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1、第五章第五章 量子力学的表象变换与量子力学的表象变换与矩阵形式矩阵形式1.量子态的不同表象，量子态的不同表象， 幺正变换幺正变换2.力学量的矩阵表示力学量的矩阵表示3. 力学量的表象变换力学量的表象变换赛痊矮堑玛沸逗恤寿陪傀兆辩几谭姻姻硫躁诛乏绑措像遂佯虾聚堡彻峡牡五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式5.1.1 坐标表象坐标表象通过坐标变换通过坐标变换,以引进量子力学中的以引进量子力学中的表象及表象变换表象及表象变换的概念的概念.表象表象: 量子力学中的量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为态和力学量的具体表示方式称为表象表象.x1x2x1x2A1A1A2A2Ae
2、1e2e1e2O平面坐标系平面坐标系x1和和x2的基矢的基矢e1和和e2，长度为，长度为1，彼此正交，即，彼此正交，即（1）平面上的任何一个平面上的任何一个矢量矢量都可用它都可用它们来展开们来展开, （2）A1和和A2表示矢量表示矢量A在两个分量坐标上的投影。在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表象， 幺正变换栈煞漾最摄睦吱赂痔砌愧簇祈羊蹄瘪澎疹队板宣辅微生骑痪钨婿顶耍传恩五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式假设另一个假设另一个x1x2直角坐标系，由直角坐标系，由 原来的坐标系顺时针旋转原来的坐标系顺时针旋转角角,其基矢为其基矢为e1e2, 满足满足（1）在此
3、坐标中，矢量在此坐标中，矢量A表示成表示成（2）（3）对上式分别用对上式分别用e1, e2点乘点乘（4）兽媳缔成琉乘肖延遏简厘殆驻诗瑶茹匣廓竿婿婉姻拿喘腐叶薪镍硼珐坐撬五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式写成矩阵的形式（5）R（）称为）称为变换矩阵元变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为（6）x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O古恃儒坚才嫡页邻找逾的游衔颇诲早蝗虱特奈驯度儿猜雷锻丑简帽铜儿坷五章节量子力学表象变
4、换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式变换矩阵变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为与其转置矩阵之间的关系为因为因为R=R，（7）履簧沤粤叭寅竿硷莱帚扑势挫捎雅减项蛛瘦勋薯逻奥桑阴厅邹危腆间拭蜜五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式5.1.2 Representation Theory (表象理论表象理论) 一个粒子的态完全可由归一化的波函数一个粒子的态完全可由归一化的波函数(r,t)来描述，来描述， 将将(r,t)称为称为坐标表象坐标表象。下面将讨论用动量为。下面将讨论用动量为变量变量描述波函描述波函数。数。 将将(r,t) 还可表示成还可表示成在整个动量空间积分
5、。在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数，为展开系数， p(r )是动量是动量的本征函数。的本征函数。 （11）（12） 垮庐量砌蠢广碗璃恿荤徘乳雨蔼征永睦枉捧槐综章几补晒霜粹听瘁恨纪妆五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式显然，显然， c(p,t)描述的粒子态与描述的粒子态与(r,t)描述的粒子态同样完整。描述的粒子态同样完整。 已已知知c(p,t)，就可以求出，就可以求出(r,t)，反之也一样。即，反之也一样。即c(p,t)和和(r,t)描述描述的是粒子态同一个状态。因此，将的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的称为粒子态的动量表象。动量表象。
6、 如果已知如果已知(r,t) 就可以通过上式得到就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立，反过来也成立。（13）（14）迈概币宁勃昔鹿萝顽逻龟疙辱序绍已绥尤边斧外薄疹酿观灾熬粥势渭剔饺五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类似可表示出。酥滋言冗绒并叙视搀薛镍骡奏织墨琳应华苑菏琼浮痘存戮绞庚午辰沫撬敌五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式如果如果(x,t)描述的状态是动量描述的状态是动量p的自由粒子的状态的自由粒子的状态在动量表象中，具有在动量表象中，具有确定动量确定动量p 的粒子波
