最新弹塑性力学ppt精简版本PPT课件

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1、弹塑性力学弹塑性力学ppt_ppt_精简版本精简版本例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)Taylor和Quinneyz实验于1931年在薄壁圆筒受拉力T和扭转M联合作用下进行了实验。在这种情况下，应力状态是Tresca屈服条件为Mises屈服条件为例：有一圆形截面的均匀直杆,处于弯扭符合应力状态,起简单拉伸时的屈服应力为300MPa,设弯矩为M=10KN.m,扭矩Mi=30KN.m,要求安全系数为1.2,则直径d为多少才不屈服?(书66页)MMiMMi解:处于弯扭作用下,杆内主应力为其中(1)由最大剪应力条件(特雷斯卡)给出(2)

2、由最大畸变能条件(米泽斯)给出并考虑安全系数例.一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列三种情况：（1）管的两端是自由的；（2）管的两端是封闭的；分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）解：将Mises和Tresca中的材料常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示，并使得两种屈服条件重合，则有Mises屈服条件: J2=s2Tresca屈服条件:13=2s （1） 管的两端是自由的；管的两端是自由的； 应力状态为，应力状态为， z = 0， = pR/t， r=0， zr= r = z=0 J2 = ( zr)2+( r

3、 )2+( z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t对于对于Mises屈服条件屈服条件: 对于对于Tresca屈服条件屈服条件: 13 =k1=2 s p=2st/R222= s2 =kJ （2）管段的两端是封闭的；）管段的两端是封闭的；应力状态为，z=pR/2t，=pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2=(zr)2+(r)2+(z)2+6()=(pR/t)213=pR/t对于Mises屈服条件： p=2st/R对于Tresca屈服条件：p=2st/R补充补充: 加载、卸载准则加载、卸载准则Drucker稳定性条件稳定性条件：由于与外法线n同向，上式改

4、写成：只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。（4-12）（4-13）判断能否产生新的塑性变形，需判断：（1）是否在上。（2）是否指向的外部。加卸载准则加载：加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。指材料产生新的塑性变形的应力改变。卸载：卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。一一、理想材料的加卸载准则、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上，应力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。n加载卸载nlnm加载加载卸载对于Tresca屈服面：加载卸载进入塑性阶段

5、后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公设，（4.6.1）（4.6.2）给出了塑性应变增量与加载函数之间的关系。流动法则流动法则 （4.6.3）将（4.6.2）、（4.6.3）代入（4.6.1）得：增量形式的塑性本构关系增量形式的塑性本构关系：（4.6.4）三、理想塑性材料与Tresca条件相关连的流动法则与Mises条件相关连的流动法则相比，与Tresca条件相关连的流动法则有两个显著的特点：2、在Tresca六角柱的棱线上（在平面内，就是在正六边形的角点上），不存在唯一的外法线。ABC1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面内，就是在正六边形的直边

6、上），给出沿外法向的 并不能就此确定S，因为同一个屈服平面上的任一点都具有相同的外法向。实际上，角点可以看成是一段光滑曲线无限缩小的极端情况，因此角点的法线不唯一，而可为上述夹角范围内的任一方向。考察图5-11中的角点B。它的两侧面，AB面和BC面的方程分别为：对AB面同理，对BC面有角点B处的塑性应变增量可以AB面和BC面上的塑性应变增量的线性组合得到。 ABC其中123讨论讨论:平衡方程为平衡方程为:几何关系为几何关系为:本构方程为本构方程为:弹性解弹性解: 当当P足够小时足够小时,三杆均处于弹三杆均处于弹性状态性状态,应力与应变成比例应力与应变成比例.由于由于故故因为因为所以所以杆杆1最

