《高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课件2 新人教A版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课件2 新人教A版必修4（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2向量减法运算及其几何意义1.相反向量相反向量(1)定义：与定义：与a长度长度_，方向，方向_的向量，记作的向量，记作_，并且，并且规定，零向量的相反向量是规定，零向量的相反向量是_.(2)结论：结论：-(-a)=_，a+(-a)=(-a)+a=_.若若a与与b互为相反向量，则互为相反向量，则a=_，b=_，且，且a+b=_.相等相等相反相反-a零向量零向量a0-b-a02.向量的减法向量的减法(1)定义：定义：a-b=_.减去一个向量就等于加上这个向量的减去一个向量就等于加上这个向量的_.(2)几何意义：几何意义：a-b表示为从向量表示为从向量b的终点指向的终点指向_的的向量向量.a
2、+(-b)相反向量相反向量向量向量a的终点的终点1.判一判判一判(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)(1) ()(2)a-b的相反向量是的相反向量是b-a.()(3)|a-b|a+b|.()【解析解析】(1)(1)错误错误. .根据向量减法的几何意义可知根据向量减法的几何意义可知(2)(2)正确正确. .因为因为( (a- -b)+()+(b- -a)=)=0. .(3)(3)错误错误.|.|a- -b| |与与| |a+ +b| |的大小不确定的大小不确定. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1
3、)在平行四边形在平行四边形ABCD中，中， =.(2)向量向量a，b共线反向时，向量共线反向时，向量a-b与向量与向量a的方向的方向 . (3)化简：化简： =.【解析解析】2.(1)由于向量由于向量和向量和向量互互为相反向量，相反向量，故故=0.答案：答案：0(2)因因为向量向量a，b共共线反向，反向，则向量向量a与与(-b)同向，同向，故故a-b与向量与向量a的方向相同的方向相同.答案：答案：相同相同(3) =0.答案：答案：0【要点探究要点探究】知识点知识点 相反向量的含义及向量减法的定义相反向量的含义及向量减法的定义1.相反向量的意义相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量
4、加法定义向量减法在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法.(2)为向量的为向量的“移项移项”提供依据提供依据.利用利用(-a)+a=0在向量等式的两端加上某个向量在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的的相反向量，实现向量的“移项移项”.例如由例如由abcd可得可得acdb.2对相反向量的三点说明对相反向量的三点说明(1)a与与-a互为相反向量互为相反向量.(2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立反之不成立(3)相反向量与相反数是两个不同的概念，相反数是两个数符号相反，
5、绝对值相反向量与相反数是两个不同的概念，相反数是两个数符号相反，绝对值相等；相反向量是方向相反，模长相等的两个向量相等；相反向量是方向相反，模长相等的两个向量.3.向量减法的两种定义方法向量减法的两种定义方法(1)将向量减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果将向量减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果b+x=a,则则x叫做叫做a与与b的差，记作的差，记作a-b.(2)在相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，即定义在相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，即定义a-b=a+(-b).【微思考微思考】(1)若若a-c=b-d，则，则a+d=c+b成立吗？成立吗？提示：提示：成立，移项