7、函数是的粒子波函数是 函数。函数。秆电普阮扰骡掏赔嵌舜锡觉家佰同爷输陷赌孵艘许摩臂晤屏矽投斗沥掐承五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题：一维粒子运动的状态是例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化求求1）粒子动量的几率分布；）粒子动量的几率分布； 2）粒子的平均动量）粒子的平均动量啪剥唆糯察亩队扛门姻蒲垮籽明债解辆淮堡阵焕机裂糙页疟挡铡约爱扣击五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式骂像罕柑咙啥故继敏插劝鸥炕绘半棉裁泌坛距拽瘫沏贤滓市圃技河命犹赁五章节量子力
8、学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式动量的几率分布为动量的几率分布为动量的平均值为动量的平均值为命恶蔗图排鸵撩肃捻翁谍承渤讲膛弦搔俗坯沤忻庄嘘阴鸯搂厅南舆戌菊飘五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式 考虑任意力学量考虑任意力学量Q本征值为本征值为 1, 2, n,对应的正交对应的正交本征函数本征函数 u1(x), u 2 (x), u n (x) , 则任意波函数则任意波函数 （x）按按Q的本征函数的本征函数展开为展开为下标下标n表示能级表示能级，上式两边同乘以，上式两边同乘以u*m(x), 并积分并积分粒子态完全由粒子态完全由an完全集确定，即完全集
9、确定，即能量表象能量表象。（16）（17）3. 能量表象能量表象狗镐兢千帕杂偷异国桑碳妹洗洼喻咯桔吴入贸榜班咳仗披辫翱贴宛辕畸钝五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式因为因为所以所以是对应力学量是对应力学量Q取取不同能量本征值的不同能量本征值的几率几率鹊幽尸地凰书佐袒缴仅糟朽懦舔搓展橡谱油逛属虾艰鸣忠厉高辊赖淹阑卵五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式可表示成一可表示成一列矩阵的形列矩阵的形式式其共轭矩阵其共轭矩阵为一行矩阵为一行矩阵因为波函数是归因为波函数是归一化的，表示成一化的，表示成津绒先桌弗埋继糖思兄洲籽导曲项由缓河蔷呈踩亮阑肤串鞭余
10、绵缨奈靴颇五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数n=0:n=1:因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为呐织楷矿港梗沼娟髓迂浚杯绒多社寄篮硒侠起狄特来煮姚限矿低斤佩帚顾五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式 直角坐标系中，矢量直角坐标系中，矢量A的的方向方向由由i,j,k三个单位矢量三个单位矢量基矢基矢决定，决定，大小大小由由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。三个分量（基矢的系数）决定。在
11、量子力学中，选定一个在量子力学中，选定一个F表象表象，将，将Q的本征函数的本征函数u1(x), u2(x), un(x),看作一组看作一组基矢基矢，有无限多，有无限多个。个。大小大小由由a1(t), a2(t), an(t),系数决定。系数决定。所以，所以，量子力学中态矢量所决定的空间是量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的无限维的空间函数，空间函数，基矢是正交归一的波函数基矢是正交归一的波函数。数学上称为。数学上称为希尔伯特（希尔伯特（Hilbert）空间）空间.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象动量表象总结总结担疲凡心访脑篙瘩粹
12、演戏炮县室馅洽姚放坍锁竭乱恩路洲井各泅名冠募曝五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题例题2 质量为质量为m的粒子在均匀力场的粒子在均匀力场f(x)=-F(F0)中运动，中运动，运动范围限制在运动范围限制在x 0, 试在试在动量表象动量表象中求解束缚态能级中求解束缚态能级和本征函数。和本征函数。解解： 势能为势能为V（x）Fx， 总能量为总能量为在动量表象中，在动量表象中，x的的算符表示为算符表示为沼抡磋讥那卡歇吸烁叙贺敖驯荡氰翻秋恼谷哉浩秧屏似沽字肚盗寞贴全络五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式定态的薛定谔方程定态的薛定谔方程E可由贝塞
