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1、第一章第一章 机械优化设计的基本问题机械优化设计的基本问题图图1.11.1为由两根钢管组成的对称桁架。为由两根钢管组成的对称桁架。A A处垂直载荷处垂直载荷P=300 000NP=300 000N，2L=152cm2L=152cm，空心钢管厚度空心钢管厚度T=0.25cmT=0.25cm， 材料弹性模量材料弹性模量E=2.16 X 10E=2.16 X 107 7N/cmN/cm2 2， 屈服极限屈服极限s = s = 70 300N/cm70 300N/cm2 2。 求：在满足强度条件和稳定性条伴下，使体积最小的求：在满足强度条件和稳定性条伴下，使体积最小的圆臂直径圆臂直径d d和桁架高度和
2、桁架高度H H。 1.1 机械优化问题示例机械优化问题示例1.1.1 1.1.1 工程结构优化设计工程结构优化设计工程结构优化设计工程结构优化设计解解: :为保证桁架可靠地工作，就必须要求杆件具有足够为保证桁架可靠地工作，就必须要求杆件具有足够的抗压强度和稳定性。的抗压强度和稳定性。 抗抗压压强强度度: : 杆杆件件截截面面上上产产生生的的压压应应力力不不超超过过材材料料的的屈屈服服极限极限; ;杆内力杆内力杆内力杆内力:杆截面压应力杆截面压应力杆截面压应力杆截面压应力：抗压强度抗压强度抗压强度抗压强度： s s 其中其中其中其中稳定性稳定性: :杆件截面上的压应力不超过压杆稳定的临界应力。杆
3、件截面上的压应力不超过压杆稳定的临界应力。 满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为：为压杆屈曲极限为压杆屈曲极限为压杆屈曲极限为压杆屈曲极限按欧拉公式按欧拉公式按欧拉公式按欧拉公式I为圆管的为圆管的剖面惯性矩剖面惯性矩要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积最小的杆件尺寸参数最小的杆件尺寸参数最小的杆件尺寸参数最小的杆件尺寸参数H H H H和和和
4、和d d d d，则则则则表达式如下表达式如下表达式如下表达式如下：结构总体积结构总体积：要求满足要求满足要求满足要求满足：抗压强度抗压强度抗压强度抗压强度稳定性强度稳定性强度稳定性强度稳定性强度问题的最优解为：最优点：d=4.77cm ; d=4.77cm ; H=51.31cmH=51.31cm 最优点的体积为：W=686.73cmW=686.73cm3 3112 机械零件优化设计机械零件优化设计 图1.3所示压力容器，内径Do=0.l2m，内部气体压强P=l2.75X106 N/m2，置螺栓的中心圆直径D=0.2m, 要求选择螺栓的直径d和数量n，使螺栓组的总成本最低。解:首先螺栓要满足
5、强度要求，所用螺栓数量要考虑密封要求，又要兼顾装拆的扳手空间。 螺栓组的总成本：Cn=C n; 式中，C为螺栓单价; n为螺栓个数。单价单价c c与螺栓材料，直径与螺栓材料，直径d d，长度，长度l l及加工状况有关。本组及加工状况有关。本组螺栓取螺栓取3535号钢，长度号钢，长度l=50mml=50mm的六角头半精制螺栓，单价的六角头半精制螺栓，单价见下表见下表直径直径d（mm)101214161820单价单价c（元）（元）0.0520.0910.1420.1740.2280.251由表中数据初步画由表中数据初步画C=f(d)C=f(d)曲线，由下图曲线，由下图线形回归法线形回归法线形回归法
6、线形回归法求得求得方程：方程：0.050.050.100.100.150.150.200.200.250.250 010102020C C（元）（元）（元）（元）D D（mmmm）得得：所受的限制为所受的限制为(1)(1)(1)(1)螺栓的强度限制螺栓的强度限制螺栓的强度限制螺栓的强度限制单个螺栓的许用载荷为单个螺栓的许用载荷为FF，用回归分析法，用回归分析法得得取安全系数取安全系数则螺栓强度条件为：则螺栓强度条件为：带入已知带入已知数据得：数据得：（2 2 2 2）扳手空间条件）扳手空间条件）扳手空间条件）扳手空间条件为保证装拆时有足够的扳手空间，螺栓的周向间距要为保证装拆时有足够的扳手空间
