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1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标三种常用的正交曲线坐标系系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1. 1. 标量和矢量量和矢量矢量的大小或模：矢量的大小或模：矢量的矢量的单位矢量：位矢量：标量：一个只用大
2、小描画的物理量。量：一个只用大小描画的物理量。矢量的代数表示：矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或母或带箭箭头的字母表示。的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示段来表示 留意：留意：单位矢量不一定是常矢量。位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不常矢量：大小和方向均不变的矢量。的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy第第1
3、1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1矢量的加减法矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以两矢量的加减在几何上是以这两矢量两矢量为邻边的平行四的平行四边形的形的对角角线, ,如下如下图。矢量的加减符合交矢量的加减符合交换律和律和结合律合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐在直角坐标系中两矢量的加法和减法：系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论2 2标量乘矢量标量乘矢量3矢量的矢量的标积点点积矢量的矢量的标积符合交符合交换律律q矢量矢量 与与 的夹角的夹角第第1 1章章 矢量分
4、析矢量分析电磁场理论电磁场理论4矢量的矢积叉积矢量的矢积叉积qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐用坐标分量表示分量表示为写成行列式方式写成行列式方式为假设假设 ，那么，那么假设假设 ，那么，那么第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论5 5矢量的混合运算矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重量三重积 矢量三重矢量三重积第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 三三维空空间恣意一点的位置可恣意一点的位置可经过三条相互正交曲三条相互正交曲线的交点来确定。的交点来确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在在电磁磁场与波与波实际中
5、，三种常用的正交曲中，三种常用的正交曲线坐坐标系系为：直角坐：直角坐标系、系、圆柱柱坐坐标系和球坐系和球坐标系。系。 三条正交曲三条正交曲线组成确成确实定三定三维空空间恣意点位置的体系，称恣意点位置的体系，称为正交曲正交曲线坐坐标系；三条正交曲系；三条正交曲线称称为坐坐标轴；描画坐；描画坐标轴的量称的量称为坐坐标变量。量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1. 1. 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=平面平面 o x y z0xx=平
6、面平面0zz=平面平面P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论2. 2. 圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论3. 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标
7、单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论4. 4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与直角坐标与直角坐标与直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标与圆柱坐标与圆柱坐标与圆柱坐标与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标与直角坐标与直角坐标与直角坐标与球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系foqrz单位圆单位圆 柱坐标系与球
8、坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qq第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.3 标量场的梯度标量场的梯度q假假设物理量是物理量是标量，称量，称该场为标量量场。q 例如：温度例如：温度场、电位位场、高度、高度场等。等。q假假设物理量是矢量，称物理量是矢量，称该场为矢量矢量场。q 例如：流速例如：流速场、重力、重力场、电场、磁、磁场等。等。q假假设场与与时间无关，称无关，称为静静态场，反之，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之区域上的每一点都有确定物理量与之