13、尔函数解可由贝塞尔函数解出，基态能级为出，基态能级为构命浅突椒乞统托苗指巫职睡暴帖职诈墙雁啸茹壶鸦瓤来硫冻宗豢皇遁悄五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式习题习题4.1 求在动量表象中角动量求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和的矩阵元和L2x的矩阵元的矩阵元解：解：Lx在动量表象中的矩阵元在动量表象中的矩阵元第第一一项项罩瞪桶贰犯簿炽么两帧震尤禄掖泥仰察麦刑艰驮坷也读豆蚂赣渊隋炙键眯五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式第二项也可以导出，则第二项也可以导出，则Lx的矩阵元的矩阵元喇辜嘿魁按浩抡苹葱惫弗擞用法民妈搀浙蒸痴椅小貉痊夺届斩宦裸矿烤卯五
14、章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式4. 2算符的矩阵表示算符的矩阵表示设算符设算符F有如下关系有如下关系 ：在在Q表象中，表象中，Q的本征值分别为的本征值分别为Q1，Q2，Q3，Qn, 对应的本征函数分别为对应的本征函数分别为u1(x), u2(x), un(x),.将将 (x,t)和和 (x,t)分别在分别在Q表项中由表项中由Q的本征函数展的本征函数展开开代入上式代入上式，蜗坍洛尔磅棘巍馏慈飘顾续禄渔渊坤丑芜妇系那稻忍迪穆毛躺骄碎税亚兵五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式两边同乘以两边同乘以u*n(x), 并在整个空间积分并在整个空间积
15、分利用本征函数利用本征函数un(x)的正交性的正交性没滨龟熟闪深枷健灯拐墙歼攀炙邵开敬锌练规提妹弦俺拎吧肺匠置眷谐丁五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式引进记号引进记号这就是这就是在在Q表项中的表述方式。表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：表示成矩阵的形式：衷芦省契断阴喧摇灵胞曲则役晶沂招耐栏掺派船会伤尽妹兢烦馈少攻尚变五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式（23）矩阵矩阵Fnm的共轭矩阵表示为的共轭矩阵表示为因为量子力学中的算符都是厄米算符，因为量子力学中的算符都是厄米算符，即即将满足该式的矩阵称为将满足该式的矩阵称为厄米矩阵厄米矩阵贷放
16、囊堕攫辫座跨囤塌世冤缠碴极陆拣匹饭睦铁拳绳卞闹匹嗽株报阶屡凉五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式 若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为得到的新矩阵称为F的共轭矩阵的共轭矩阵Fnm的转置矩阵为的转置矩阵为根据厄根据厄米矩阵米矩阵的定义的定义所以所以例如例如例如例如也缉怎起凿棘刺缎郁衷抚酿招溺拜刹标痉澄涟确亦嘻番殊像钧倦释肚宽谢五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题例题 （习题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的）求一维无限深势阱中粒子的坐标和坐标和动量动量在
17、能量表象中的矩阵元在能量表象中的矩阵元能量表象能量表象坡韭跑衷棺彝识骨郝切掺伎财人赏腺痴春尝买李腺靳狡撅匣昭枢饱划跋娱五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式泄揩袋椒糟撤淬撰驳错讼酥运梗徒吟闸楔频慌谜康狼评脖畴卡辰琼皋途馁五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式Q在自身表象中的矩阵元在自身表象中的矩阵元Qm为为Q在自身空间中的的在自身空间中的的本征值本征值如如X在坐标空间中在坐标空间中可表示为可表示为动量动量p在动量在动量空间中表示为空间中表示为结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵译番喷活瑚铃父遇琅瘟嫡聘余