7、，螺栓的周向间距要大于大于5d5d，则有条件，则有条件或或（3 3 3 3）密封条件）密封条件）密封条件）密封条件为保证容器密封，压力均匀且不漏气，据经验，螺栓为保证容器密封，压力均匀且不漏气，据经验，螺栓周向间距要小于周向间距要小于10d10d，则约束函数，则约束函数或或该问题属于二维约束问题该问题属于二维约束问题1.1.3连杆机构优化设计连杆机构优化设计 由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构ABCDABCDABCDABCD和带有和带有和带有和带有滑块滑块滑块滑块5 5 5 5的摆杆的摆杆的摆
8、杆的摆杆6 6 6 6由连杆由连杆由连杆由连杆BEBEBEBE连接而成的。原动件连接而成的。原动件连接而成的。原动件连接而成的。原动件ABABABAB逆时针逆时针逆时针逆时针转动使从动件转动使从动件转动使从动件转动使从动件6 6 6 6绕绕绕绕P P P P点往复摆动。机架点往复摆动。机架点往复摆动。机架点往复摆动。机架ADADADAD水平置放，水平置放，水平置放，水平置放，F F F F点点点点已选定。已选定。已选定。已选定。要求：要求：要求：要求：当原动件当原动件当原动件当原动件ABABABAB转角转角转角转角0 0 0 0在在在在180300180300180300180300o o o
9、 o范围内，范围内，范围内，范围内，摆杆摆杆摆杆摆杆6 6 6 6处于处于处于处于LMLMLMLM位置不动，位置不动，位置不动，位置不动，即即即即从动件摆杆产生间歇运动从动件摆杆产生间歇运动从动件摆杆产生间歇运动从动件摆杆产生间歇运动。试设计六杆机构尺寸参数试设计六杆机构尺寸参数试设计六杆机构尺寸参数试设计六杆机构尺寸参数l l l l1 1 1 1、l l l l2 2 2 2、l l l l3 3 3 3、l l l l4 4 4 4、l l l l5 5 5 5及及及及。以点以点A A为坐标原点建立为坐标原点建立xAyxAy直角坐标系直角坐标系期望的期望的LMLM直线轨迹用点直线轨迹用点
10、M M（x xM M，y yM M），），L L（ x xL L，y yL L ）写出，）写出，即即令令则则LMLM直线方程直线方程 ax+by+c=0ax+by+c=0由于四杆机构尺寸的缩放不影响连杆由于四杆机构尺寸的缩放不影响连杆E E点的轨迹形状，只取点的轨迹形状，只取决于机构待求参数：决于机构待求参数：l l1 1、l l2 2、l l3 3、l l5 5及及 （l l4 4=1=1），于是连杆），于是连杆上上E Ei i点的坐标点的坐标以下列函数表示：以下列函数表示：为提高设计精度，应使机构欲实现的轨迹点为提高设计精度，应使机构欲实现的轨迹点到给定直线到给定直线MLML的垂直距离的垂
11、直距离d di i最小，最小， d di i为设计偏差，有为设计偏差，有数学公式数学公式为使机构连杆点为使机构连杆点E E所实现的一段轨迹以最高的精度接近所实现的一段轨迹以最高的精度接近期望的线段期望的线段 ，所以要求在曲柄转角，所以要求在曲柄转角 范范围内，分点数围内，分点数i=1-ni=1-n的的n n个点上的偏差平方和达到最小，个点上的偏差平方和达到最小，即即为保证连杆机构整周转，传动角满足许用值要求等，有为保证连杆机构整周转，传动角满足许用值要求等，有以下限制条件：以下限制条件：（1 1 1 1）ABABABAB是曲柄的条件是曲柄的条件是曲柄的条件是曲柄的条件（2 2 2 2）传动角满
12、足许用值条件）传动角满足许用值条件）传动角满足许用值条件）传动角满足许用值条件（3 3 3 3）其它限制条件）其它限制条件）其它限制条件）其它限制条件按给定轨迹设计四杆机构的问题可归结为按给定轨迹设计四杆机构的问题可归结为按给定轨迹设计四杆机构的问题可归结为按给定轨迹设计四杆机构的问题可归结为这样一个优化设计的问题这样一个优化设计的问题这样一个优化设计的问题这样一个优化设计的问题: : : :求一组机构参数求一组机构参数求一组机构参数求一组机构参数l l l l1 1 1 1、l l l l2 2 2 2、l l l l3 3 3 3、l l l l5 5 5 5， ，在，在，在，在满足曲柄，
13、传动角条件及其它限制条件下，满足曲柄，传动角条件及其它限制条件下，满足曲柄，传动角条件及其它限制条件下，满足曲柄，传动角条件及其它限制条件下，当曲柄转角在某给定范围内，连杆上当曲柄转角在某给定范围内，连杆上当曲柄转角在某给定范围内，连杆上当曲柄转角在某给定范围内，连杆上E E E E点的点的点的点的轨迹偏差平方和轨迹偏差平方和轨迹偏差平方和轨迹偏差平方和达到最小。达到最小。达到最小。达到最小。1.1.4 生产管理优化生产管理优化例题例题例题例题 某车间有四台机器，每台拟生产某车间有四台机器，每台拟生产3 3种类型零件，每小种类型零件，每小时个零件或利润间表时个零件或利润间表a a，生产不同零件