9、对应，称在，称在该区域上定区域上定义了一个了一个场。从数学上看，从数学上看，场是定是定义在空在空间区域上的函数：区域上的函数：标量量场和矢量和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )等等值面面: : 标量量场获得同一数得同一数值的点在空的点在空 间构成的曲面。构成的曲面。等值面方程：等值面方程：常数常数C 取一系列不同的取一系列不同的值，就得到一系列，就得到一系列不同的等不同的等值面，构成等面，构成等值面族；面族；标量量场的等的等值面
10、充溢面充溢场所在的整个空所在的整个空间；标量量场的等的等值面互不相交。面互不相交。 等等值面的特点：面的特点：意意义: : 笼统直直观地描画了物理量在空地描画了物理量在空间 的分布形状。的分布形状。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论2. 方方导游数游数意意义：方：方导游数表示游数表示场沿某方向的空沿某方向的空间变化率。化率。概念：概念： u(M) u(M)沿沿 方向添加；方向添加； u(M) u(M)沿沿 方向减小；方向减小； u(M) u(M)沿沿 方向无方向无变化。化。 M0M方导游数的概念方导游数的概念 特点：方导游数既与点特点：方导游数既与点M0有关，也与有关，也与
11、方向有关。方向有关。问题：在什么方向上：在什么方向上变化率最大、其最大的化率最大、其最大的变化率化率为多少？多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 式中：式中： 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论梯度的表达式：梯度的表达式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度 或或 意意义：描画：描画标量量场在某点的最大在某点的最大变化率及其化率及其变化最大的方向化最大的方向概念：概念： ，其中，其中 获得最大值的方向获得最大值的方向第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论标量量场的梯度是矢量的梯度是矢量场，它在空，它在空间某某点的
12、方向表示点的方向表示该点点场变化最大增大化最大增大的方向，其数的方向，其数值表示表示变化最大方向化最大方向上上场的空的空间变化率。化率。标量量场在某个方向上的方在某个方向上的方导游数，是游数，是梯度在梯度在该方向上的投影。方向上的投影。梯度的性质：梯度的性质：梯度运算的根本公式：梯度运算的根本公式：标量量场的梯度垂直于的梯度垂直于经过该点的等点的等值面或切平面面或切平面第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 解解 (1) (1)由梯度由梯度计算公式，可求得算公式，可求得P P点的梯度点的梯度为 例例1.2.1 1.2.1 设设一一标标量量函函数数 (x,y,z) (x,y,z)
13、= = x2x2y2y2z z 描描画画了了空空间标量场。试求：间标量场。试求： (1) (1) 该该函函数数 在在点点P(1,1,1)P(1,1,1)处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度方向的单位矢量。度方向的单位矢量。 (2) (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方导导游游数数，并并以以点点P(1,1,1)P(1,1,1)处处的的方方导导游游数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论表征其方向的表征其方向的单位矢量位矢量 (2) 由方导游数与梯度之间的关系式可知，沿
14、el方向的方导游数为对于于给定的定的P P点，上述方点，上述方导游数在游数在该点取点取值为第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论而而该点的梯度点的梯度值为 显然，梯度 描画了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方导游数，故 恒成立。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量矢量线 意意义：笼统直直观地描画了矢量地描画了矢量场的空的空间分分 布形状。布形状。矢量矢量线方程：方程：概念：矢量概念：矢量线是是这样的曲的曲线，其上每一，其上每一 点的切点的切线方向代表了方向代表了该点矢量点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢
15、量线OM 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论2. 矢量矢量场的通量的通量 问题：如何定量描画矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念通量的概念其中：其中：面面积元矢量；元矢量；面面积元的法向元的法向单位矢量；位矢量；穿穿过面面积元元 的通量。的通量。 假假设曲面曲面 S 是是闭合的，那么合的，那么规定曲面的法向矢量由定曲面的法向矢量由闭合曲合曲面内指向外，矢量面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是合曲面的通量是面积元矢量面积元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论经过闭合曲面有合曲面有净的矢量的矢量线穿出穿出有有净的矢的矢量量线进入入进入与穿出入与穿出闭合
16、曲合曲面的矢量面的矢量线相等相等矢量矢量场经过闭合曲面通量的三种能合曲面通量的三种能够结果果 闭合曲面的通量从宏合曲面的通量从宏观上建立了矢量上建立了矢量场经过闭合曲面的通合曲面的通量与曲面内量与曲面内产生矢量生矢量场的源的关系。的源的关系。通量的物理意通量的物理意义第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论3. 矢量矢量场的散度的散度 为了定量研了定量研讨场与源之与源之间的关系，需建立的关系，需建立场空空间恣意点小恣意点小体体积元的通量源与矢量元的通量源与矢量场小体小体积元曲面的通量的关系。利元曲面的通量的关系。利用极限方法得到用极限方法得到这一关系：一关系：称称为矢量矢量场的散度