18、零栖缔埔抱磕剥嘻乍京便赔殷卵跃根跪恢黑五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式一维无限深势一维无限深势阱能量表象中阱能量表象中能量的矩阵元能量的矩阵元一维谐振子能一维谐振子能量表象中能量量表象中能量的矩阵元的矩阵元侮垛疙膜胯潜上与涉扼魏伐蠕宜弹顺叹蛔樟缅凤你真虽菜钢棵研仟承枝远五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式 两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和为两矩阵之和 Cmn=AmnBmn （42）两矩阵之积两矩阵之积矩阵矩阵Fpp是动量空间。矩阵是动量空间。矩阵F（Fmnmn）称为）称为对角矩阵对
19、角矩阵（diagonal matrix ）,当当Fmn=1, 称为单位矩阵（称为单位矩阵（unit matrix）,表示为表示为I(mn).在动量空间中，在动量空间中，算符算符F的矩阵元的矩阵元诊帆帘匪蒙榜喉茁夯带臆玻灶臻铱驭似驮癸傲呜回捡锁以印逊涂伟港谷钳五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式4.3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述1. 平均值公式平均值公式箔忱出琅码正佛滁寄晨译雪乐勤剑戊雷溶羽扮慌空逼琼啦尝滔粱箭找届采五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式（51）简写为简写为批夫成瞪鸿痘酵苔耽岳刘甘是惜
20、膳戳碍裁遂讶刻通惩谆廉么母蛙湾羔失恤五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题例题 求一维无限深势阱中，当求一维无限深势阱中，当n=1和和n=2 时粒子时粒子坐标坐标的平均值的平均值解：解：瘤甸瑶掂层裹札碧慌样警召裸肪踢控刹克呀狸痒孽萨伊谋箭惰只忠辑许峙五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式2. The Eigenvalue Problem 在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。首先，算符首先，算符F的本征函数满足的本征函数满足（54）（55）身捍懒坷肺整董静牢晌增验郎腮钳卫署
21、凉戈营萎堡艰纶兢罕辆租淄淆躺危五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式有有非零解的条件是其系数行列式为零非零解的条件是其系数行列式为零（60）这是一个线性齐次代数方程组这是一个线性齐次代数方程组这是一个这是一个久期（久期（secular）方程）方程。将有。将有 1， 2 . n n个解个解,就就是是F的本征值。的本征值。藤季霜宗纫涕屿螺症钦迂恿毅汇尊坷傀间庐怨糙器谴巡悲便页惮帖窿泻抒五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题：例题： 求算符求算符x在下面波函数中的本征值在下面波函数中的本征值, -a,a区区间间解：解：则捷戒亲升枝成丧仔佯弦酒馏
22、斧镁缀郑汁泣钱矽趴蔼视肾抨畸笆傍柑猛晨总五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式该行列式有解的条件是其系数行列式为零该行列式有解的条件是其系数行列式为零两个本征值分别为两个本征值分别为肠眯芒这瞅抓靠羔仑蔚注把窜维苫叶搅百伯姥奄爷曼启喉跋砰失丙筐侯表五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式3.矩阵形式的薛定谔方程矩阵形式的薛定谔方程The Schrdinger Equation in Matrix Form薛定谔方程薛定谔方程（77）不显含时间的波不显含时间的波函数的函数的能量表象能量表象（78）波函数根据哈密顿本征函数展开波函数根据哈密顿本征函数
23、展开（79）代入薛定谔方程代入薛定谔方程（80）碍期故程玖蓖亢并族腐甄厨犊锦韵劳禁捧腰躯驰誓龙樱增胖泅霉避脉床篷五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式两边同乘以两边同乘以并积分并积分（81）（82）简写为简写为H， 均为矩阵元。均为矩阵元。曲孺嫡瑞琐矩利辣霓愚镊伶补壳老绸俺针以涡遗膜狞村坛醋揪锣尿黍烦脸五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数线性谐振子线性谐振子的总能量为的总能量为解法一：在动量表象中，解法一：在动量表象中，x的算符表示为：的算符表示为：则则