14、的速率见表，生产不同零件的速率见表b b，本月，本月对对1 1，2 2，3 3种零件的需求量分别为种零件的需求量分别为700700，500500，400400个；四个；四台机器可提供的工作时间分别为台机器可提供的工作时间分别为9090，7575，9090，80h80h，如何，如何安排生产可获利最大？安排生产可获利最大？表表表表a a，每小时生产零件利润量，每小时生产零件利润量，每小时生产零件利润量，每小时生产零件利润量表表表表b b，各机器生产零件速率，各机器生产零件速率，各机器生产零件速率，各机器生产零件速率解：为获利润最大，需合理确定每台机器生产某种零件解：为获利润最大，需合理确定每台机器
15、生产某种零件若干，设若干，设x xij ij表示第表示第j j台机器生产第台机器生产第i i中零件的件数中零件的件数。一个月内获总利润一个月内获总利润：且要满足以下约束条件且要满足以下约束条件：（1 1）数量需求限制）数量需求限制）数量需求限制）数量需求限制（2 2）工时需求限制）工时需求限制）工时需求限制）工时需求限制（3 3）非负条件）非负条件）非负条件）非负条件1.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型机械优化设计是欲对某机械设计项目取得一个最优机械优化设计是欲对某机械设计项目取得一个最优方案。所谓一个设计方案一般是用一组参数来表示。方案。所谓一个设计方案一般是用一组参数来表示。设计参
16、数在优化设计中分成两种类型：设计常量和设计参数在优化设计中分成两种类型：设计常量和设计变量。设计变量。设计常量：可以根据设计的具体悄况或成熟的经验设计常量：可以根据设计的具体悄况或成熟的经验预先给定预先给定 。对设计结果影响不大的参数也常作为设计。对设计结果影响不大的参数也常作为设计常量处理常量处理: : 1.2.1 设计变量设计变量数学模型包括三个部分数学模型包括三个部分数学模型包括三个部分数学模型包括三个部分：一是需求解得一组参数，这组参数在设计中：一是需求解得一组参数，这组参数在设计中作为变量来处理，称为作为变量来处理，称为设计变量设计变量设计变量设计变量；二是有一个明确的追求目标，这个
17、二是有一个明确的追求目标，这个二是有一个明确的追求目标，这个二是有一个明确的追求目标，这个目标以设计变量的函数来体现，称为目标以设计变量的函数来体现，称为目标以设计变量的函数来体现，称为目标以设计变量的函数来体现，称为目标函数；目标函数；目标函数；目标函数；三是有若干必须的限三是有若干必须的限三是有若干必须的限三是有若干必须的限制条件，设计变量的取值必须满足这些限制条件，称为制条件，设计变量的取值必须满足这些限制条件，称为制条件，设计变量的取值必须满足这些限制条件，称为制条件，设计变量的取值必须满足这些限制条件，称为设计约束设计约束设计约束设计约束设计变量：在设计过程中需优选的参数，把它作为优
18、化设计中的设计变量。即在设计过程中作为变量处理以供选择、并最终必须确定的各项独立参数 ；设计变量按取值是否连续分为连续变量和离散变量； 设计变量的数目称为优化问题的维数；一个设计方案也常称为设计矢量，矢量端点称设计点；设计点的集合称为设计空间。以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维实空间，用Rn表示。工程设计中的设计变量均为实数，且任意两矢量有某种计算，则这样的空间又称为n n维实欧氏空间维实欧氏空间。 n n设计变量的表示形式设计变量的表示形式设计变量的表示形式设计变量的表示形式 1.2.2 目标函数目标函数目标函数的表达式：目标函数的表达式： F(x)=F(xF(x)=F(x1
19、 1,x,x2 2,x,xn n) ) 优化设计的过程是使目标函数最小，写成优化设计的过程是使目标函数最小，写成 min min F(x)F(x)分单目标函数和多目标函数分单目标函数和多目标函数多目标函数多目标函数 如图如图1.71.7所示，设计一个剪切钢板的飞剪机构。该机所示，设计一个剪切钢板的飞剪机构。该机构有构有3 3个设计准则个设计准则（1 1 1 1）按重叠度准则：）按重叠度准则：）按重叠度准则：）按重叠度准则：（2 2 2 2）按位置误差准则：）按位置误差准则：）按位置误差准则：）按位置误差准则：（3 3 3 3）按水平分速度准则：）按水平分速度准则：）按水平分速度准则：）按水平分
