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1、教学重点教学过程教学总结第第4 4章章 区间估计区间估计 一家食品消费企业以消费袋装食品为主，每天的产量约为8000袋左右。按规定每袋的分量应不低于100克，否那么即为不合格。为对产量质量进展检测，企业设有质量检查科专门担任质量检验，并经常向企业高层指点提交质检报告。质检的内容之一就是每袋分量能否符合要求。 由于产品的数量大，进展全面的检验是不能够的，可行的方法是抽样，然后用样本数据估计平均每袋的分量。质检科从某天消费的一批食品中随机抽取了25袋，下表1是对每袋食品分量的检验结果。实际中的统计 根据表1的数据，质检科估计出该天消费的食品每袋的平均分量在101.38109.34克之间，其中，估计
2、的可信程度为95%，估计误差不超越4克。产品的合格率在96.07%73.93%之间，其中，估计的可信程度为95%，估计误差不超越16%。表1 25袋食品的分量克112.5102.6100.0116.6.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.010808101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.3 质检报告提交后，企业高层指点人提出几点意见：一是抽取的样本大小能否适宜？能不能用一个更大的样本进展估计？二是能否将估计的误差在减少一点？比如，估计平均分量时估计误差不超越3克，估计合格率时误差不超越10%
3、。三是总体平均分量的方差是多少？由于方差的大小阐明了消费过程的稳定性，过大或过小的方差都意味着应对消费过程进展调整。在对总体特征做出估计时，并非一切估计量都是优良的，从而产生了评价估计量能否优良的规范。作为优良的估计量应该符合如下三个规范：1无偏性 2一致性 3有效性点估计的缺陷：不能反映估计的误差和准确程度区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的能够区间【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控公司的效力质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本进展调查以了解顾客的称心分数。根据以往的调查，称心分数的规范差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示，称心
4、分数的样本均值为82分，试建立总体称心分数的区间。8.1.1抽样误差抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。抽样误差 = 实践未知4.1总体均值的区间估计大样本n304.1.2抽样误差的概率表述抽样误差的概率表述 由概率论可知，由概率论可知， 服从规范正态分布，即，服从规范正态分布，即，有以下关系式成立：有以下关系式成立：普通称，普通称， 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。假为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。假设事先给定一个置信度，那么可根据规范正态分布找到其对应设事先给定一个置信度，那么可根据规范正态分布找到其对应的临界值的临界值 。进而计算抽样误差。进
5、而计算抽样误差假设，那么查规范正态分布表可得，抽样误差 此时抽样误差的意义可表述为：以样本均值为中心的3.92的区间包含总体均值的概率是95%，或者说，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度还有90%，95.45%，99.73%，他们对应的临界值分别为1.645，2和3，可以分别反映各自的估计区间所对应的准确程度和把握程度。4.1.3计算区间估计：计算区间估计： 在在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更或更小的概率是小的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，。因此，可以构建总体均值的区间为，由于
6、，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶尔的由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶尔的抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均值，它是与一定的概率相联络的。如以下图所示：值，它是与一定的概率相联络的。如以下图所示：3.923.92图1 根据选择的在 、 、 位置的样本均值建立的区间 上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本均值3.92的区间可以包含总体均值。 因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握以为，以样本均值为中心的3.92的区间可以包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应
7、的置信程度为 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描画估计准确度的正负值。也将正负值称为误差边沿或极限误差，反映样本估计量与总体参数之间的最大误差范围。总结：解：知总体服从正态分布，所以样本平均值也服从正态分布。并知， =65， =15，查规范正态分布表，与置信程度95%相对应的Z值为1.96，所以总体平均数置信区间为：所以我们有95%的把握说总体平均数u介于63.1466.86千克之间。第四章例(1).某厂质量管理部门担任人希望估计移交给接纳部门的5500 包 原资料的平均分量。一个由250包原资料组成的随机样本所给出的平均值 ,总体 规范差 =15千克,试构造总体未知的平均数 的置信区间,
8、假定95%的置信区间已能令人称心,并假定总体为正态分布。 第四章 参数估计例2：对某打土方 的工人作抽样调查，随机抽查144个工人，据此求得每人每天平均完成任务量为5.25立方米。知总体服从正态分布，其规范差为1.5立方米，试用0.9545概率保证，推断其全部工人每人每天平均完成任务量介于多少立方米之间？ 解：知XN( ,1.5)即总体服从正态分布。 X=5.25 n=144 =2 所以我们可以0.9545的概率保证全体工人每人每天平均完成任务量介于55.5立方米之间。 第四章 参数估计如图： =0.9545 5 5.5 x留意：n30为大样本，查规范正态分布表 置信程度 (t) 0.6827