7、先到达塑性状态最先到达塑性状态,当当于是桁架开始出现塑性变形的载荷为于是桁架开始出现塑性变形的载荷为P1称为弹性极限载荷称为弹性极限载荷弹塑性解弹塑性解:由基本方程可得由基本方程可得当当桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为塑性解塑性解:由基本方程可得由基本方程可得在在P由零逐渐增加（单调加载）的由零逐渐增加（单调加载）的过程中，桁架变形可以分为三个不过程中，桁架变形可以分为三个不同的阶段同的阶段在弹塑性阶段，杆虽然进入塑性状态，但由于其在弹塑性阶段，杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，杆的塑性变形受到限制，余两杆仍处于弹性阶段，杆的塑性变形受到限制

8、，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段在塑性阶段，三杆段可称为约束的塑性变形阶段在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量级都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量级一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段会有这样三个变形的阶段例一薄壁圆管同时受拉例一薄壁圆管同时受拉,扭和内压作用，有应力分量扭和内压作用，有应力分量泊松比求：泊松比求：（）当应力分量之间保持比例从零开（）当应力分量之间保持比例从零开始加载，问多大时开始进入屈服？始加载

9、，问多大时开始进入屈服？（）开始屈服后，继续给以应力增量，满足（）开始屈服后，继续给以应力增量，满足及求对应的及值及求对应的及值分别对分别对Mises和和Tresca两种屈服条件进行分析两种屈服条件进行分析Mises：屈服准则为屈服准则为代入上式得到代入上式得到屈服后，增量本构关系为：屈服后，增量本构关系为：Tresca：因为因为所以，屈服准则为：所以，屈服准则为：将其展开后得将其展开后得将该式微分，得将该式微分，得时达到屈服时达到屈服求解弹性力学问题的目的是确定物体内各点的应力场和位移目的是确定物体内各点的应力场和位移场场，因此弹性力学问题的提法必须是使定解问题是适定的，即问题有解、解是唯一

10、的和解是稳定的。 1.问题的提法问题的提法应强调的是，边界条件的个数应给得不多也不少时，才能得出正确解。如空间问题的应力边界条件，必须在边界上的每如空间问题的应力边界条件，必须在边界上的每一点给出三个应力边界条件一点给出三个应力边界条件，一旦多给了，则会找不到满足全部边界条件的解，如果少给了，就会有多个解满足所给的边界条件，因此不能判断那一个解是正确的。 弹性力学问题的基本方程虽然构成一个封闭方程组，但该方程组只有在与定解条件，即边界条件相符的解才是所需的正确解。因此，边界条件的重要性不容忽视边界条件的重要性不容忽视。PPt 精减版本 第五章 弹塑性力学问题的提法 由此可见，弹性力学的基本方程

11、组一般地反映物体内部的应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。 根据具体问题边界条件类型的不同，通常将其分为以下三类问题.第一类边值问题第一类边值问题在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力，应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用在微小面积上的非均布面力。第二类边值问题第二类边值问题给定物体力和在物体表面各点

12、的位移，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。 有时也可能给定的是边界上位移的导数(如转角)或应变。在静力问题中，给定的位移约束应能完全阻止物体的总体刚体运动。 第三类边值问题第三类边值问题在物体表面的一部分给定面力，其余部分给定位移，或在部分表面上给定外力和位移之间的关系，这如弹性支撑或弹性固定，求在这些条件下的应力场和位移场，称这类问题为混合边值问题。3.3逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法逆解法逆解法就是选取一组位移或应力的函数函数，由此求出应变与应力应变与应力，然后验证是否满足基本方程基本方程。不满足，则求出与之对应的边界上的位移或面力，再与实际边界条件比较。如果相同

13、或可认为相近，就可把所选取的解作为所要求的解。半逆解法半逆解法又叫凑合解法，就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分为已知，然后在基本方程和边界条件中，求另一部分。这样便得到了全部未知量。此外，尚有近似解法、数值解法等。简例简例1:lyzPPyxF设有如图所示的柱体,两端受集中力P作用,柱体表面为自由面. 求其应力场与位移场. (Page 93)lyzPP解解:1.确定体力和面力确定体力和面力在两端 z=0, z=l 处, 有外力作用, 其合力为P, 假定体力忽略不计, 柱体侧面的面力等于零.柱体侧面，有 l3=0,柱体侧面的边界条件为:yxF2.写出边界条件写出边界条件在两端,有l1=l2

