应用需要在
22、在单位圆上计算取样，而有的应用需要在Z平面平面的其它区域取样分析。的其它区域取样分析。信号与系统-33频率抽样理论CZT的定义的定义 若希望若希望z可从任意点开始以螺旋线规律变化，可设：可从任意点开始以螺旋线规律变化，可设：式中，复变量式中，复变量z由极坐标可写作由极坐标可写作Chirp-Z变换由雷达信号处理引入，在雷达中称变换由雷达信号处理引入，在雷达中称“线性调频线性调频信号信号”为为Chirp信号，故称信号，故称Chirp-Z变换变换，简写，简写CZT。N点序列点序列x(n)的的Z变换定义：变换定义： 信号与系统-33频率抽样理论式中，式中，A0，W0为任意实数，为任意实数， 为起始角，
23、为起始角， 为在为在Z平面上相邻平面上相邻的的zk（即（即zk与与zk1，k=0,1,2,.）之间的夹角。）之间的夹角。A决定决定CZT的起始位置，的起始位置，W决定决定z域样点曲线的曲率。域样点曲线的曲率。于是，于是， N点序列点序列x(n)的的CZT定义为：定义为：与与DFT不同，不同，N点点x(n)的的CZT是是M个频域点。它是分布在一个频域点。它是分布在一段螺旋线上的频域点。段螺旋线上的频域点。CZT定义中各参数的意义可由图定义中各参数的意义可由图3.4.8说明。说明。信号与系统-33频率抽样理论信号与系统-33频率抽样理论CZT可与线性系统联系起来，可由线性滤波来计算可与线性系统联系
24、起来，可由线性滤波来计算CZT。由由CZT的定义可写作：的定义可写作：CZT的线性滤波计算方案的线性滤波计算方案若令若令并代入上式，则有：并代入上式，则有：信号与系统-33频率抽样理论式中式中由此易见，由此易见，CZT可由图可由图3.4.9所示系统实现计算。所示系统实现计算。信号与系统-33频率抽样理论CZT计算方法计算方法 计算步骤：计算步骤：4 对对h(n)循环移位并取循环移位并取 点，以便与点，以便与 对齐，即：对齐，即：3 确定输出点数确定输出点数M，选择，选择LN+M-1，而且，而且L应适合作应适合作FFT运算，有运算，有2 x(n)与与 相乘，得相乘，得y(n),n=0,1,.,N
25、-1 ；1 根据根据CZT分析初始点和分析曲线曲率确定分析初始点和分析曲线曲率确定A和和W；信号与系统-33频率抽样理论其移位情况可如下图示意：其移位情况可如下图示意：信号与系统-33频率抽样理论分别做分别做 和和 的的L点点FFT得得 和和 ，通常，通常，W预先确定，则预先确定，则 可先算好，无需实时可先算好，无需实时运算。运算。 求求 ， 为为L点序列。点序列。做做 的的IFFT得得v(n)，取，取v(n)的的n0，M-1M点。点。 变换变量，令变换变量，令v(n)=V(k)，计算，计算 ，k=0,1,M-1，求得，求得 。 信号与系统-33频率抽样理论CZT的优点1)N与与M无关，可以任意选取频域序列长度；无关，可以任意选取频域序列长度；2)可随意选定可随意选定 ，调整，调整 的分辨率；的分辨率；3)起始频率起始频率(z0)可以任意选定，即可考察任意一段频可以任意选定，即可考察任意一段频谱。谱。4)选选W01，CZT可适用于计算非单位园上频域点可适用于计算非单位园上频域点，W01，随着随着k增大分析曲线以步长增大分析曲线以步长 向内盘旋。向内盘旋。5) 当当A1，M=N， 时，时，zk均匀分布在均匀分布在Z平面的平面的单位圆上，此时单位圆上，此时的的CZT变换就是序列变换就是序列的的DFT。亦即亦即，DFT是是CZT的特例。的特例。信号与系统-33频率抽样理论