6、法则对向量等式适用成立，移项法则对向量等式适用. .(2)若若|a|=|b|，则，则a=b或或a=b吗？吗？提示：提示：若若| |a|=|=|b| |，但两向量不一定共线，故不一定有，但两向量不一定共线，故不一定有a= =b且且a= =b成立成立. .(3)作两个向量的差的前提是什么？作两个向量的差的前提是什么？提示：提示：将两个向量移到共同的起点将两个向量移到共同的起点. .【知识拓展知识拓展】非零向量的差的三角不等式非零向量的差的三角不等式(1)(1)当当a, ,b不共线时，根据三角形边长的不等关系知不共线时，根据三角形边长的不等关系知|a|-|-|b| |a- -b|b| |，则，则a-
7、 -b与与a, ,b同向，且同向，且| |a- -b|=|=|a|-|-|b| |；若若| |a|b| |，则，则a- -b与与a, ,b反向，且反向，且| |a- -b|=|=|b|-|-|a|.|.(3)(3)当当a, ,b共线且反向时，共线且反向时，a- -b与与a同向，与同向，与b反向反向, ,且且| |a- -b|=|=|a| |+|+|b|.|.综上所述，对于任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立：综上所述，对于任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立：|a|-|-|b|a- -b|a|+|+|b|.|.【即时练即时练】1.在平行四边形在平行四边形ABCD中中,向量向量 的相反向
8、量为的相反向量为_.2.计算计算【解析解析】1.在平行四在平行四边形形ABCD中中, 向量向量与向量与向量互互为相反向量相反向量.答案：答案：2.因因为故故 【题型示范题型示范】类型一类型一 向量的减法及其几何意义向量的减法及其几何意义【典例典例1】(1) 可以写成：可以写成： 其中正确的是其中正确的是( )A. B. C. D.(2)化简：化简：(3)如图，已知向量如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量不共线，求作向量a+b-c.【解题探究解题探究】1.1.两起点相同的向量相减，差向量方向如何确定？两起点相同的向量相减，差向量方向如何确定？2.2.题题(2)(2)中的向量加减混合运算时，为
9、了应用向量加法和减法的几何意义，应中的向量加减混合运算时，为了应用向量加法和减法的几何意义，应该用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式？该用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式？3.3.题题(3)(3)中两向量差与和的作图依据是什么？中两向量差与和的作图依据是什么？【探究提示探究提示】1.1.两起点相同的向量相减，差向量指向被减向量两起点相同的向量相减，差向量指向被减向量. .2.2.变形出以下两种形式：变形出以下两种形式：向量相加首尾相接的形式；向量相加首尾相接的形式；向量相减共起点的向量相减共起点的形式形式. .3.3.两向量差的作图依据是向量减法的几何意义及三角形法则；两向量和的作两
10、向量差的作图依据是向量减法的几何意义及三角形法则；两向量和的作图依据是三角形法则和平行四边形法则图依据是三角形法则和平行四边形法则. .【自主解答自主解答】(1)选D.因因为所以所以选D.(2) =0；=0；(3)方法一：如方法一：如图 (1) 所示，在平面内任取一点所示，在平面内任取一点O，作，作 =a, =b，则 =a+b，再作，再作 =c, 则 =a+b-c.方法二：如方法二：如图(2)所示，在平面内任取一点所示，在平面内任取一点O，作，作 =a,=b，则 =a+b,再作再作 =c，连接接OC，则 =a+b-c.【方法技巧方法技巧】1.向量加法与减法的几何意向量加法与减法的几何意义的的联
11、系系(1)如如图所示，平行四所示，平行四边形形ABCD中，中，若若=a，=b，则=a+b，=a-b.(2)类比比|a|-|b|a+b|a|+|b|.可知可知|a|-|b|a-b|a|+|b|.2.2.向量加减法化简的两种形式向量加减法化简的两种形式(1)(1)首尾相连且为和首尾相连且为和. .(2)(2)起点相同且为差起点相同且为差. .做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用. .【变式训练变式训练】(2014淄博高一检测淄博高一检测)化简化简 =( )【解析解析】选选C. C. 【补偿训练补偿训练】化简化简 所得结果是所得结果