14、=0, l3=1,假设正应力在端部均匀分布,则边界条件为:lyzPP3.选择解题方法选择解题方法选用应力法, 则未知 应力函数应力函数 应满足 平衡方程平衡方程 和 变形协调方程变形协调方程, 即选用 逆解法逆解法求解. 根据解的唯一性, 如果能给出一个既满足全部方程,又满足边界条件的解,则这个解就是本问题的唯一解.yxFlyzPP4.解边值问题解边值问题取其中 A 为常数, 代入yxF恒满足.由边界条件得出故有根据广义胡克定律广义胡克定律又同理可得如包含刚体位移, 给定5.校核校核将所得到结果代入 平衡方程平衡方程, 应变协调方程应变协调方程, 边界条件边界条件等公式.1.确定体力和面力确定

15、体力和面力2.写出边界条件写出边界条件3.选择解题方法选择解题方法4.解边值问题解边值问题5.校核校核解题步骤解题步骤:圣维南原理圣维南原理:认为分布于物体很很小小部部分分(表表面面或或体体积积)上上的载荷所引起的物体内的应力分布，在离载荷作用区域稍远的地方，基本上与该载荷的合力和合力矩(或静力等效载荷)所引起的应力相同，载荷的具体分布情况只影响载荷作用区域附近的应力分布。简例简例3:讨论矩形截面梁的弹塑性纯弯曲问题讨论矩形截面梁的弹塑性纯弯曲问题设截面高为h ,宽为 b ， 材料是理想弹塑性的梁，两端受到弯矩 M 作用。设梁梁无无论是是处于于弹性性状状态还是是塑塑性性状状态，材材料料力力学学

16、中中的的平平面面假假设仍仍成成立立，且且截截面面上上只只有有正正应力力作作用用，其其它它应力力分分量量都都为零零。对于于纯弯弯曲曲情情形形，可可以以证明明这两两个个假假定定在在圣圣维南南意意义下下是是精精确确成成立立的的。即即满足足平平衡衡方方程程、应变协调方程、方程、应力力应变关系和圣关系和圣难南南边界条件。界条件。取轴为中性轴，则由力的平衡关系可知，梁中正应力满足如下关系(5.4-1) 式(5.4-1)中的第二式表示轴向力等于零，正应力应为对称分布，因此表示弯矩的第一式方可写成后一形式。1)弹性阶段弹性阶段由平面假设 (5.4-2)式中分别为曲率和曲率半径。若规定挠度向下为正，则在小变形条

17、件下曲率与挠度的关系为当弯矩M从零开始增加，梁的截面先处于弹性阶段，则其应力为(5.4-3) 将式(5.4-3)代入式(5.4-1)中的第一式，得其中(5.4-4)从(5.4-4)式可知，弯矩 M 与曲率 k 呈线形关系，且将它代入式 (5.4-5)(5.4-5)式(5.4-5)与材料力学的结果完全一样，表明应力在梁的横截面呈线性分布，即与成比例，且随着弯矩的增加，梁的上下最外层最先达到屈服应力，对应的弯矩称为弹性极限弯矩，记为。由(5.4-5)式可得弹性极限弯矩性极限弯矩为(5.4-6)记梁处于弹性极限弯矩状态下的曲率为，则由(5.4-4)式得 (5.4-7)2）弹塑性阶段）弹塑性阶段当，梁

18、截面中外层纤维的应变继续增大，而应力值仍你持为塑性区逐渐向中性轴方向扩展，但整个截面尚未完全进入塑性，其应力分布如图(5.4c)所示， (a) (b) (c) (d) 图5.4梁横截面随弯矩增大的应力分布示意图设弹塑性交界面为，则各部分应力为： (5.4-8) 由于交界面处的应力为，即由上式可得相应的曲率与为(5.4-9)(5.4-9)显然，是的函数，其符号与相同。此时，截面上的弯矩为(5.4-10)(5.4-10)得 (5.4-11) 由式(5.4-10)可见，随着的增加， 将逐渐减小，最后 这时梁的整个截面的应力达到，如图所示，记此时的弯矩为并称为塑性极限弯矩塑性极限弯矩。 由式(5.4-