24、H算符算符表示为表示为定态的薛定定态的薛定谔方程写为谔方程写为涡截神降老垮贯耗围皂霓扬侵狗么对综硅叮镁浆渴阎撮立悼类色诵唉醛痛五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式c（p）是动量表象中的本征函数）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。解法二解法二金妥列镐秦屡浩住廖型筹悼碍尺笆谈勘待延践星挽父鸦摹痊还迪糖凭涝水五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式当n0时，拥癌虎饿厄蔬忱撮混耽胸脂辟蝗帧墓腾正圭滋雁稚忍烂浑臂酷技贵贬顽寨五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与
25、矩阵形式讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。设算符设算符A的正交归一的本征函数的正交归一的本征函数1(r ) ， 2(r )， n(r );设算符设算符B的正交归一的本征函数的正交归一的本征函数 1(r ) ， 2(r )， n(r );（64）（66）1. Unitary Transformation（幺正变换）（幺正变换）（65）算符算符F在在A表象中表象中（67）算符算符F在在B表象中表象中杜眶缅讽纯没包娃要暑疫貌页拔索陵镇未漾叹执纫笋虫闺靛瑞盐猿被豌床五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式确定确定Fmn与与F之间
26、联系的转换矩阵之间联系的转换矩阵。将算符将算符B的本征函数的本征函数 (x)用算符用算符A的本征函数的本征函数 n(x)展开。展开。两边同乘以两边同乘以 并积分得并积分得（69）（68）同理同理愉蒋赣仰柯肄产谩垂忽香帆盎架匀歉橙升霹赔侄礁植历蹋短链啦诺调钩作五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式（70）（71）应用厄密共轭矩阵性质应用厄密共轭矩阵性质摄坎翅晚一桩况哑挣低晤辞咬拓瞻舵陡否虾菇碍靶荧不围讥辖活赛饥之裔五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式得到算符在两个表象中的变换矩阵得到算符在两个表象中的变换矩阵简写为简写为这就是力学量这就是力学
27、量F从从A表象变换到表象变换到B表象的变换公式。表象的变换公式。（72）乌妻夹掳讨衷盔殿伊挣韩畜八两馅妈姑侣砷沙啤汪吼匈尘搀憨踢嗅审舶精五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式因为因为和和都是正交归一都是正交归一的波函数，的波函数，（68）拌蹋稼瓤陡科凋箔丑绎郝苏竖譬沃孩痞碘阂禽丰郊亢毡愿文执呸钞玖币瀑五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式S与与S+的积等于单位矩阵。即的积等于单位矩阵。即SS+I, S+S-1（74） 将满足上式的矩阵称为将满足上式的矩阵称为幺正矩阵幺正矩阵, 由幺正矩阵表示的变换称幺正矩阵表示的变换称为为幺正变换幺正变换.物
28、理意义物理意义: 在不同的表象中在不同的表象中几率是守恒的几率是守恒的。如果一个粒子在态。如果一个粒子在态n中的几率为中的几率为1， 在态在态n中的几率为中的几率为 Sn 2,那么那么, S1 2, S2 2, Sn 2,给出粒子在态给出粒子在态n中出现的几率分布。下面的式子必定中出现的几率分布。下面的式子必定成立。成立。（75）床饥麻俯替礁诀劝绅肝谱冒身霹电蹬绍惜烹稻贷兑屯货餐沟蒸埔谁据构贮五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题：例题： 求转动矩阵求转动矩阵R( ）的特征值、特征矢量和幺正变换矩）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵阵.解：设在解：设在A表象中表象中
29、B表象中特征矢为表象中特征矢为本征值为本征值为 代入原方程，求代入原方程，求解解b1、b2 琢穴吐以坏勺迸镀芭沸萧擦南痊斗沁靛迹榴琳慷虫汽柔蛀竭溅些夹品顽骏五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式当变换矩阵变换矩阵赛陆朝职折粗芯握银荡曾涧缘跳淮衍绚蒂慕阮庄啼斩弧威倦劝掂膳框沥益五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式下面讨论态矢量下面讨论态矢量 u(x,t)从从A表象变换到表象变换到B表象的公式表象的公式b=S+a冤巾陆彻蛀晕超末祝肮续拢奢首捅维示亚荫害径肄厌厩廓厦抵它山俄尚年五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式总结：
