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1、 操作探究型问题操作探究型问题1第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题 操作探究型问题是通过动手测量、作图操作探究型问题是通过动手测量、作图(象象)、取值、计算、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证常见类型：理猜想和验证常见类型：(1)操作设计问题；操作设计问题；(2)图形剪拼；图形剪拼；(3)操作探究；操作探究；(4)数学建模解题策略：运用观察，操作，联数学建模解题策略：运用观察，操作，联想
2、，推理，概括等多种方法想，推理，概括等多种方法2第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题例例1 1 20132013北京北京 阅读下面材料：阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图小明遇到这样一个问题：如图414111所示，在边长为所示，在边长为a(a2)a(a2)的正方形的正方形ABCDABCD各边上分别截取各边上分别截取AEAEBFBFCGCGDHDH1 1，当，当AFQAFQBGMBGMCHNCHNDEPDEP4545时，求正方形时，求正方形MNPQMNPQ的面积的面积探究一探究一 折叠剪拼操作探究型问题折叠剪拼操作探究型问题图图41411 13第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题小
3、明发现：分别延长小明发现：分别延长QEQE，MFMF，NGNG，PHPH，交，交FAFA，GBGB，HCHC，EDED的延的延长线于点长线于点R R，S S，T T，W W，可得，可得RQFRQF，SMGSMG，TNHTNH，WPEWPE是四是四个全等的等腰直角三角形个全等的等腰直角三角形( (如图如图41411)1)请回答：请回答：(1)(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形( (无缝隙，无缝隙，不重叠不重叠) )，则这个新的正方形的边长为，则这个新的正方形的边长为_；(2)(2)求正方形求正方形MNPQMNPQ的面积；的面积；a 4第
4、第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题图41412 2 5第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题 例题分层分析例题分层分析 (1)RQF (1)RQF，SMGSMG，TNHTNH，WPEWPE是四个全等的等腰是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试动手试试 (2) (2)要求正方形要求正方形MNPQMNPQ的面积，可以利用转化思想，外的面积，可以利用转化思想，外面的面的4 4个小三角形的面积和恰好等于正方形个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQMNPQ的面积的面积(3)(3)依图依图414111的作法补全图的作
5、法补全图41412 2，外面的三个，外面的三个“尖角尖角三角形三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！的面积之和恰为阴影三角形的面积！6第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题解解题方法点析方法点析此此类问题按按照照要要求求把把一一个个图形形先先分分成成若若干干块，然然后后拼拼接接成成一一个个符符合合条条件件的的图形形，常常常常利利用用平平移移、旋旋转、轴对称称等等变换进行作行作图7第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题8第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题提示：模仿小明的操作，向正三角形外面提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三出三个个“尖角三角形尖角三角形”，如下，如下图这样，外
6、面的三个，外面的三个“尖角三角形尖角三角形”的面的面积之和恰之和恰为阴影三角形的面阴影三角形的面积！9第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题例例2 2013陕西陕西 问题探究问题探究(1)请在图请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图如图，M是正方形是正方形ABCD内一定点，请在图内一定点，请在图中作中作出两条直线出两条直线(要求其中一条直线必须过点要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正，使它们将正方形方形ABCD的面积四等分，并说明理由的面积四等分，并说明理由探究二探究二 中心对称操作探究问题中心对称操作探究问题 图41413 310第第4
7、1讲讲操作探究型问题操作探究型问题问题解决解决(3)(3)如如图，在在四四边形形ABCDABCD中中，ABCDABCD，ABABCDCDBCBC，点点P P是是ADAD的的中中点点，如如果果ABABa a，CDCDb b，且且b ba a，那那么么在在边BCBC上上是是否否存存在在一一点点Q Q，使使PQPQ所所在在直直线将将四四边形形ABCDABCD的的面面积分分成成相相等等的的两两部部分分？若若存存在在，求求出出BQBQ的的长；若若不不存存在在，说明理由明理由11第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题例题分层分析例题分层分析(1)(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利如