19、10)得塑性极限弯矩为 为截面形状系数。对于矩形截面采用类似的分析方法可求出其它对称截面梁的值。如工字梁截面，圆截面，薄壁圆管为(.-11) 由(5.4-11)的第一式可得弹塑性阶段的曲率为 屈服屈服阶段，但中间部分尚处在弹性阶段，根据平面假设的变形特性使塑性变形的大小受到了限制，即处于约束塑性变形阶段，且将随着梁的曲率而增大，这时梁的曲率完全由中曲率完全由中间的的弹性部分所控制性部分所控制。最后,梁的弯矩达到塑性极限塑性极限弯矩,即整个截面都处于塑性状塑性状态.需注意的是，当后，上下边的部分区域己进入塑性塑性习题5-1 用逆解法求解圆柱体的扭转问题根据材料力学的方法根据材料力学的方法, ,在

20、在圆拄体扭拄体扭转时, ,截面上截面上发生与半生与半径垂直且与点到径垂直且与点到圆心的距离成正比例的剪心的距离成正比例的剪应力力这里 表示单位长度的扭转角.将 向 Ox Ox 和 Oy Oy 轴方向分解,其中假设其余的应力分量全为零,则上面的解在体力为零时,是满足平衡微分方程的.现在校核是否在校核是否满足足边界条件界条件. .边界条件界条件( (侧面面).).在圆柱侧面上,有将应力代入上面,应力满足圆柱侧面上的边界条件.考察圆柱的两端, 在 z=l 处,边界条件变为:即: 如果他们也静力等效于扭矩M ,则应力分量静力上等效于扭矩 M M , 而其具体分布情况是不清楚的,因此,对应力分量,也只能

21、从放松的意义上要求它们满足z=Lz=L 这一端的边界条件, 根据题设条件,作用于z=Lz=L端面上的外力就是圆柱体扭装时的解事实上端面上的主矢投影主矢投影为:端面上的主矩主矩为:(1)取一次多项式取一次多项式对应的应力分量为这对应于无应力状态这对应于无应力状态,因此因此,在任何应力函数中增减一个在任何应力函数中增减一个x,y的一次的一次函数函数,并不会影响应力分量的值并不会影响应力分量的值.PPt 精减版 第六章 弹塑性平面问题 ppt习题(2)取二次多项式取二次多项式不论系数取何值,都满足双调和方程, 对应的应力分量为代表均匀应力状态. 且如果 ,则代表双向均匀拉伸; 如 则代表纯剪.(3)

22、取三次多项式取三次多项式不论系数取何值,都满足双调和方程, 这里只考虑 的情况作为示例, 对应的应力分量为:这是矩形截面梁纯弯曲的情况. 如果已知作用的矩形窄梁两端的弯矩M, 则由(4)取四次多项式取四次多项式要使它满足双调和方程, 各系数必须要满足一定的关系,代入双调和方程,得于是上述应力函数写成:这时候,式中的四个系数不论取何值, 都满足双调和方程. 特别的, 取则:对应的应力分量为这个应力状态由作用于矩形板边界上的以下三部分外力产生:(1) 在 边界上,受有均匀分布的剪应力 ;(2) 在 边界上,受有按抛物线分布的剪应力 ;(3) 在 边界上,受有按抛物线分布的剪应力 和静力上等效于弯矩

23、的正应力 .幻灯片 46(5)取五次多项式取五次多项式要使它满足双调和方程, 各系数必须要满足一定的关系,代入双调和方程,得因为该方程对所有的x, y均成立,故必有于是上述多项式变为:将 和 用其他的系数表示:此时, 式中的四个系数不论取何值,均满足双调和方程. 特别的,如果则对应的应力分量为:在矩形板的边界上,应力分布如图幻灯片 61q图6.4受均布荷重简支梁考虑用另外一种方法得到应力函数考虑用另外一种方法得到应力函数.材料力学中认为为零.这个不会满足弹性力学的全部方程,在梁的上表面，有按照材料力学方法求解,得到如下应力(a)例例:因此,要求应力满足弹性力学方程,将应力表达式(a)写成更普遍