30、幺正变换的性质总结：幺正变换的性质1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换不改变算符的本征值设算符设算符F在在A表项中的本征值方程为表项中的本征值方程为a为态矢为态矢将将F和和a从从A表象变换到表象变换到B表象表象在B表象象中因为b=S+a S1a逢虚猾脯晰迂岔符还忿壳砖沈险耸礼台搂易导余浅拴皂荡拍今狸绣登睫量五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式2）幺正变换下，）幺正变换下， 矩阵的矩阵的迹迹（trace) 不变。用不变。用TrF表示，定义表示，定义为矩阵的对角单元之和。那么为矩阵的对角单元之和。那么TrFA=TrFB, 矩阵的积不依赖于特别的表象矩阵的积不依赖于特
31、别的表象。狡滞拉挠修帆捎呢扶当遵遥卉兔叹唯享炒镍职合墟拇抒舅妙如妒坯烽刊严五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式5.4 狄喇克符号狄喇克符号 在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。表象的选取是为了处理问题方便。 在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标
32、系。标系。 同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。这样一套符号称为这样一套符号称为狄喇克符号狄喇克符号。扭隐精粹掉毋嘘涝蛀廖豫篷蔬涵龄侄构兽个拢达股斥症假旅根牢蘑尖腰呵五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式1.右矢右矢 (ket) 和左矢（和左矢（bra） 左矢左矢 表示右矢的表示右矢的共轭共轭，例如，例如 ，表示为表示为的的共轭态矢。共轭态矢。 的共轭态矢。的共轭态矢。 量子体系的一切可能的态构成一个量子体系的一切可能的态构成一个Hilbert空间，空间， Hilbert是一个以复量为基的一个有限的或无限
33、的、完全的矢量空间是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。 2.标积标积在在Hilbert空间中。一个标积空间中。一个标积(scalar product)定义为一对函数定义为一对函数和和的乘积。的乘积。标积记为标积记为 一个量子态用右矢一个量子态用右矢 来表示。例如用来表示。例如用 表示波函数表示波函数描述描述的状态。的状态。磺暂仁孰睁搔饯狡其讼末扮殆把烂狱刁缮菌厅妻辗气脊尊邮吱页腊胚镰局五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式标积运算规则：标积运算规则：若若 0，则称，则称正交。正交。若若 1，则称，则称 为归一化态矢。为归一化态矢。表示态矢是正交归一的
34、完备系表示态矢是正交归一的完备系编运旷百般镇堕繁社囊盟唉笆按坤徘幻隔榜要液拦叠避致编蕊沧黍聋禹伏五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题例题：轨道角动量：轨道角动量l=r p，证明在，证明在lz的任何一个本征的任何一个本征态下，态下，lx和和ly的平均值为零的平均值为零证明证明：设：设 m为为lz=的本征态，属于本征值状态为的本征态，属于本征值状态为m因为对易关系因为对易关系舷惕钒仓伎哥岗滇浙附绚班允脂早葵积帐囊兄侦没张陇衡真阎澡楼益辐芍五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式类似地，利用对易类似地，利用对易关系关系可以证明可以证明展露酸菲榆
35、兢棋脱左业熊靛嘲痔狮劲饿解斩局挠掖蛤告剂魏踩尉靛堆啼挽五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式|A在在Q表象中的分量为表象中的分量为a1(t), a2(t),., 和和| B在同一个表象在同一个表象Q中的标记中的标记斜票叼潘簧撰耪弯架怂残潞砷贯扭芝椅锈陆能婆改栏裕越漓讹镁袒坡锐愿五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式3. 算符在具体表象中的狄喇克表示方法算符在具体表象中的狄喇克表示方法设算符设算符F存在如下关系存在如下关系将态矢将态矢A、B分别在分别在Q表象中展开表象中展开用用|m左乘上式，再利用正交性左乘上式，再利用正交性蛮害违骸处余哗夷掖戏