20、速度准则：1.2.3 约束条件约束条件 设计点的集台构成设计空间，n维设计问题属于n维欧氏空间，如对设计点的取值不加以限制，则设计空间是无限的，凡属这类的优化设计问题称为无约束优化问无约束优化问题题。但在实际问题中设计变量的取值范围是有限制的或必须满足一定条件，在优化设计中。这种对设计变量取值的限制条件，称为 约束条件约束条件或设计约束设计约束。 它也用数学式来表达：不等式约束 gu(x)0，u=1,2,p 等式约束 hv(x)= 0, v=1,2,q例如：要求一对齿轮具有等弯曲强度，可写成： F1 F2=0 或 h(x)=F1 F2=0 约束条件按约束的性质分约束条件按约束的性质分, , 有
21、有边界约束边界约束与与性能性能约束约束两类。两类。 边界约束是对某些设计变量的取值范围加以限制，即某变量的上、下界。性能约束或称性态约束是指在优化设计中按某种性能要求而构成对设计变量的约束，在机械优化设计中，常常要求结构中各尺寸参数的关系、运动学、动力学以及强度等多方面限制而构成性能约束，这些约束一般以约束方程来表达。 关于可行域与非可行域问题。对于约束优化问题，设计点x在n维实欧氏空间Rn内的集合被分成两部分：一部分是满足所有设计约束条件的设计点集合，这个区域称为可行设计区域，简称可行域，记作可行域，记作D ；设计点只能在可行域内选取，可行域内的设计点称为可行设计点。而其余部分则为非可行域非
22、可行域，设计变最在非可行域内取值对设计是无意义的，即为非可行设计点。当设计点处于某一不等式约束边界上时，称边界设计点边界设计点，它是一个为该项约束所允许的设计方案。二维设计问题的可行域可在x1ox2平面直角坐标系表示,见图1.8；三维的可行域可在空间直角坐标系中表示。 1.2.4 数学模型表示式数学模型表示式无约束优化问题数学模型的一般表达式无约束优化问题数学模型的一般表达式无约束优化问题数学模型的一般表达式无约束优化问题数学模型的一般表达式n n约束优化问题数学模型的一般表达式约束优化问题数学模型的一般表达式约束优化问题数学模型的一般表达式约束优化问题数学模型的一般表达式 minF(xmin
23、F(xminF(xminF(x) ) ) ) x x x x R R R Rn n n n D D D D: : : : g g g gu u u u(x(x(x(x) 0) 0) 0) 0，u=1,2,pu=1,2,pu=1,2,pu=1,2,p h h h hv v v v(x(x(x(x) = 0, v=1,2,q) = 0, v=1,2,q) = 0, v=1,2,q) = 0, v=1,2,qn n最优点：最优点：最优点：最优点： x x x x* * * *=x=x=x=x* * * *1 1 1 1 x x x x* * * *2 2 2 2 x x x x* * * *n n
24、n n T T T Tn n最优值最优值最优值最优值： F F F F* * * * = F(x= F(x= F(x= F(x* * * *) ) ) )n n最优解：最优解：最优解：最优解： （x x x x* * * *，F F F F* * * *) ) ) )1.2.5 优化问题的几何描述优化问题的几何描述设有二维不等式约束优化问题数学模型如下：设有二维不等式约束优化问题数学模型如下：设有二维不等式约束优化问题数学模型如下：设有二维不等式约束优化问题数学模型如下：D:1.3 优化计算的数值解法及其优化计算的数值解法及其收敛条件收敛条件迭代点x(k)，当k=0时，X(0)称为初始点搜寻方
25、向 S(k)步长（k）迭代公式： x x(k+1)(k+1)= x= x(k)(k)+ + (k) (k) S S(k)(k)1.3 优化计算的数值解法及其优化计算的数值解法及其收敛条件收敛条件1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 优化计算的迭代过程优化计算的迭代过程优化计算的迭代过程优化计算的迭代过程优化设计的迭代计算优化设计的迭代计算优化设计的迭代计算优化设计的迭代计算 迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程x(0)x(1)x(k)s(0)a(0)1.3.2 迭代计算的终止准则迭代计算的终止准则点距准则点距准则| x(k+1) - x(k)| 1函数下降量准则函数下降量准则当|F(x(k)|1时 |F(x(k+1) F(x(k)| 2否则 |F(x(k+1) F(x(k)| / F(x(k) 2 梯度准则梯度准则 | F(x(k)| 3
