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1、第七章第七章 控制系统数学模型及其转换控制系统数学模型及其转换 在线性系统中，常用的数学模型有微分方程模型、传递函数模在线性系统中，常用的数学模型有微分方程模型、传递函数模型、状态空间模型以及零极点模型等。不同的模型应用于不同的场型、状态空间模型以及零极点模型等。不同的模型应用于不同的场合。掌握模型间的转换才能灵活应用各种数学模型。本章将主要介合。掌握模型间的转换才能灵活应用各种数学模型。本章将主要介绍系统数学模型及转换、系统环节模型的连接及标准型实现等内容。绍系统数学模型及转换、系统环节模型的连接及标准型实现等内容。7.1 7.1 控制系统类型控制系统类型1 1 连续系统和离散系统连续系统和
2、离散系统 2 2 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 3 3 时变系统和定常（时不变）系统时变系统和定常（时不变）系统4 4 确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统 7.2 7.2 控制系统常用数学模型控制系统常用数学模型7.2.1 7.2.1 连续系统数学模型连续系统数学模型1 1系统微分方程形式模型系统微分方程形式模型对于线性定常系统单入单出对于线性定常系统单入单出( (简称简称SISO)SISO)系统系统 ，可用以下方程描述：，可用以下方程描述：2 2系统传递函数形式模型系统传递函数形式模型 输出拉氏变换输出拉氏变换 与输入拉氏变换与输入拉氏变换 之比，即为单输入单输出之比，即为
3、单输入单输出系统的传递函数。系统的传递函数。 传递函数分子、分母多项式系数向量可以分别定义如下传递函数分子、分母多项式系数向量可以分别定义如下 这里分子、分母多项式系数向量中的系数均按这里分子、分母多项式系数向量中的系数均按 s s 的降幂排列。用的降幂排列。用printsys, tfprintsys, tf来建立传递函数的系统模型，其基本格式为来建立传递函数的系统模型，其基本格式为例，例， 已知系统的传递函数如下，利用已知系统的传递函数如下，利用MATLABMATLAB建立其相应的传递函建立其相应的传递函数系统模型。数系统模型。运行命令运行命令结果为结果为（注：（注：printsysprin
4、tsys只能在命令窗口中显示模只能在命令窗口中显示模型，不能将模型输入到型，不能将模型输入到workspaceworkspace中）中）num=5*2 0 3;den=conv(conv(conv(1 0 0,3 1),conv(1 2,1 2),5 0 3 8);printsys(num,den,s);tf(num,den)3 3系统的零极点（系统的零极点（ZPKZPK）形式模型）形式模型在在MATLABMATLAB中零极点可以分别定义为中零极点可以分别定义为使用使用zpk()zpk()函数建立零极点形式的系统模型，其基本格式为函数建立零极点形式的系统模型，其基本格式为如果已知传递函数，可按
5、以下方法求得如果已知传递函数，可按以下方法求得z z和和p p例：已知系统传递函数如下例：已知系统传递函数如下应用应用MatlabMatlab语言建立系统的语言建立系统的零极点形式零极点形式模型模型。运行命令运行命令结果为结果为z=-4;p=-1 -2 -3;k=5;sys=zpk(z,p,k)4 4系统的部分分式形式系统的部分分式形式传递函数也可以表示成为部分分式或传递函数也可以表示成为部分分式或留数留数形式，如下式形式，如下式例，写出以下传递函数的部分分式形式例，写出以下传递函数的部分分式形式运行命令运行命令结果为结果为这表示这表示residue余数余数 5 5系统的状态空间（系统的状态空
6、间（state spacestate space）模型）模型在在MATLABMATLAB中建立系统模型的基本格式中建立系统模型的基本格式 例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，请输入到例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，请输入到MATLABMATLAB的的work spacework space中去。中去。运行命令运行命令结果为结果为7.2.2 7.2.2 离散系统数学模型离散系统数学模型离散系统常用的数学模型通常可以用差分方程、脉冲传递函数（或离散系统常用的数学模型通常可以用差分方程、脉冲传递函数（或Z Z传递函数）、状态空间表达式三种形式对系统加以描述。传递函数）、状态空间表达式三种
7、形式对系统加以描述。1 1系统差分方程形式模型系统差分方程形式模型2 2系统的传递函数模型系统的传递函数模型这里分子、分母多项式系数向量中的系数仍按这里分子、分母多项式系数向量中的系数仍按Z Z的降幂排列。的降幂排列。 函数函数tf( )tf( )也可建立脉冲传递函数的系统模型，其基本格式为也可建立脉冲传递函数的系统模型，其基本格式为其中，其中，Ts为系统采样周期。为系统采样周期。 对于离散系统，也可以用对于离散系统，也可以用zpk( )zpk( )函数建立零极点模型，基本格式为函数建立零极点模型，基本格式为3 3系统的状态空间模型系统的状态空间模型 在在MATLABMATLAB中建立系统模型
8、的基本格式中建立系统模型的基本格式 printsys(num,den, z)例例, , 假设某离散系统的脉冲传递函数为假设某离散系统的脉冲传递函数为采样周期为采样周期为 T=0.1T=0.1秒，将其输入到秒，将其输入到MATLABMATLAB的的workspaceworkspace中，并且绘中，并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。态空间表达式。 再输入再输入输入下列语句输入下列语句 运行结果为运行结果为num=0.31 0.57 0.38 0.89;den=1 3.23 3.98 2.22 0.