24、的形式:于是有(b)由(b)的第一式积分,得这里的 和 均为 x 的任意函数. 将(c)代入式(b)的第二式,则有(c)这里的E为积分常数.代入式(c)后,得到(d)将这个应力函数代入双调和方程,发现不满足,这说明它不能取做应力函数. (d)现在在这个函数的基础上添加一个任意函数 ,并略去不影响应力的一次项 Ey , 于是有(e)以满足双调和方程为目标来选择函数 .将式(e)代入双调和方程,得到 所必须满足的方程. (这里假设 最多是x的三次函数.)(f)这个方程最简单的解为(g)将(g)代入(f)得到:(h)可以取掉式(h)变成:最后得到应力函数为:应力分量为:(i)考虑边界条件考虑边界条件

25、:(1) 上下两面:将边界条件应用到式(i)上,有:(j)(k)由(k)式可以看出,要使它们恒成立,只有(2) 端面容易验证第二个条件已经满足. 但第一个条件无法满足,因此,利用局部性原理,将边界条件放松,即已经满足得:应力分量为:比较第一种方法的结果3.3悬臂梁受均匀分布载荷作用悬臂梁受均匀分布载荷作用不计自重的悬臂梁受到均匀分布的载荷作用,也可以采用多项式的叠加求解, 现考虑另外一种方法.qOLyxyh/21h/2zO幻灯片 79弯曲应力 主要由弯矩产生的,剪应力 主要是由剪力Q产生的,而挤压应力 主要由载荷 q 产生的, 现因 q 为常数, 所以,可以假定,对于不同的 的分布相同,也就是

26、说, 仅仅是 y 的函数,即于是有:而这里的 和 是y的任意函数.这个应力函数必须满足双调和方程, 所以,代入双调和方程后,得(a)函数 , 和 必须满足这是 x 的二次方程,但是它有无穷个根(梁内所有的 x 都满足它), 因此, 方程的系数和自由项应该等于零,即根据前面两个方程,有根据第三个方程,有积分该式(b)(c)将式 (b), (c) 代入应力函数 (a),得因此得到应力分量为这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程.(d)边界条件为边界条件为:(f)(e)(g)根据边界条件(g)的第三式可得根据边界条件(e)和(f)可得将系数代入应力分量得幻灯片 75再由边界条件(g)的前面两式可得

27、代入应力分量,且有 可得这个应力表达式和材料力学结果比较, 可以发现剪应力与材料力学一样, 正应力 增加了一个修正项:类似的还可写出柱坐标系()下和球坐标系()下的平衡方程。 (1)柱坐标系下的平衡微分方方程(6.5-3)(2) 球坐标系下的平衡微分方方程(6.5-4)6.5 用极坐标表示的基本方程5.4应变协调方程应变协调方程采用类似推导直角坐标系应变协调方程的方法，不难从式(6.5-5)消除位移分量， 得出以应变分量表示的极坐标中的应变协调方程，即在直角坐标系中，当体力为常量或不计体力时，平面问题的协调方程式为注意到 (为不变量)，这样在极坐标系中，平面问题应力形式的协调方程式为(6.5-

28、9)式中为极坐标下的拉普拉斯算子，即(6.5-10)为了得到在极坐标系中，用应力函数表示的应变协调方程，可直接由直角坐标系应变协调方程经坐标变换得到。因为:注意，此处的应力函数既是和的函数，通过坐标变换，也是和的函数，它对和的一阶及二阶导数分别为(a)将式(a)相加后得幻灯片 120于是得极坐标系下的应变协调方程为(6.5-11)幻灯片 1225.6轴对称问题轴对称问题如果所研究的如果所研究的问题的物体和外的物体和外载荷均荷均对称于称于经过物体中心，且垂直于物体中心，且垂直于平面的轴线，此时，应力和位移均与无关，仅与有关，这类问题称为轴对称问题。因此，轴对称问题只有正应力和，而剪应力因对称性均