17、。的散度。 散度是矢量散度是矢量经过包含包含该点的恣意点的恣意闭合小曲面的通量与曲面元体合小曲面的通量与曲面元体积之比的之比的极限。极限。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论圆柱坐柱坐标系系球坐球坐标系系直角坐直角坐标系系散度的表达式：散度的表达式：散度的有关公式：散度的有关公式：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论直角坐直角坐标系下散度表达式的推系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两由此可知，穿出前、后两侧面的面的净通量通量值为 不失普通性，令包不失普通性，令包围P点的微体点的微体积 V 为不断平行六面体，如不断平行六面体，如下下图。那么。那么oxy在直
18、角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论根据定根据定义，那么得到直角坐，那么得到直角坐标系中的散度系中的散度 表达式表达式为 同理，分析穿出另两同理，分析穿出另两组侧面的面的净通量，并合成之，即得由点通量，并合成之，即得由点P 穿出穿出该六面体的六面体的净通量通量为第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论4. 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定从散度的定义出出发，可以得到矢量，可以得到矢量场在空在空间恣意恣意闭合曲面的合曲面的通量等于通量等于该闭合曲面所包含体合曲面所包含体积中矢量中矢
19、量场的散度的体的散度的体积分，即分，即 散度定理是散度定理是闭合曲面合曲面积分与体分与体积分之分之间的一个的一个变换关系，在关系，在电磁磁实际中有着广中有着广泛的运用。泛的运用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量矢量场的的环流与旋流与旋涡源源 例如：流速例如：流速场。 不是一切的矢量不是一切的矢量场都由通量源激都由通量源激发。存在另一。存在另一类不同于通不同于通量源的矢量源，它所激量源的矢量源，它所激发的矢量的矢量场的力的力线是是闭合的，它合的，它对于任于任何何闭合曲面的通量合曲面的通量为零。但在零。但在场所定所定义的空
20、的空间中中闭合途径的合途径的积分不分不为零。零。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 如磁如磁场沿恣意沿恣意闭合曲合曲线的的积分与分与经过闭合曲合曲线所所围曲面的曲面的电流成正比，即流成正比，即上式建立了磁上式建立了磁场的的环流与流与电流的关系。流的关系。 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论q假假设矢量矢量场的恣意的恣意闭合回路的合回路的环流恒流恒为零，称零，称该矢量矢量场为无无旋旋场，又称，又称为保守保守场。环流的概念流的概念 矢量矢量场对于于
21、闭合曲合曲线C 的的环流定流定义为该矢量矢量对闭合曲合曲线C 的的线积分，即分，即q假假设矢量矢量场对于任何于任何闭合曲合曲线的的环流不流不为零，称零，称该矢量矢量场为有旋矢量有旋矢量场，可以激，可以激发有旋矢量有旋矢量场的源称的源称为旋旋涡源。源。电流是流是磁磁场的旋的旋涡源。源。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论 矢量矢量场的的环流流给出了矢量出了矢量场与与积分回路所分回路所围曲面内旋曲面内旋涡源源宏宏观联络。为了了给出空出空间恣意点矢量恣意点矢量场与旋与旋涡源的关系，引入源的关系，引入矢量矢量场的旋度。的旋度。 2. 矢量场的旋度矢量场的旋度 1环流面密度流面密度称为矢
22、量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的环流面密度。的环流面密度。特点：其值与点特点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边境曲线记为，它的边境曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法那么。当与曲线的绕向成右手螺旋法那么。当 S0时，极限时，极限第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论而而 推导推导 的表示图如下图。的表示图如下图。oyDz DyCMzx1234计算计算 的表示图的表示图 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论于是于
23、是 同理可得同理可得故得故得概念：矢量概念：矢量场在在M点点处的旋度的旋度为一矢量，其数一矢量，其数值为M点的点的环流流 面密度最大面密度最大值，其方向，其方向为获得得环量密度最大量密度最大值时面面积元元 的法的法线方向，即方向，即物理意物理意义：旋：旋涡源密度矢量。源密度矢量。性性质：2矢量矢量场的旋度的旋度第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论旋度的旋度的计算公式算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论旋度的有关公式：旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯
24、度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯定理是斯托克斯定理是闭合曲合曲线积分与曲面分与曲面积分之分之间的一个的一个变换关系式，也在关系式，也在电磁磁实际中有中有广泛的运用。广泛的运用。曲面的剖分曲面的剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定从旋度的定义出出发，可以得到矢量，可以得到矢量场沿恣意沿恣意闭合曲合曲线的的环流等于矢量流等于矢量场的旋度在的旋度在该闭合曲合曲线所所围的曲面的通量，即的曲面的通量，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论4. 散度和旋度的区散度和
25、旋度的区别 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1. 矢量矢量场的源的源散度源：是散度源：是标量，量，产生的矢量生的矢量场在包在包围源的封源的封锁面上的通量面上的通量 等于或正比于等于或正比于该封封锁面内所包面内所包围的源的的源的总和，和， 源在一源在一给定点的体密度等于或正比于矢量定点的体密度等于或正比于矢量 场在在该点的散度；点的散度； 旋度源：是矢量，旋度源：是矢量，产生的矢量生的矢量场具有具有涡旋性旋性质，穿，穿过一曲面一曲面 的旋度源等于或正比于沿此曲面的旋度源等于或正比于沿此曲面边境的境的闭合回合回 路的路的环量，在量，在给定点上，定点上，这种源的面密度等于种源的面
26、密度等于 或正比于矢量或正比于矢量场在在该点的旋度。点的旋度。1.6 无旋无旋场与无散与无散场第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论2. 矢量矢量场按源的分按源的分类1无旋无旋场性质：性质： ，线积分与途径无关，是保守场。，线积分与途径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋无旋场可以用可以用标量量场的梯度表示的梯度表示为例如：静例如：静电场第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论2无散无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质：性质：无散无散场可以表示可以表示为另一个矢量另一个矢量场的旋度的旋度例
27、如，恒定磁例如，恒定磁场第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论3无旋、无散无旋、无散场源在所源在所讨论的区域之外的区域之外4有散、有旋有散、有旋场这样的的场可分解可分解为两部分：无旋两部分：无旋场部分和无散部分和无散场部分部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念：概念： 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐直角坐标系系计算公式：算公式：圆柱坐柱坐标系系球坐球坐标系系第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁
28、场理论 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念：概念：即即留意：留意：对于非直角分量，于非直角分量，直角坐直角坐标系中：系中：如：如：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论2. 格林定理格林定理 设恣意两个恣意两个标量量场 及及 ，假，假设在区域在区域 V V 中具有延中具有延续的二的二阶偏偏导数，那数，那么，可以么，可以证明明该两个两个标量量场 及及 满足以下等式：足以下等式： 根据方根据方导游数与梯度的关系，上式又可写成游数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称以上两式称为标量第一格林定理。量第一格林定理。SV , 式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面， 为为标量场
29、标量场 在在 S 外表的外法线外表的外法线 方向方向上的偏导数。上的偏导数。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论基于上式基于上式还可可获得以下两式：得以下两式：上两式称上两式称为标量第二格林定理。量第二格林定理。 格格林林定定理理阐明明了了区区域域 V 中中的的场与与边境境 S 上上的的场之之间的的关关系系。因因此此，利利用格林定理可以将区域中用格林定理可以将区域中场的求解的求解问题转变为边境上境上场的求解的求解问题。 此外，格林定理反映了两种此外，格林定理反映了两种标量量场之之间满足的关系。因此，假足的关系。因此，假设知其中知其中一种一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种的
30、分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。 格林定理广泛地用于格林定理广泛地用于电磁磁实际。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论亥姆霍亥姆霍兹定理定理: : 假假设矢量矢量场在无限空在无限空间中中处处单值，且其，且其导数延数延续有界，源有界，源分布在有限区域中，那么当矢量分布在有限区域中，那么当矢量场的散度及旋度的散度及旋度给定后，定后，该矢量矢量场可表示可表示为 式中：式中： 亥姆霍亥姆霍兹定理定理阐明：在无界空明：在无界空间区区域，矢量域，矢量场可由其散度及旋度确定。可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍亥姆霍兹定理定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场理论电磁场理论有界区域有界区域 在有界区域，矢量在有界区域，矢量场不但与不但与该区域中的散度和旋度有关，区域中的散度和旋度有关，还与区域与区域边境上矢量境上矢量场的切向分量和法向分量有关。的切向分量和法向分量有关。