9、47;Gyu=tf(num,den,0.1)计算机绘制出零极点分布图计算机绘制出零极点分布图pzmap再输入再输入得到得到7.2.3 7.2.3 系统模型参数的获取系统模型参数的获取对于连续系统，调用格式为对于连续系统，调用格式为对于离散系统，调用格式为对于离散系统，调用格式为 V表示返回的数据行向量，只适用于单输入单输出系统。表示返回的数据行向量，只适用于单输入单输出系统。7.3 7.3 系统数学模型的转换系统数学模型的转换7.3.1 7.3.1 系统模型向状态方程形式转换系统模型向状态方程形式转换直接利用直接利用MATLABMATLAB函数实现所需要的系统模型向状态方程的转换，函数实现所需
10、要的系统模型向状态方程的转换，基本格式为基本格式为 （注意：在英语中，（注意：在英语中，2 2和和to谐音）谐音）【例例4-24-2】 已知系统传递函数如下，应用已知系统传递函数如下，应用MATLABMATLAB的函数将其转换的函数将其转换为状态方程形式的模型。为状态方程形式的模型。 可以将任意线性定常系统模型转换为状态方程可以将任意线性定常系统模型转换为状态方程MATLAB求解求解m文件如下：文件如下： 运行结果为运行结果为num=12 24 0 20;den=2 4 6 2 2;A,B,C,D=tf2ss(num,den)7.3.2 7.3.2 系统模型向传递函数形式转换系统模型向传递函数
11、形式转换1 1状态空间模型向传递函数形式转换状态空间模型向传递函数形式转换 MATLAB MATLAB提供了函数提供了函数ss2tf( )ss2tf( )实现将状态空间方程转换为传递函数形实现将状态空间方程转换为传递函数形式，基本格式为式，基本格式为其中，其中，iu用于指定变换所使用的输入量。用于指定变换所使用的输入量。 还可以采用下面的方式，即还可以采用下面的方式，即【例例7-37-3】 某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数。递函数。编写编写m文件如下：文件如下： 运行结果为运行结果为A=0 1 0;0 0 1;-10 -17
12、 -8;B=0;0;1;C=5 6 1;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D);G=tf(num,den)例，某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数例，某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数矩阵。矩阵。输入并且运行以下程序输入并且运行以下程序计算机输出：计算机输出：计算机输出的计算结果表明，传递函数矩阵为计算机输出的计算结果表明，传递函数矩阵为2 2零极点增益模型向传递函数形式转换零极点增益模型向传递函数形式转换其基本格式其基本格式 7.3.3 7.3.3 系统模型向零极点形式转换系统模型向零极点形式转换 MATLAB MATLAB提供了实现系统模
13、型向零极点形式转换的函数，提供了实现系统模型向零极点形式转换的函数，其基本格式为其基本格式为或或【例例7-47-4】 对于例对于例4-34-3题中的线性定常系统，将其转换为题中的线性定常系统，将其转换为zpkzpk形式形式 编写编写m m文件如下文件如下运行结果为运行结果为例，某线性定常系统的状态空间表达式如下，将其转换成例，某线性定常系统的状态空间表达式如下，将其转换成ZPKZPK形式形式输入并且运行以下程序输入并且运行以下程序计算机输出：计算机输出：计算机输出的计算结果表明，传递函数矩阵的计算机输出的计算结果表明，传递函数矩阵的ZPKZPK形式为形式为7.3.4 7.3.4 传递函数形式与
14、部分分式形式的转换传递函数形式与部分分式形式的转换MATLABMATLAB提供函数提供函数residue( )residue( )实现极点留数的求取，其基本格式为实现极点留数的求取，其基本格式为【例例7-57-5】 某系统的传递函数如下，求它的部分分式形式。某系统的传递函数如下，求它的部分分式形式。编写编写m m文件如下文件如下 运行结果为运行结果为 表示表示 如果此时在命令窗口中输入如果此时在命令窗口中输入 则计算机返回则计算机返回 可见，可见，residue( )residue( )函数，既可以将传递函数形式转换成部分分式形式，函数，既可以将传递函数形式转换成部分分式形式，也可以将部分分式