29、为零。 (1)应力函数与应力分量应力函数与应力分量;(2)轴对称问题的位移轴对称问题的位移.(1)应力函数与应力分量应力函数与应力分量将上式展开，并注意到仅是的函数，因此偏导数可用常导数代替，得(b)应力表达式(6.5-12)成为(6.5-13)根据轴对称问题的情况，应力函数与元关，所以式(6.5-11)可简化为 q幻灯片 118幻灯片 124方程式(a)是变系数常微分方程，如令，则，根据复合求导法则，则这方程可简化为常系数常微分方程，即上述方程的解为将代入上式可得(6.5-14)由 式，得应力分量的表达式对于平面物体，则在平面内必为各方向均匀受拉或均匀受压状态。如果原点如果原点处有孔，有孔，

30、则问题有各种解答，有各种解答，这将在以后将在以后讨论。由上式可知，如在坐标原点没有孔，常数和必须等于零，否则当时应力将变为无限大。因此，如在坐标原点没有孔，而且没有体积和力，唯一可能的应力对称分布是均为常数。(6.5-13)幻灯片 132幻灯片 134(2)轴对称问题的位移轴对称问题的位移当沿 方向没有约束时，则属平面应力问题。此时，将应力分量式(6.5-14)代入式(6.5-6)，并利用式 ，得(6.5-5)(c)对上式中的第一式直接积分可得(d)再由式(c)的第二式解出，并将(d)式代入后，有积分左式，得(e)将式(d)和式(e)代入式(c)中的第三式，并分离变量，则可得此方程左边为的函数

31、，而右边为的函数，因此两边必为同一常数，于有是(f)式(f)中的第一式经简单分析可得其通解为(g)将式(f)中的第二式先对求导一次，然后再积分求得(h)于是由式(f)的第二式和式(h)，可得(i)将式(g)(g)、(h)(h)、(i)(i)均代入和的表达式(e)(e)和(d)(d)中，则得(6.5-15)式中 可由可由应力力边界条件和位移界条件和位移边界条件确定。界条件确定。在应力轴对称时，如果约束条件也是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。即各点无环向位移()，即，仅有径向位移(6.5-16)对于平面应变问题，以上公式(6.5-15)和(6.5-16)也适用，仅需将式中的和分别用和即可。幻灯片

32、 132极坐标系下的双调和方程为有了基本方程,可以按下列步骤求解边值问题:(1) 确定体力和面力;(2) 确定边界条件:(3) 选择解题方法;(4) 解方程;(5) 校核(代回基本方程和边界条件).工程上一般把圆筒分为厚壁筒和薄壁筒。当外径与内径之比小于时可按薄壁圆筒进行分析，当大于1.2时则按厚壁圆筒进行分析。厚壁圆筒是弹塑性力学问题中最简单的问题之一，即应力和应变只与一个坐标有关，而且在塑性阶段考虑材料的不可压缩性后，可以得到封闭形式的解答，本节讨论的受内外压力作用的厚壁圆筒，属于这类问题。此外还有整球形容器等。6.6 厚壁筒的弹塑性解6.1弹性解弹性解设图6.11所示厚壁圆筒为理想弹塑性

33、材料，外径为2b，内径为2a，受到内压为 ，外压为作用。并设圆筒的长度比圆筒的直径来说足够大，以致可以认为离两端足够远处的应力和应变分布沿筒长方向没有差异。 应力和应变的分布对称于圆筒的中心轴线. 则每一点的位移将只有 r 方向的分量 u 和 z 方向的分量 w ,即 u, w 均与 无关.(a)将式(a)代入(6.5-14)式，显然后两个条件自然满足，而由前两式可得(b)(c)任一横截面变形后仍保持平曲(如图)。因而，应力与应变的分布对称于圆筒的中心轴线。显然这是一轴对称问题，则应力即为式 。式中的三个常数由边界条件确定，即(6.5-14)式(b)两个方程不能决定三个常数 ，补充的条件应从位

