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1、矩 阵 分 析东北大学信息科学与工程学院石海彬第二章 内积空间线性空间 或 向量空间向量的加法加法 向量与数域中数的数量乘法乘法向量的长度长度 向量之间的夹角夹角 需要考虑引入新的概念 内积内积（某种乘法） 内积空间内积空间目的目的：进一步研究线性空间和线性变换第二章第二章 内积空间内积空间1 1 内积空间的概念内积空间的概念2 2 正交基及子空间的正交关系正交基及子空间的正交关系3 3 内积空间的同构内积空间的同构4 4 正交变换正交变换5 5 点到子空间的距离与最小二乘法点到子空间的距离与最小二乘法6 6 复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）7 7 正规矩阵正规矩阵8 8 厄米特二次型
2、厄米特二次型9 9 力学系统的小振动力学系统的小振动第二章第二章 内积空内积空间间1. 内积空间的概念内积的定义内积的定义此时的V就成为（实）内积空间内积空间1. 内积空间的概念内积空间的概念第二章第二章 内积空内积空间间1. 内积空间的概念内积空间之例例例1 n维线性空间Rn此称为欧几里德空间欧几里德空间（欧氏空间欧氏空间）第二章第二章 内积空内积空间间1. 内积空间的概念内积空间之例例例2 n2维线性空间Rnn第二章第二章 内积空内积空间间1. 内积空间的概念内积的性质：第条性质称为柯西许瓦兹不等式柯西许瓦兹不等式第二章第二章 内积空内积空间间1. 内积空间的概念向量长度的定义向量长度的定
3、义柯许不等式的另一写法向量之间的夹角向量之间的夹角向量垂直向量正交90度角第二章第二章 内积空内积空间间1. 内积空间的概念第二章第二章 内积空内积空间间2. 正交基及子空间的正交关系2. 正交基及子空间的正交关系正交基及子空间的正交关系任一n维欧氏空间都存在正交基第二章第二章 内积空内积空间间2. 正交基及子空间的正交关系第二章第二章 内积空内积空间间2. 正交基及子空间的正交关系n维欧氏空间的任一子空间都有唯一的正交补空间。第二章第二章 内积空内积空间间3. 正交基及子空间的正交关系3. 内积空间的同构内积空间的同构所有n维欧氏空间都同构第二章第二章 内积空内积空间间4. 正交变换4. 正
4、交变换正交变换保持内积不变保持内积不变向量长度不变第二章第二章 内积空内积空间间4. 正交变换第二章第二章 内积空内积空间间5. 点到子空间的距离与最小二乘法5. 点到子空间的距离与最小二乘法点到子空间的距离与最小二乘法向量之间的距离向量之间的距离第二章第二章 内积空内积空间间5. 点到子空间的距离与最小二乘法5. 点到子空间的距离与最小二乘法点到子空间的距离与最小二乘法向量到子空间的距离向量到子空间的距离 欧氏空间中的一个向量和一个子空间中的各个向量都有一个距离，最短的那个就定义为xWV从而，向量到子空间的距离为垂直向量的距离第二章第二章 内积空内积空间间5. 点到子空间的距离与最小二乘法用
5、来解决最小二乘法问题用来解决最小二乘法问题书52页之例第二章第二章 内积空内积空间间6. 复内积空间（酉空间）6. 复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）书中53页之注第二章第二章 内积空内积空间间6. 复内积空间（酉空间）第二章第二章 内积空内积空间间6. 复内积空间（酉空间）第二章第二章 内积空内积空间间6. 复内积空间（酉空间）酉变换酉变换 保持内积不变 第二章第二章 内积空内积空间间6. 复内积空间（酉空间）第二章第二章 内积空内积空间间7. 正规矩阵7. 正规矩阵正规矩阵对角矩阵 实对称矩阵 实反对称矩阵 厄米特矩阵 反厄米特矩阵 正交矩阵 酉矩阵第二章第二章 内积空内积空间间7. 正规矩阵书57-58页之例第二章第二章 内积空内积空间间8. 厄米特二次型8. 厄米特二次型厄米特二次型第二章第二章 内积空内积空间间8. 厄米特二次型（书66页之例）第二章第二章 内积空内积空间间8. 厄米特二次型