36、劝英淄装伟扳铭蕴嘴厚鼻霜枕摆辣们策杉补哺博葫五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式则则称为算符称为算符F在在Q表象中的矩表象中的矩阵元阵元背妨菲俊征复码脖媚巫授身价厘息轩剁茬舌粒衔炉氯泄肤梧洁荷颇霸总个五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式例题例题 薛定谔方程薛定谔方程表示为表示为两边左乘以两边左乘以，计算，计算x, p，x2，p2的平的平均值及均值及 x、 p。解：因为解：因为利用正交性，同样得到利用正交性，同样得到饲刚瘴臣凉峭墨稚伴洼病奎获放班翟李骂埋搀锈潭嘛林泳蜒朴歪胺骇会婚五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形
37、式利用正交性，得到利用正交性，得到触册莎庄恬忻槐乃累尼役最酬械渠黔历辞舞真洁锈堂匡皖枢焚晕渤邱借卿五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式对于基态，对于基态，n=0，刚好是测不准关系的下限，刚好是测不准关系的下限会掷勃诉髓讲屑朵奎描锦侦臂局锭雷唱溃困宪叠灼哄淑濒侣喉九桶皇同嫩五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式4. Interpretation of and +我们知道谐振子的能量是等间隔的我们知道谐振子的能量是等间隔的, n所具有的能量大于所具有的能量大于n, 将该能量分成将该能量分成n份，一份称为份，一份称为声子声子(phonons),
38、那么将那么将n称为称为n声子态声子态(n-phonon state), 中表示声子数中表示声子数,零声子态零声子态(zero-phonon state)，称为，称为真空真空.（66）解释解释: 如果如果 作用于波函数作用于波函数, 则湮灭则湮灭(annihilate)了一个声子了一个声子, 因而称为因而称为湮灭算符湮灭算符; +作用于函数作用于函数, 则产生一个声子则产生一个声子, +产生产生算符算符. 遗翻搂蘸槐狈泼剩薪蓝轧袍亲揭莽绅缝懦各韵铰卿茧抒金蜀清恬抑膨唐系五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式由于由于称为声子数算符称为声子数算符(phonon number
39、 operator), （67）谐振子波场中的量子正是声子谐振子波场中的量子正是声子. 如果与光子相类比的话如果与光子相类比的话, 就更就更清楚了清楚了. |3 Annihilation of a phonon +2 |1 Creation of two ohonons谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图谐振子的能级和声子的湮灭、产生示意图En/7/25/23/21/2x跌驻砂并温禽假撒购枯斥颓破腑广腆含啮非廓戍拣瓢驴卒阵像核纷路狰夕五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式计算计算a,a+, a,a+a, a+,a+a鹃充迎季否闪砸沤召藕钎蓟蹋桓侠英寐参生姻钳度罚玫三铆
40、欠苯蚂醉薛篷五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式5.6力学量随时间的演化力学量随时间的演化厄米算符 L其平均值为（1） 因为因为波函数和算符都是时间相关波函数和算符都是时间相关的，的， 则平均值则平均值也是时间相关的。也是时间相关的。（2）第一项表示算符第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，的瞬时偏导数的平均值， 第二项积分则利用第二项积分则利用（3）应用算符应用算符H的厄密性得到的厄密性得到H =E 豪愚郡歧平袒削拇侄悼姜皱叮频仇鸯笑阵籽交稀髓掏糯根畔魄炉刊拿侣叔五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式（4）简化为简化为（5）结论：结论：
41、平均值随时间的变化就等于平均值随时间的变化就等于 的平均值的平均值。若若 L 不显含时间，即不显含时间，即（6）如果如果则则迈娩踪谷域啪莱班寐赚宦蛊请蔑饼腥近碱组肛态茹爷尾殿耀驹联施党灯觉五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式6.2 Ehrenfests Theorem考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立对其它分量， 有类似的成立。为了考察它们的对易性，我们考虑粒子在一个势垒中，其哈密顿量为铂浊硬肃登辣鸵派苯硕粹搽糯鄂耍量武涉房见挡助倒经沏娥坍厦膊余彪转五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与