34、移方面去找，现从环向位移的表达式 中的第二式(6.5-15)(c)其中一项是多值的，但环向位移应是单值的，即要求。于是可知，必有，从而由(b)式可得(d)(6.6-1)幻灯片 135将(d)式代入 式和 式第一式，则得正应力分量和位移为(6.5-14)(6.5-15)如果厚壁圆筒两端自由，则，而任何横截面变形时保持为平面，因此这个问题属平面应力问题， 由上式可见，厚壁圆筒内任何一点的应力和之和为常值。常数，其位移由(6.5-16)式确定。当，即在筒内边缘，由(6.6-1)式，有(6.6-2)(6.6-3) 当，即在筒外边缘，由 式，有(6.6-1)(6.6-4)由式(6.6-4)可见，因 ，所

35、以周向受拉，径向受压，应力分布如图6.12所示。当厚壁圆筒仅受内压，此时因，所以 式简化为(6.6-1)根据特雷斯卡屈服条件特雷斯卡屈服条件，由(6.6-4)式可得内壁()处， 为，可求得弹性极限内压力 )达到最大值时，即 (6.6-5)显然，当时，由此可知，在无限空间物体内圆柱形孔洞受内压时(如压力隧道)，其壁表面开始屈服时的压力值与孔径无关。如果采用米采用米泽斯屈服条件式斯屈服条件式，注意到当两端全自由时，因 ,和由广义虎克定律有，则可得筒内边缘()开始屈服时，有6.2弹塑性解弹塑性解(6.6-6a)如取，则上式成为(6.6-6b)即按米泽斯屈服条件，弹性极限载荷为(6.6-7)按照特雷斯

36、卡屈服条件6.2弹塑性解弹塑性解由上面的分析可知，在厚壁圆筒无外侧压力()的情况下，当，处于弹性状态，而当且随着压力的的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍为弹性区。由于应力组合()的轴对性，塑性区与弹性区的分界面应为圆柱面。 时，在内壁出现塑性区，筒体处于弹塑性状态时，设筒体中弹塑性分界面半径为。为塑性区，如图6.13所示，即当图6.13弹性与塑性区域分界为弹性区。而当由于在塑性区内平衡方程仍然成立，当不计体力时，且因对称性，平衡方程式简化为采用特雷斯卡屈服条件，并代入上式可得(e)积分其中C为待定常数，由筒壁内边缘处的边界条件， 可得,代入(e)式后，得(f)当时，并记此处的径向应力为，

37、则由上式可得 (g)这样问题可化为内半径为()的圆筒受压力作用的弹性问题。 对于外层弹性区域来说，就是作用在该区域内侧的径向压力，因在处必须连续，故可由上式及(g)式消除，可得 (6.6-8)于是，由式(6.6-5) 有上式即为弹塑性交界面处应满足的方程，该式为超越方程，当给定时，可用数值方法求得值。 综上所述，塑性区()的应力分量为 (6.6-9)由式(6.6-9)的导出可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压有关，与弹性区的应力无关。而且在塑性区内，。以上结果说明，塑性区的应力分量和 的确定没有使用变形条件和本构关系，而直接由平衡方程和屈服条件由平衡方程和屈服条件获得。这种问题在塑性力学

38、中称为静定问题。静定问题的特点是平衡方程和屈服条件的数目与所求未知量的数目相等，因而不使用塑性力学中的非线性本构方程便能求出所求的未知量。在求解这类问题时，一般都采用理想弹塑性力学模型进行计算。这类问题不但求解简便，而且在工程实际中也经常遇到，因此很有实际应用价值。 当塑性区的前沿一直扩展到圆筒的最外边缘时，整个厚壁圆筒将全部处当塑性区的前沿一直扩展到圆筒的最外边缘时，整个厚壁圆筒将全部处于塑性状态，称这种状态为于塑性状态，称这种状态为全塑性状态全塑性状态，或极限状态。在极限状态前，或极限状态。在极限状态前，因外侧弹性区的约束，圆筒内塑性区的变形只能与弹性变形同数量级。因外侧弹性区的约束，圆筒