15、形式转换成传递函数形式也可以将部分分式形式转换成传递函数形式。7.3.5 7.3.5 连续和离散系统之间的转换连续和离散系统之间的转换如果对离散化处理结果提出具体的转换方式要求，则可以采用如果对离散化处理结果提出具体的转换方式要求，则可以采用c2dc2d或或c2dmc2dm函数进行，基本格式为函数进行，基本格式为(其中，其中，Gc表示连续系统模型，表示连续系统模型，Ts表示系统采样周期，表示系统采样周期，method指定指定转换方式。转换方式。“zoh”表示采用零阶保持器；表示采用零阶保持器； “foh”表示采用一阶保表示采用一阶保持器。持器。)【例例4-64-6】 某连续系统的状态空间表达式
16、如下，采用零阶保持器将某连续系统的状态空间表达式如下，采用零阶保持器将其离散化，设采样周期为其离散化，设采样周期为0.10.1秒，求离散化的系统方程。秒，求离散化的系统方程。 编写编写m m文件如下文件如下运行结果为运行结果为 计算结果表示离散化后的系统方程为计算结果表示离散化后的系统方程为Ad,Bd,Cd,Dd = C2DM(A,B,C,D,Ts,method)NUMd,DENd = C2DM(NUM,DEN,Ts,method) SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD)A=0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8;B=0;0;1;C=5 6 1;D=0;Ad,Bd,Cd,D
17、d=c2dm(A,B,C,D,0.1)模型转换的函数小结模型转换的函数小结residueresidue：传递函数模型与部分分式模型互换：传递函数模型与部分分式模型互换：传递函数模型与部分分式模型互换：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tfss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型状态空间模型转换为传递函数模型状态空间模型转换为传递函数模型状态空间模型转换为传递函数模型ss2zpss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型状态空间模型转换为零极点增益模型状态空间模型转换为零极点增益模型状态空间模型转换为零极点增益模型tf2sstf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型传递函数模型转换为状
18、态空间模型传递函数模型转换为状态空间模型传递函数模型转换为状态空间模型tf2zptf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型传递函数模型转换为零极点增益模型传递函数模型转换为零极点增益模型传递函数模型转换为零极点增益模型zp2sszp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型零极点增益模型转换为状态空间模型零极点增益模型转换为状态空间模型零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tfzp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型零极点增益模型转换为传递函数模型零极点增益模型转换为传递函数模型零极点增益模型转换为传递函数模型状态空间SS传递函数tf零极点ZP极点留数ss2tftf2sszp2sss
19、s2zpzp2tftf2zpresiduess2ssSYS = SS2SS(SYS,T) performs the similarity transformation z = Tx on the state vector x of the state-space model SYS. The resulting state-space model is described by: . -1 z = TAT z + TB u -1 y = CT z + D u or, in the descriptor case, -1 . -1 TET z = TAT z + TB u -1 y = CT z
20、 + D u . SS2SS is applicable to both continuous- and discrete-time models. For LTI arrays SYS, the transformation T is performed on each individual model in the array.7.4 7.4 控制系统模型的连接控制系统模型的连接 系统模型连接的方式主要有串联、并联、反馈等形式。系统模型连接的方式主要有串联、并联、反馈等形式。MATLABMATLAB提供了模型连接函数。提供了模型连接函数。7.4.1 7.4.1 模型串联模型串联对于对于SI