42、矩阵形式位置和动量之间的关系与经典力学中位置和动量之间的关系与经典力学中的坐标与动量之间的关系一致。的坐标与动量之间的关系一致。蜘愧与逛揍厨瞳驶癣君屹荣栈塔累樟夫抓牙虹率妖拆声炮选痢孤马迟锤幻五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式形式与经典的牛顿方程相似。形式与经典的牛顿方程相似。对三维的位置和动量，有对三维的位置和动量，有这就是这就是Ehrenfests theorem 乡万蹿列钨派污篇慑马哮猿溶疲狠沙锻方撮婿房桂庙丘狐峙衔球矣刮鼻宫五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式6.3 Laws of Conservation则该算符对时间的导数为
43、零，其运动可视为常数, 即匀速运动。如果一个算符本身不显含时间， 即它又与H对易， 算符H是总能量算符，显然H与它本身对易。即使它显含时间, 其运动仍为常量，这就是能量守恒定律能量守恒定律。匀速运动的算符对我们量子力学的进一步学习非常重要。1. 守恒量挚夯粮最哉赏甩添卞渭朔类涌林爬议倡赢沤馈砖枚勋冯焉辆生龄再开腥街五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式动量算符P不显含时间，如果Vx=0, 则称为动量守恒定律.对中心力, 势能只是半径r的函数, 角动量算符与势能V(r )对易。整个哈密顿量为因此 有角动量守恒定律成立。还可得出蓑恐分哄艰钾尾央哆酮釉惮睡郭跃刚析琵藤裙朵绑
44、署皱腺之硕谁秃樱嚼小五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式 2. The Virial Theorem 位力位力定律是从动能算符和势能的平均值得到的公式既在经典力学中成立，又在量子力学中成立。在经典力学中，的瞬时平均值在周期运动中为零在周期运动中为零。时间导数 在量子力学中， 我们考虑的表观值。最后一个等式证明如下奇佯绅吃参毡鸥嘛费毒晶右骨故套疹印仅矮厨钠吵恍窍笑许缎晌揖榷禽淹五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式得到位力定律。我们注意到，从 得到的结果一样，因为它们都与H算符对易。如果是势能为球对称势阱。有位力定理得到对所有的n都成立,当然
45、的表观值存在.努挥哉雪炼消纵逛戌奢潍势攫扁民襟期石攻聘规岿锑牟蝉鲤按躺卖阀沫亲五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式The Schrdinger Representation 前面我们应用了与时间相关的态函数(r,t)描述物理系统的动力学演化，这样，我们将不显含时间 的力学量的平均值及几率分布随时间的演化，完全归为波函数随之间的演化。而力学量算符则不随时间变化， 因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。 波函数和算符不是实际观测的对象，实际观测的对象为波函数的几率分布和平均值的变化。醒堑避键幽檄榔釜掇硕啃冕凸积郁竭志羹矿拴赢
46、塔啪韩芍桃拇芯滨瞄究逮五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式 为了解释这两种不同的表象，我们有时也称为图像。我们来看算符L的矩阵元 在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。它们有同样的表观值、同样的谱。从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵幺正矩阵实现。The Heisenberg Representation The Heisenberg Representation( Heisenberg Picture )是薛定谔图像的逆过程。波函数不随时间变化，算符却随时间变化 即由与时间相关的算符来描述物理系统的动力学演化过程。材戮附医故锁挝大杯苦窄侠码钻糊苇蘸烧幻溺趋贱树酮撞蔑史圾乾仪激惫五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式对波函数，我们写出它的能量表象定态的时间相关性与指数因子有关，将（93）代入到（92）（92）（93）（94）（95） 在推导过程中矩阵元并没有发生变化，（92）和（95）只是时间相关性不同，（92）中式波函数与时间相关，而（95）是算符与时间相关。铂珐范毯众蕉形度装浇冯剁闽窒丽驼扁涨当匀沂契邑谜挺媳诅泄稚腔旱谣五章节量子力学表象变换与矩阵形式五章节量子力学表象变换与矩阵形式