8、何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？的什么性质？(2)(2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M M，要求其中，要求其中一条直线必须过点一条直线必须过点M M，如何分割呢？，如何分割呢？(3)(3)把正方形改为菱形呢？把正方形改为菱形呢？解题方法点析解题方法点析平行四边形，矩形，菱形都是中心对称图形过对称中心的平行四边形
9、，矩形，菱形都是中心对称图形过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形12第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题(1)(1)如如图所示所示(2)(2)如如图，连接接ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，作直，作直线OMOM分分别交交ADAD、BCBC于于P P、Q Q两点，两点，过点点O O作作OMOM的垂的垂线分分别交交ABAB、CDCD于于E E、F F两点，两点，则直直线OMOM、EFEF将正方形将正方形ABCDABCD的面的面积四等分理由如下：四等分理由如下： 解解13第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题14第第41讲讲操作探
10、究型问题操作探究型问题15第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题16第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题 例例3 3 20132013山西改山西改编编 数学活数学活动求重叠部分的面求重叠部分的面积问题情境：数学活情境：数学活动课上，老上，老师出示了一个出示了一个问题：如如图41414 4，将将两两块全全等等的的直直角角三三角角形形纸片片ABCABC和和DEFDEF叠叠放放在在一一起起，其其中中ACBACBEE9090，BCBCDEDE6 6，ACACFEFE8 8，顶点点D D与与边ABAB的中点重合，的中点重合，DEDE经过点点C C，DFDF交交ACAC于点于点G.G.求重叠部分求重
11、叠部分(DCG)(DCG)的面的面积探究三探究三 平移旋转操作探究问题平移旋转操作探究问题 图41414 417第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题求重叠部分求重叠部分(DCG)(DCG)的面的面积(1)(1)独立思考：独立思考：请解答老解答老师提出的提出的问题；(2)(2)合合作作交交流流：“希希望望”小小组受受此此问题的的启启发，将将DEFDEF绕点点D D旋旋转，使使DEABDEAB交交ACAC于于点点H H，DFDF交交ACAC于于点点G G，如如图41415 5，你你能求出重叠部分能求出重叠部分(DGH)(DGH)的面的面积吗？请写出解答写出解答过程程图41415 518第第41
12、讲讲操作探究型问题操作探究型问题例例题分分层分析分析(1)(1)为求求DCGDCG的面的面积，需要研究，需要研究该三角形的三角形的边角的特征；角的特征；(2)(2)当将当将DEFDEF绕点点D D旋旋转，使，使DEABDEAB交交ACAC于点于点H H，此，此时G G点是点是AHAH的中点的中点吗？DGHDGH的面的面积与与DAHDAH的面的面积之之间是倍分关系是倍分关系吗？解解题方法点析方法点析此此类问题通通过平移、旋平移、旋转等等动态过程程创建了一个探究建了一个探究问题的情景和一个思的情景和一个思维空空间解答中常常需要分解答中常常需要分类讨论、自主、自主探究、叙述推理关探究、叙述推理关键是
13、掌握好平移前后，旋是掌握好平移前后，旋转前后的前后的图形是全等形平移前后，每一个点移形是全等形平移前后，每一个点移动的方向相同、距离的方向相同、距离相等；旋相等；旋转前后前后图形上每一点的旋形上每一点的旋转角度都相同角度都相同19第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题例例题分分层分析分析(1)(1)为求求DCGDCG的面的面积，需要研究，需要研究该三角形的三角形的边角的特征；角的特征；(2)(2)当将当将DEFDEF绕点点D D旋旋转，使，使DEABDEAB交交ACAC于点于点H H，此，此时G G点是点是AHAH的中点的中点吗？DGHDGH的面的面积与与DAHDAH的面的面积之之间是倍分关
14、系是倍分关系吗？解解题方法点析方法点析此此类问题通通过平移、旋平移、旋转等等动态过程程创建了一个探究建了一个探究问题的情景和一个思的情景和一个思维空空间解答中常常需要分解答中常常需要分类讨论、自主、自主探究、叙述推理关探究、叙述推理关键是掌握好平移前后，旋是掌握好平移前后，旋转前后的前后的图形是全等形平移前后，每一个点移形是全等形平移前后，每一个点移动的方向相同、距离的方向相同、距离相等；旋相等；旋转前后前后图形上每一点的旋形上每一点的旋转角度都相同角度都相同20第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题 解解21第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题22第第41讲讲操作探究型问题操作探究型问题23个人观点供参考，欢迎讨论