39、内塑性区的变形只能与弹性变形同数量级。当达到极限状态时，上述这种约束解除，圆筒将开始产生较大的塑性变当达到极限状态时，上述这种约束解除，圆筒将开始产生较大的塑性变形，这种状态称为无约束塑性流动。极限状态前，可认为圆筒能正常工形，这种状态称为无约束塑性流动。极限状态前，可认为圆筒能正常工作，进入极限状态后认为丧失正常工作的能力。作，进入极限状态后认为丧失正常工作的能力。所以极限状态是一种临界状态，与之相应的外力称为极限载荷，并记为，由式(6.6-8)可得(6.6-10)以上是根据特雷斯卡屈服条件得到的，当采用米泽斯屈服条件时，则只要将以上有关式中的用替代即可。 1.楔形尖顶承受集中载荷楔形尖顶承

40、受集中载荷考虑图示的三角形截面的长柱体在顶端受载荷(单位长度上受到力为F)作用时的应力分布.因此,各应力分量中,r r只能出现负一次幂.也就是说,应力函数中r r的幂次要比各应力分量中r r的幂次高两次.假设应力函数为:采用量纲分析来确定这个问题应力函数的形式.首先,尖劈内任何一点的应力应正比例与力 F F 的大小,并与量相关联. 由于F F的量纲为 力力 ,r r的量纲为 长度度, , 无量纲, 应力的量纲为力力/长度长度,因此,各个应力分量表达式只能取 的形式,这里的N为 组成的无量纲的数量.代入极坐标形式的双调和方程,得Fyxoaa(a)6.7 半无限平面体问题整理得:令解得:Ax+By

41、因此,应力分量为:(b)本问题的边界条件:显然这个条件已经满足. 为了求得常数 C 和 D, 我们考虑尖劈在任一圆柱面以上部分的平衡. 由平衡条件(c)幻灯片 150考虑任一圆柱面上的平衡:Fyxoaa将 代入,积分得应力分量应力分量代入 ,得到本问题的解答应力分量应力分量如果取 ,则得到如图的受力情况,应力对称于 x 轴分布; 如 ,这时,应力反对称于 x 轴分布.FyxoaaFyxoaa如果尖端受到集中力偶作用,设单位厚度内的力偶矩为M (量纲为力力长度长度,),则通过量纲分析可知,应力应力的量纲为力力/长度长度,各应力分量中只能出现 r 的负二次幂,而应力函数应该与 r 无关, 即Myx

42、o代入极坐标表示的双调和方程,得到函数 f 所满足的方程. 求出其通解,再求出应力分量, 最后利用边界条件和平衡方程定出常数,可以得到最终解答:2. 2. 集中集中载荷荷如令 ,则得到在弹性半平面边界上有集中载荷作用的问题的解答.hFryxo讨论该应力场的特征.hFryxo讨论该应力场的特征:(3):主应力轨迹为一组同心圆和以O为中心的放射线.(4):最大剪应力轨迹为一组与主应力轨迹成45度的两组曲线.最大剪应力轨迹为对数螺线.(1): 为主应力,大小随着角度变化.(2):在直径为h,圆心在Ox轴且相切于O点的圆上,任一点都有 ,所以正应力 均为:3. 3. 位移位移计算算将广义胡克定律代入应变位移关系式得到积分,得代入代入简化得到可以得到两个方程下面考虑边界条件AOFhxyu=0v=0r(1) 沿x轴 ,r为任意值时均有(2) 在图中A点有因此,得到各点位移分量为:因此,自由边界处的位移 v 为:此处,v 以沿 正方向为正.BhrsyxMOF与实际情况不符合,因此取自由边界上一点 B作为基点,任意点 M M 对该点的相对位移 为:发现,当 时,得位移 v 为:对平面应变问题,只要替换系数就可以了.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！123