9、 1 0.9000 1.645 0.9500 1.96 0.9545 2 0.9973 3 再例： 记住4.1.4计算区间估计：计算区间估计： 在大多数的情况下，总体的规范差都是未知的。根据抽样在大多数的情况下，总体的规范差都是未知的。根据抽样分布定理，在大样本的情况下，可用样本的规范差分布定理，在大样本的情况下，可用样本的规范差s作为总体规作为总体规范差的点估计值，依然采用上述区间估计的方法进展总体参数范差的点估计值，依然采用上述区间估计的方法进展总体参数的估计。的估计。【例2】 斯泰特怀特保险公司每年都需对人寿保险单进展审查，现公司抽取36个寿保人作为一个简单随即样本，得到关于、投保人年龄
10、、保费数量、保险单的现金值、残废补偿选择等工程的资料。为了便于研讨，某位经理要求了解寿险投保人总体平均年龄的90%的区间估计。投保人投保人年龄年龄投保人投保人年龄年龄投保人投保人年龄年龄投保人投保人年龄年龄12345678932504024334445484410111213141516171847313639464539384519202122232425262727435436344823364228 2930313233343536343934354253284939上表是一个由36个投保人组成的简单随机样本的年龄数据。现求总体的平均年龄的区间估计。分析：区间估计包括两个部分点估计和误差
11、边沿，只需分别求出即可到的总体的区间估计。解：知1样本的平均年龄2误差边沿样本规范差误差边沿390%的置信区间为39.5 2.13 即37.37，41.63岁。 留意1置信系数普通在抽样之前确定，根据样本所建立的区间能包含总体参数的概率为2置信区间的长度准确度在置信度一定的情况下，与样本容量的大小呈反方向变动，假设要提高估计准确度，可以扩展样本容量来到达。4.3确定样本容量误差边沿其计算需求知假设我们选择了置信度由此，得到计算必要样本容量的计算公式：【例4】在以前的一项研讨美国租赁汽车破费的研讨中发现，租赁一辆中等大小的汽车，其破费范围为，从加利福尼亚州的奥克兰市的每天36美圆到康涅狄格州的哈
12、特福德市的每天73.50美圆不等，并且租金的规范差为9.65美圆。假定进展该项研讨的组织想进展一项新的研讨，以估计美国当前总体平均日租赁中等大小汽车的支出。在设计该项新的研讨时，工程主管指定对总体平均日租赁支出的估计误差边沿为2美圆，置信程度为95%。解：依题意，可得将以上结果取下一个整数90即为必要的样本容量。4.4总体比例的区间估计8.4.1区间估计 对总体比例 的区间估计在原理上与总体均值的区间估计一样。同样要利用样本比例 的抽样分布来进展估计。假设， 那么样本比例近似服从正态分布。同样，抽样误差类似的，利用抽样分布正态分布来计算抽样误差上式中， 是正待估计的总体参数，其值普通是未知，通
13、常简单的用 替代 。即用样本方差 替代总体方差 。那么， 误差边沿的计算公式为：【例5】1997年菲瑞卡洛通讯公司对全国范围每内的902名女子高尔夫球手进展了调查，以了解美国女子高尔夫球手对本人如何在场上被对待的看法。调查发现，397名女子高尔夫球手对得到的球座开球次数感到称心。试在95%的置信程度下估计总体比例的区间。分解：解：依题意知，1样本比例2误差边沿 395%的置信区间0.44 0.0324 即0.4076，0.4724。 结论：在置信程度为95%时，一切女子高尔夫球手中有40.76%到47.24%的人对得到的球座开球数感到称心。 4.4.2 确定样本容量 在建立总体比例的区间估计时
14、，确定样本容量的原理与8.3节中运用的为估计总体均值时确定样本容量的原理相类似。【例6】在例中，该公司想在1997年结果的根底上进展一项新的调查，以重新估计女子高尔夫球手的总体中对得到的球座开球此数感到称心的人数所占的比例。调查主管希望这项新的调查在误差边沿为0.025、置信程度为95%的条件下来进展，那么，样本容量应该为多大？解：依题意，可得将以上结果取下一个整数1515即为必要的样本容量。 阐明：明： 由于由于总体比例体比例 在大多数情况下是未知的，在大多数情况下是未知的，可以有以下方法可以有以下方法获得得 的的值。1 1运用有同运用有同样或者或者类似似单元的以前元的以前样本的本的样本比例
15、；本比例；2 2抽取一个抽取一个预备样本本进展展实验性研性研讨。用。用实验性性样本的比例作本的比例作为 的估的估计值。3 3运用运用对 值的判的判别或者或者“最好的猜最好的猜测；4 4假假设上面的方法都不适用，采用上面的方法都不适用，采用 。 例1：某灯泡厂日产白炽灯泡15000只，根据历史资料可知一等品率为90%，现要求极限误差为2%，概率保证程度为95.45% ，问不反复抽样时，应抽取多少只灯泡？ 例2：某洗衣机厂消费一批新型号的洗衣机投放市场,为了解这种洗衣机在市场上的销路，该厂在市场上调查喜欢这种洗衣机的人数比率。要求置信度为95%，估计误差在4%以内，问需求抽多大的样本？ 例3：某厂
16、消费电子元件10000只，采用反复抽样方式抽取100只作耐用检验，计算结果平均寿命是9000小时，总体的方差是8100小时，当概率保证程度为95.45%时，电子元件的平均寿命落在哪个区间？假设概率保证程度提高到99.73%，允许的极限误差为原来的1/2时，需求抽取多少只电子元件？例1：某灯泡厂日产白炽灯泡15000只，根据历史资料可知一等品率为90%，现要求极限误差为2%，概率保证程度为95.45% ，问不反复抽样时，应抽取多少只灯泡？例2：某洗衣机厂消费一批新型号的洗衣机投放市场,为了解这种洗衣机在市场上的销路，该厂在市场上调查喜欢这种洗衣机的人数比率。要求置信度为95%，估计误差在4%以内，问需求抽多大的样本？解：根据题意这种洗衣机是新产品,故不能用过去的资料来估计喜欢这种洗衣机的人数比率。在这种情况下，可用保守的假定成数p=0.5来估计。由于p(1-p)的乘积在p=0.5时为最大，这时计算出来的必要抽样单位虽然能够比实践的要多一些，但能充分保证有足够高的置信度。例3：某厂消费电子元件10000只，采用反复抽样方式抽取100只作耐用检验，计算结果平均寿命是9000小时，总体的方差是8100小时，当概率保证程度为95.45%时，电子元件的平均寿命落在哪个区间？假设概率保证程度提高到99.73%，允许的极限误差为原来的1/2时，需求抽取多少只电子元件？P112 2.3.8