12、是( )【解析解析】选C.因因为类型二类型二 用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量【典例典例2】(1) 如图，如图，O为平行四边形为平行四边形ABCD内一点，内一点， =a， =b，=c，则，则 _.(2)设设O是是ABC内一点，且内一点，且 =a， =b， =c，若以线段，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以，再以OC，OD为为邻边作平行四边形，其第四个顶点为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用试用a,b,c表示表示【解解题探究探究】1.题(1)中与向量中与向量有关有关联的是哪个向量？的是哪个向量？根据平行四根据平行四边形的性
13、形的性质，这个向量又与哪个向量相等？个向量又与哪个向量相等？2.题(2)中的中的OD和和OH与作出的平行四与作出的平行四边形有何关系？向量形有何关系？向量和和如何用已知向量表示？如何用已知向量表示？【探究提示探究提示】1.向量向量BA与向量与向量关系密切，并且关系密切，并且2.OD和和OH分分别是已作出的平行四是已作出的平行四边形的形的对角角线，根据向量加法，根据向量加法和减法的几何意和减法的几何意义，可得，可得【自主解答自主解答】(1)因因为所以所以所以所以ab+c.答案：答案：ab+c(2)由由题意可知四意可知四边形形OADB为平行四平行四边形，形，所以所以=a+b，所以所以=c-(a+b
14、).又四又四边形形ODHC为平行四平行四边形，形，所以所以=c+a+b,所以所以=a+b+c-b=a+c.【延伸探究延伸探究】若题若题(2)的条件不变，如何用向量的条件不变，如何用向量a,b,c表示出向表示出向量量【解析解析】由以上可得由以上可得=c+a+b,则=c+a+b-a=b+c.【方法技巧方法技巧】用已知向量表示其他向量的三个关注点用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道
15、渠道. .(2)(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题律、交换律来分析解决问题. .(3)(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则. .例如四边形例如四边形ABCDABCD中，中，【变式训练变式训练】如图所示，在五边形如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形中，若四边形ACDE是是平行四边形，且平行四边形，且 =a， =b， =c，试用向量，试用向量a，b，c表表示向量示向量【解解题指南指南】解答本解答本题要注意要注意及向量加法减法几何及向量加法减法几何意意
16、义的的应用用.【解析解析】因因为四四边形形ACDE是平行四是平行四边形，形，所以所以=c，=ba，=ca，=cb,所以所以=bac.【补偿训练补偿训练】下列四式中不能化简为下列四式中不能化简为 的是的是( )【解析解析】选D.选项A中，中，=选项B中，中，选项C中，中，选项D中，中，【易错误区易错误区】向量的加减运算在平面几何应用中的误区向量的加减运算在平面几何应用中的误区 【典例典例】如图所示，如图所示，O是平行四边形是平行四边形ABCD的对角线的对角线AC，BD的交的交点，设点，设 =a， =b， =c，则，则b+c-a等于等于( )A. B. C. D. +b【解析解析】选A.方法一：因
17、方法一：因为四四边形形ABCD是平行四是平行四边形，形，所以所以所以所以b+c=所以所以b+c-a=方法二：因方法二：因为四四边形形ABCD是平行四是平行四边形，所以形，所以所以所以c-a=因因为=b，所以，所以=-b,所以所以= -b.所以所以c-a= -b，即，即b+c-a=【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选B B只进行了方法一中阴影处只进行了方法一中阴影处b+ +c的运算，而忽视的运算，而忽视了了- -a，造成错选，造成错选. .选选C C或或选选D D只进行了方法二中阴影处只进行了方法二中阴影处c- -a的运算，而忽视的运算，而忽视了了b造成错选造成错选. .【防范措施防
18、范措施】1.1.线段平行的应用线段平行的应用解答以几何图形为背景的向量加减法运算问题，要注意平面几解答以几何图形为背景的向量加减法运算问题，要注意平面几何知识的应用，如本例方法一中何知识的应用，如本例方法一中处由处由 ABCDABCD得得2.2.向量运算法则的灵活应用向量运算法则的灵活应用在理解几何意义的同时，要注意向量加法与减法的转换关系，在理解几何意义的同时，要注意向量加法与减法的转换关系，如本例方法一中的如本例方法一中的【类题试解类题试解】如图，在任意四边形如图，在任意四边形ABCD中，中，E,F分别为分别为AD,BC的的中点，则中点，则 =( )【解析解析】选B.因因为又又与与互互为相反向量，相反向量，与与互互为相反向量，所以相反向量，所以=0，=0.所以所以=