21、SOSISO系统，其基本格式为系统，其基本格式为对于对于MIMOMIMO系统，其基本格式为系统，其基本格式为7.4.2 7.4.2 模型并联模型并联对于对于SISOSISO系统，其基本格式为系统，其基本格式为对于对于MIMOMIMO系统，其基本格式为系统，其基本格式为in1,in2指定了相连接的输入端。指定了相连接的输入端。out1,out2指定了指定了进行信号相加的输出端。进行信号相加的输出端。DenosExampleConsider a state-space system sys1 with five inputs and four outputs and another system
22、sys2 with two inputs and three outputs. Connect the two systems in series by connecting outputs 2 and 4 of sys1 with inputs 1 and 2 of sys2. outputs1 = 2 4;inputs2 = 1 2;sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)7.4.3 7.4.3 反馈连接反馈连接对于对于SISOSISO系统，其基本格式为系统，其基本格式为其中，其中，signsign缺省时即为负反馈，缺省时即为负反馈，sign=1si
23、gn=1时为正反馈。时为正反馈。对于对于MIMOMIMO系统，其基本格式为系统，其基本格式为其中，其中，feedin为为sys1 1的输入向量，用来指定的输入向量，用来指定sys1 1的哪些输入与反馈环的哪些输入与反馈环节相连接；节相连接；feedout为为sys1 1的输出向量，用来指定的输出向量，用来指定sys1 1的哪些输出端用的哪些输出端用于反馈于反馈。【例例7-77-7】 已知系统如图所示，利用已知系统如图所示，利用MATLABMATLAB求出系统的状态空间求出系统的状态空间表达式。表达式。 其中其中 sys1: sys1: ， ；sys2: sys2: 编写编写m m文件如下文件如
24、下 计算机的运行结果为计算机的运行结果为表示该反馈系统的状态空间表达式为表示该反馈系统的状态空间表达式为 7.5 7.5 系统模型的实现系统模型的实现 根据状态空间表达形式不同，系统状态空间实现可分为：根据状态空间表达形式不同，系统状态空间实现可分为：能控标准型实现，能观测标准型实现，对角线标准型实现，能控标准型实现，能观测标准型实现，对角线标准型实现，约旦标准型实现。约旦标准型实现。 设系统的微分方程为设系统的微分方程为设状态变量为设状态变量为写成状态空间表达式形式为写成状态空间表达式形式为能控标准型能控标准型如果系统微分方程为如果系统微分方程为两边进行拉氏变换，得到传递函数两边进行拉氏变换
25、，得到传递函数引入辅助变量引入辅助变量 z z以及以及返回到微分方程形式：返回到微分方程形式：选择状态变量如下：选择状态变量如下：写成矩阵形式写成矩阵形式【例例7-87-8】 已知系统的状态空间表达式如下，已知系统的状态空间表达式如下，求线性变换，将其变求线性变换，将其变换成能控标准形。换成能控标准形。编写并运行以下编写并运行以下m m文件文件运行结果为运行结果为计算变换矩阵计算变换矩阵输入以下语句输入以下语句计算结果为计算结果为计算出能控标准形，输入以下语句计算出能控标准形，输入以下语句计算结果为计算结果为表明经过线性变换以后的系统方程为表明经过线性变换以后的系统方程为7.5.2 7.5.2
26、 能观测标准型能观测标准型能控标准型的对偶系统就是能观标准型能控标准型的对偶系统就是能观标准型7.5.3 7.5.3 对角线标准型对角线标准型令状态变量令状态变量则则7.5.4 7.5.4 标准型的实现标准型的实现MATLABMATLAB中提供函数中提供函数canoncanon生成标准型状态模型，基本格式为生成标准型状态模型，基本格式为其中，其中，syssys表示原系统状态方程模型，字串表示原系统状态方程模型，字串typetype为标准类型选项，为标准类型选项， modalmodal为对角标准型实现，为对角标准型实现， 【例例4-94-9】 已知系统传递函数如下，用不同状态空间实现函数进行已知系统传递函数如下，用不同状态空间实现函数进行转换。转换。MATLABMATLAB求解求解m m文件如下文件如下 运行该运行该m m文件后，对于同一传递函数的系统得出以下文件后，对于同一传递函数的系统得出以下4 4种状态空间表种状态空间表达式达式G1:G2:G3:G4:
