推荐期望效用理论

第二第二章章 期望效用理论期望效用理论一、个体行为决策准则一、个体行为决策准则（一）偏好关系（一）偏好关系(决策的前提是排序决策的前提是排序) 效用效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的 偏好关系偏好关系（（preference relation)是指消费者对不是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序它可以用一种两维（或同商品或商品组合偏好的顺序它可以用一种两维（或二二元元）关系（）关系（binary relation）表述出来表述出来 经济上，偏好关系是指参与者对所有可能的投资（消经济上，偏好关系是指参与者对所有可能的投资（消费）计划的一个费）计划的一个排序排序 1.偏好关系的偏好关系的表述表述 令令C 为商品（或者消费）集合，为商品（或者消费）集合，C 中有中有A 种可供选择计种可供选择计划方案f是采取计划是采取计划a,消费消费c的一个结果的一个结果，或者得到的，或者得到的效用我们可以在消费集合上建立下面的效用我们可以在消费集合上建立下面的偏好关系偏好关系（（preference relation）或者偏好顺序）或者偏好顺序（（preference ordering），），满足满足：： （（1）） x弱偏好于弱偏好于y，，x 至少与至少与y 一样好。

一样好 （（2）） x强偏好于强偏好于y ；； （（3）） 无差异于无差异于x 、、y；即：；即： 和和 例子例子: 可以建立偏好关系可以建立偏好关系(单课成绩与总成绩单课成绩与总成绩;某基金公某基金公司的多个基金的业绩司的多个基金的业绩)与不可以建立偏好关系与不可以建立偏好关系(多课程绩多课程绩). 2.偏好应满足的基本公理（偏好应满足的基本公理（Axiom）条件：）条件： （（1））完备性完备性（（completeness））: 中有中有一种一种关系成立关系成立 完备性假定保证了消费者具备选别判断的能力完完备性假定保证了消费者具备选别判断的能力完备性的意义：任何两个投资（消费）计划一定有一个是备性的意义：任何两个投资（消费）计划一定有一个是优的，或者两个是无差异的它优的，或者两个是无差异的它排除了投资计划之间无排除了投资计划之间无法比较的可能性法比较的可能性（（2）自返性（）自返性（reflexivity）：）： ，则有则有 自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一一贯性。

贯性 （3）传递性传递性： 传递性传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一贯性传递性也是偏好的贯性传递性也是偏好的一致性一致性条件，如果两个参与者条件，如果两个参与者的偏好违反了传递性，那么其行为因为缺乏一致性而违的偏好违反了传递性，那么其行为因为缺乏一致性而违背背理性理性同理：  违背传递性的结果违背传递性的结果：一个投资者的偏好关系：一个投资者的偏好关系a，，b，，c, 如果如果 a > b，，b>c, 而而c > a. 可以作以下交易：可以作以下交易： 以价格以价格p 卖给他卖给他c，用，用b与他交换与他交换c,由于对他来讲由于对他来讲b>c,他愿意额外他愿意额外支付一个价格支付一个价格q1; 用用a与他交换与他交换b,由于对他来讲由于对他来讲a>b,他愿意额外支付一个价格他愿意额外支付一个价格q2; 用用c与他交换与他交换a,由于对他来讲由于对他来讲c>a,他愿意额外支付一个价格他愿意额外支付一个价格q3; 最后我们用价格最后我们用价格p购回购回c, 这样又回到了原始状态。

但他付出了这样又回到了原始状态但他付出了q1+q2+q3. 如果他还坚持他的这种偏好，可以继续不断地与他进行这种交易，如果他还坚持他的这种偏好，可以继续不断地与他进行这种交易，直至他的财富为零直至他的财富为零 传递性也是理性经济人的基本要求之一传递性也是理性经济人的基本要求之一  （（4））连续性连续性（（continunity）） 对于任意的对于任意的X、、y，集合，集合 和和 是是闭集闭集，， 和和 是是开集开集 即如果即如果x是一组是一组至少与至少与y一样好的一样好的消费束，消费束，而且它趋近于另一消费束而且它趋近于另一消费束z，则，则z与与y至少同样至少同样好好这样就可以得到一条连续的无差异曲线这样就可以得到一条连续的无差异曲线也即如果两个计划也即如果两个计划非常接近非常接近，那么他们的，那么他们的排序排序也应该是非常接近也应该是非常接近的  （（4）单调性（）单调性（monotonicity）） ， 单调性说明单调性说明增加一点商品至少与原来的情增加一点商品至少与原来的情况同样好况同样好。

只要商品是有益的，单调性就必然只要商品是有益的，单调性就必然成立 强单调性说明同样的物品，如果其中强单调性说明同样的物品，如果其中有些有些种类的数量严格多于原来的物品种类的数量严格多于原来的物品，消费者则必，消费者则必定严格偏好于他们定严格偏好于他们 且 则（（5）局部）局部非饱和性非饱和性（（local non-satiation）） 和和 ，总存在，总存在 使得使得 在技术上，局部在技术上，局部非饱和性和单调性非饱和性和单调性保证了无保证了无差异曲线具有一个差异曲线具有一个负（或正的）的斜率负（或正的）的斜率 （（6））凸性凸性（（convexity）） 严格凸性（严格凸性（strictly convexity）：）： 凸性可理解为凸性可理解为边际替代率递减边际替代率递减 注意：凸性是凹函数的特征：注意：凸性是凹函数的特征：（二）确定性环境下的效用函数（二）确定性环境下的效用函数 1.基数效用与序数效用基数效用与序数效用 基数效用：基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的世纪的一些经济学家如英国的杰文斯杰文斯、奥地利的、奥地利的门格尔门格尔等认为，人的福利或等认为，人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中所获得的满意可以用他从享用或消费过程中所获得的效效用来度量用来度量。

对满意程度的这种度量叫做基数效对满意程度的这种度量叫做基数效用用. 序数效用：序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托世纪意大利的经济学家帕累托等发现，等发现，效用的基数性是多余效用的基数性是多余的，消费理论完全的，消费理论完全可以建立在序数效用的基础上所谓可以建立在序数效用的基础上所谓序数效用是序数效用是以效用值的大小次序来建立满意程度的高低以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而，而效用值的大小本身并没有任何意义效用值的大小本身并没有任何意义. 2.效用函数定义效用函数定义 如果对于如果对于 有有 和和成立，则函数关系成立，则函数关系 是一个是一个代表了偏代表了偏好关系的效用函数好关系的效用函数 p在确定的环境下，效用函数实现了序数关系在确定的环境下，效用函数实现了序数关系与基数关系的与基数关系的转换转换  定理定理1：： 一个效用函数可以通过一个效用函数可以通过正单调变换正单调变换而获得另一个而获得另一个效用函数与原来的效用函数效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好具有同样的偏好关关系：系： 且且 是单调递增函数，则有：是单调递增函数，则有：  定理定理2：： 如果消费者在消费集如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有上的偏好关系具有完备性、自返性，传递性和完备性、自返性，传递性和连续性连续性，则，则存在存在一一个能够代表偏好顺序的个能够代表偏好顺序的连续连续效用函数效用函数u :C→R。

3、消费者效用最大化问题、消费者效用最大化问题 令令 则最大化问题为：则最大化问题为： 上述约束式为瓦尔拉斯（上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集，）预算集，C为为消费数量，消费数量，Q为消费价格为消费价格 最优解：最优解： （三）（三）不确定性环境不确定性环境下的行为选择下的行为选择 1.关于风险与不确定性关于风险与不确定性 奈特（奈特（Knight.F））《《风险、不确定性和利润风险、不确定性和利润〉〉中关于确定性、风险和不确定性的解释：中关于确定性、风险和不确定性的解释： 确定性确定性：是指自然状态：是指自然状态如如何出现已知，并替换何出现已知，并替换行动所产生的结果已知它排除了任何随机事件行动所产生的结果已知它排除了任何随机事件发生的可能性发生的可能性  风险风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但问题，但排除了未数量化的不确定性排除了未数量化的不确定性问题即对于未来可问题。

即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识但对于识但对于哪一种事件会发生却事先一无所知哪一种事件会发生却事先一无所知 不确定性：不确定性：是指发生结果未知的所有情形，也即那些决是指发生结果未知的所有情形，也即那些决策的结果明显地策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题即即知道未来世界的可能状态知道未来世界的可能状态（结果），但（结果），但对于每一种状态对于每一种状态发生的概率不清楚发生的概率不清楚Knight 不承认不承认“风险风险=不确定性不确定性”，提出，提出“风险风险”是有是有概率分布的随机性，而概率分布的随机性，而“不确定性不确定性”是不可能有概率分是不可能有概率分布的随机性布的随机性Knight 的观点并未被普遍接受但是这一观点成为研究的观点并未被普遍接受但是这一观点成为研究方法上的区别方法上的区别 由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中实际中常常常根据常根据主观概率或者设定一个概率分布主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果来推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险。

即风险与不确定性有区别，但在操作件同时视为风险即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了，界线就模糊了，几乎几乎成为一个成为一个等同等同概念风险来源的不同看法（习惯）风险来源的不同看法（习惯）p风险与不确定性联系在一起风险可以由其收益的不可风险与不确定性联系在一起风险可以由其收益的不可预测性的预测性的波动性波动性来定义，而不管收益波动采取什么样的来定义，而不管收益波动采取什么样的形式p风险与其可能带来的不利后果相联系，风险可以由收益风险与其可能带来的不利后果相联系，风险可以由收益波动的损失波动的损失来定义p风险是与风险是与不确定性不确定性和相应的和相应的不利后果不利后果相联系的，即以价相联系的，即以价格或收益的波动格或收益的波动(为代表为代表)衡量不确定性，在这种不确定衡量不确定性，在这种不确定性给投资者带来损失时就构成一项经济活动的风险性给投资者带来损失时就构成一项经济活动的风险在投机与赌博中的风险在投机与赌博中的风险p风险：承担风险一定要求风险补偿风险：承担风险一定要求风险补偿。

p投机：在获取相应报酬时承担一定的风险投机：在获取相应报酬时承担一定的风险p赌博：是为一个不确定的结果打赌或下注赌博：是为一个不确定的结果打赌或下注2.不确定性下的偏好选择不确定性下的偏好选择 （（1）不确定性下）不确定性下选择的表述方法选择的表述方法 自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因素 通常我们用通常我们用S表示表示自然状态的集合自然状态的集合：：S={1，，…，，S} 自然状态的特征：自然状态的特征： 自然状态集合是自然状态集合是完全的、相互排斥完全的、相互排斥的（即有且只有一种的（即有且只有一种状态发生）状态发生） 自然状态的信念自然状态的信念（（belief）：个体会对每一种状态的）：个体会对每一种状态的出现出现赋予一个主观的判断赋予一个主观的判断，即某一特定状态，即某一特定状态s出现的概率出现的概率P（（s）满足：）满足： 0≤p（（s））≤1，， 这里的概率这里的概率p（（s）就是一个）就是一个主观概率主观概率，也成为个体对自，也成为个体对自然的信念不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，然的信念。

不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但我们通常假定但我们通常假定所有的个体的信念相同所有的个体的信念相同，这样特定状态出，这样特定状态出现的概率就是现的概率就是唯一唯一的 例子例子：两种状态与用概率（信念）刻画的两种状态：：两种状态与用概率（信念）刻画的两种状态：①①状态依存结果的优序选择（状态依存结果的优序选择（状态偏好方法状态偏好方法）） 用用彼此排斥和详尽无遗彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合，而的自然状态组成的集合，而不不是用概率来反映个人所面临的随机性是用概率来反映个人所面临的随机性 假定：假定：X:X:不确定环境下可选择行为的集合不确定环境下可选择行为的集合; ; S: S:可能的状态集合可能的状态集合 C:C:可选择行为的结果的集合可选择行为的结果的集合 行为行为x X和和s   S结合产生的结果结合产生的结果c C 函数函数 把把行为、状态和结果对应起来行为、状态和结果对应起来：： 当经济主体在当经济主体在可行的行为之间进行选择可行的行为之间进行选择时，他们以时，他们以被被选行为产生的结果为基础进行选择选行为产生的结果为基础进行选择。

但是行为对于决定特但是行为对于决定特别的结果来说，常常是不充足的别的结果来说，常常是不充足的其他因素会与选择的行其他因素会与选择的行为相互作用产生一个特别的结果为相互作用产生一个特别的结果这些其他因素，超越了这些其他因素，超越了经济行为人的控制，被称为经济行为人的控制，被称为自然状态（下不下雨，升降）自然状态（下不下雨，升降） 大量的自然实状态的存在大量的自然实状态的存在使得目前所采取的使得目前所采取的任何行为任何行为的将来结果是不确定的将来结果是不确定的的 在决定行为的过程中，在决定行为的过程中，主体对自然状态是不确定的主体对自然状态是不确定的，，这些状态将共同确定被选行为的结果这些状态将共同确定被选行为的结果选择行为选择行为x x就为每就为每一自然状态决定了一个结果一自然状态决定了一个结果c= ，， 对对X中行为的选中行为的选取从而被视为对取从而被视为对依赖状态（或偶然状态）结果的选取依赖状态（或偶然状态）结果的选取 通过观察函数通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条件可以容易区分确定条件下和不确定条件下的决策下的决策 若若c= 关于关于自然状态是不变的自然状态是不变的，即自然状态不会，即自然状态不会影响产生的影响产生的结果结果，则可以认为是确定条件下的决策。

则可以认为是确定条件下的决策 若若不同的状态导致不同的结果不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定，则可以认为是不确定条件下的决策条件下的决策 例子：风险投资基金投资到一个企业，这个例子：风险投资基金投资到一个企业，这个企业上市和不上市两个状态（企业上市和不上市两个状态（不赋予信念不赋予信念），），风险基金的行为可以投资（股份比例不一样）风险基金的行为可以投资（股份比例不一样）或不投资，对于风险投资公司来说的投资结或不投资，对于风险投资公司来说的投资结果 ②②行为结果的概率分布选择行为结果的概率分布选择(概率方法概率方法) 既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函数既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函数 来描述，来描述， 在在S上定一个概率测度上定一个概率测度：： 对任意对任意x  X，存在一个，存在一个C上的概率分布：上的概率分布： 这个概率表述表明，这个概率表述表明，在一个行为既定的情况下，特定在一个行为既定的情况下，特定结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可能性状态结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可能性状态的概率。

的概率由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主体选择的行为，因此，我们可以等价地认为，体选择的行为，因此，我们可以等价地认为，对于行为对于行为结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择 因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主体体在不同的概率分布中进行选择在不同的概率分布中进行选择这意味着，行为主体表这意味着，行为主体表现自己偏好关系的可行行为集合现自己偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：必须具备如下性质： 在这种情况下，我们可以用定义在在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数上的一个函数P（（.）来表示行为）来表示行为x，其中，，其中，p（（c）是使选择）是使选择x的结果等于的结果等于c的概率，的概率，与状态与状态s和行为和行为x有关有关 因此，因此，对于所有的结果对于所有的结果c∈ ∈C，， p（（c））≥0 且且 有了概率描述不确定性，就可以进行理性决策了有了概率描述不确定性，就可以进行理性决策了。

上面例子：上市的概率上面例子：上市的概率60％，上市的概率％，上市的概率40％，针对不％，针对不同的投资行为，投资公司的投资计划（结果）是可以确同的投资行为，投资公司的投资计划（结果）是可以确切计算：切计算：不确定条件下的选择的两种方式比较：不确定条件下的选择的两种方式比较：p第一种在第一种在依存状态的结果之间依存状态的结果之间进行的选择进行的选择（定性决策，事后）（定性决策，事后）p第二种在不同结果的第二种在不同结果的概率分布之间概率分布之间进行的选进行的选择（定量决策，事前）择（定量决策，事前）p当然，只是一种矛盾的转移，当然，只是一种矛盾的转移，转移的价值转移的价值与与选择的工具所带来的价值选择的工具所带来的价值有关（（2）不确定性下的理性决策原则）不确定性下的理性决策原则 A.数学期望数学期望最大化原则最大化原则 数数学学期期望望收收益益最最大大化化准准则则是是指指使使用用不不确确定定性性下下各各种种可可能能行行为为结结果果的的预预期期值值比比较较各各种种行行动动方方案案优优劣劣这这一一准准则则有有其其合合理理性性，，它它可可以以对对各各种种行行为为方方案案进进行行准准确确的的优优劣劣比比较较，，同同时时这这一一准准则则还还是是收收益益最最大大准准则则在在不不确确定定情情形形下下的的推推广广。

收益最大准则只有收益最大准则只有在确定环境才可以计算收益：）在确定环境才可以计算收益：）例例1 1：固定利率的国债和存款；（：固定利率的国债和存款；（4 4％，％， 3.53.5％）％）例例2 2：：固固定定利利率率的的国国债债和和浮浮动动利利率率的的存存款款（（4 4％％，，3 3％％＋＋cpicpi，，cpicpi是是一一个个随随机机变变量量，，cpicpi升升2 2％％的的概概率率60%60%，，升升1 1％％的的概率概率4040％） （（2）不确定性下的理性决策原则）不确定性下的理性决策原则 A.数学期望最大化原则数学期望最大化原则问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下的行为决策准则？的行为决策准则？  典型案例：典型案例：圣彼德堡悖论圣彼德堡悖论（（Saint Petersbury Paradox）） 考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以得到得到1元，元，第一次反面，第二次正面得第一次反面，第二次正面得 2 2 元，前两次反元，前两次反面，第三次正面得面，第三次正面得 4 4 元，元，…………如果前如果前 n-1 n-1 次都是反面，次都是反面，第第 n n 次出现正面得次出现正面得 元。

问：游戏的参加应先付多元问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场赌博是少钱，才能使这场赌博是““公平公平””的？的？ 该游戏的数学期望值：该游戏的数学期望值： 但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意支付的成本（门票）仅为支付的成本（门票）仅为2-3元 圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何人们只愿意支付有限的价格？人们只愿意支付有限的价格？  B.期望效用原则期望效用原则 Daniel Bernoulli （（1700-1782）是出生于瑞）是出生于瑞士名门著名数学家，士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡年期间一直在圣彼德堡科学院研究投币游戏其在科学院研究投币游戏其在1738 1738 年发表年发表《《对机遇性赌博的对机遇性赌博的分析分析》》提出解决提出解决““圣彼德堡悖论圣彼德堡悖论””的的““风险度量新理风险度量新理论论””指出人们在投资决策时不是用指出人们在投资决策时不是用““钱的数学期望钱的数学期望””来来作为决策准则，作为决策准则，而是用而是用““道德期望道德期望””来行动的。

而道德期来行动的而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关穷人与富望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的人对于财富增加的边际效用是不一样的钱的效用期望钱的效用期望””即人们关心的是即人们关心的是最终财富的效用最终财富的效用，而不是，而不是财富的价值量财富的价值量，，而且而且，财富增加所带来的，财富增加所带来的边际效用边际效用（货币的边际效用）是（货币的边际效用）是递减递减的 伯努利选择的伯努利选择的道德期望函数为对数函数道德期望函数为对数函数，即对投币游戏，即对投币游戏的期望值的计算应为对其的期望值的计算应为对其对数函数对数函数期望值的计算：期望值的计算：  其中，其中， 为一个确定值为一个确定值 另外，另外， Crammer（（1728）采用）采用幂函数幂函数的形式的效的形式的效用函数对这一问题进行了分析假定：用函数对这一问题进行了分析假定： 则则  因此，因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受的结果。

不可接受的结果而贝努力提出的用而贝努力提出的用期望效用取代期望收期望效用取代期望收益益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案供最终的解决方案 根据根据期望效用期望效用，，20%的收益不一定和的收益不一定和2倍的倍的10%的收的收益一样好，益一样好，可能更好可能更好；；20%的损失也不一定与的损失也不一定与2倍的倍的10%损失损失一样糟一样糟 ，，可能更糟可能更糟，符合温水煮青蛙原理符合温水煮青蛙原理 原因是对财富经过一个效用函数变换，只有线性函数，原因是对财富经过一个效用函数变换，只有线性函数，才能保证可加性才能保证可加性 另另一一方方面面，，对对于于证证券券投投资资来来讲讲，，只只追追求求期期望望收收益益最最大大化化的的投投资资者者绝绝不不会会选选择择一一个个多多元元化化的的资资产产组组合合如如果果一一种种证证券券具具有有最最高高的的期期望望收收益益，，这这个个投投资资者者会会把把他他的的全全部部资资金金投投资资于于这这种种证证券券如如果果几几种种证证券券具具有有相相同同的的最最大大化化期期望望收收益益，，对对这这个个投投资资者者来来说说，，投投资资于于若若干干这这些些证证券券的的组组合合或或者者只只是是其其中中的的某某一一种种证证券券是是无无差差别别的的。

由由此此可可见见，，如如果果我我们们认认为为多多元元化化是是投投资资的的基基本本原原则则的的话话，，我我们们必须否定仅仅最大化期望收益原则的目标假定必须否定仅仅最大化期望收益原则的目标假定 C.后期望效用理论：后期望效用理论： 由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释的新的解释 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体判断标准期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途 （一）效用函数的表述和定义（一）效用函数的表述和定义 不确定性下的选择问题是其不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定效用最大化的决定不仅对不仅对自己自己行动的选择行动的选择，也取决于，也取决于自然状态本身的选择自然状态本身的选择或随机变或随机变化。

化 因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery））或未定商品（或未定商品（contingent commodity））  设想消费者参加一次抽奖（设想消费者参加一次抽奖（lottery），所有可能产生），所有可能产生的结果集为的结果集为C，假定，假定C的结果是有限的，我们用的结果是有限的，我们用N=1，，…，，N来标示这些结果，每一结果发生的概率为来标示这些结果，每一结果发生的概率为 ，这样，，这样，我们可将该简单抽奖（我们可将该简单抽奖（simple lottery）记为：）记为：期望效用表述（期望效用表述（expected utility representing）：）： 对一件抽奖商品的对一件抽奖商品的期望效用期望效用表示为对表示为对抽奖结果的效用函抽奖结果的效用函数的数学期望数的数学期望: 其中，其中， 是是VNM效用函数效用函数 更一般地，我们可以表述为：更一般地，我们可以表述为：  其中，其中， 是一个随机变量。

其含义为：一是一个随机变量其含义为：一种未定商品种未定商品的效用等于该未定商品所涉及的确定商品的效用的均值的效用等于该未定商品所涉及的确定商品的效用的均值 例子：在不确定性下，某证券收益是例子：在不确定性下，某证券收益是随机变量随机变量r，我们假设该证券的收益只有简单的两种状，我们假设该证券的收益只有简单的两种状态态a和和b, 收益分别是收益分别是ra和和rb,每种状态发生的每种状态发生的概率都是概率都是50％，发生状态％，发生状态a的投资者效用是的投资者效用是U(ra),发生状态发生状态b时的投资者获得的效用是时的投资者获得的效用是U(rb),由于每种状态发生的机会都是一半，由于每种状态发生的机会都是一半，因此简单的想法就是把每种状态获得的效用，因此简单的想法就是把每种状态获得的效用，以及它所发生的概率为权重，得到的平均值作以及它所发生的概率为权重，得到的平均值作为不确定性下的投资者效用，即：为不确定性下的投资者效用，即： U(r)=50%*U(ra)+50%*U(rb)（二）期望效用函数的公理化陈述（二）期望效用函数的公理化陈述 1.阿基米德公理（阿基米德公理（Archimedean Axion）对于）对于p,q,r   C,p>q>r, 则存在实数则存在实数a ,b  (0,1)使得使得 ar + (1-a)p > q > bp+(1- b)r.p第一个不等式的含义是第一个不等式的含义是不存在无限差不存在无限差的消费计划。

再差的消费计划再差的消费计划的消费计划r，与好计划，与好计划p组合时，当计划组合时，当计划r发生的概率发生的概率足够小时足够小时，，r与与p的组合就会的组合就会好于中等计划好于中等计划qp第二个不等式的含义是第二个不等式的含义是不存在无限好的不存在无限好的消费计划没有消费计划没有哪一个消费计划哪一个消费计划p好到使得对任意满足好到使得对任意满足q>r的消费计划的消费计划q,r，无论概率，无论概率b多么小，组合多么小，组合bp+(1-b)r不会比不会比q差 2.独立性公理独立性公理或替代公理，或替代公理，Independent or Substitute Axiom）对于）对于p,q   C, p>q, 意味着意味着 ap+(1-a)r> a q+(1- a)r, 对任意对任意r   C , 任意任意a   (0,1)q含义含义:引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变原引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变原有的偏好有的偏好也即消费者对于一个给定事件中的消费也即消费者对于一个给定事件中的消费p、、q的满意程度并不依赖于如果另外事件发生时，消费的满意程度并不依赖于如果另外事件发生时，消费r将会是什么。

将会是什么q例子：例子：100万投资到万投资到p,q；；q 70万投资到万投资到p,q，，30万投资到万投资到r  3. 独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供了把不确定性嵌入决策模型的基本结构通过该假设，供了把不确定性嵌入决策模型的基本结构通过该假设，消费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个消费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定独立部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定 4、期望效用函数存在唯一性定理：定义在、期望效用函数存在唯一性定理：定义在C上的偏好关系，若它满足阿基米德公理与独上的偏好关系，若它满足阿基米德公理与独立性公理，则该偏好关系可以立性公理，则该偏好关系可以 用用von Neumann and Morgensern期望效用期望效用函数表示，并且期望函数表示，并且期望效用函数效用函数是唯一的是唯一的 5、期望效用准则的矛盾、期望效用准则的矛盾 反对期望效用准则的最有趣和最相关的论证，反对期望效用准则的最有趣和最相关的论证，通常包括这样的特例：通常包括这样的特例：受试者经过深思熟虑受试者经过深思熟虑之后，反而会选择不符合该准则的行动方案之后，反而会选择不符合该准则的行动方案。

结论只能是，结论只能是，或者期望效用准则不是理性行或者期望效用准则不是理性行为，或者人们有一种非理性的天生偏好，即为，或者人们有一种非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的时候使是在他思考最多的时候 例例1.投资者可以选择以下投资者可以选择以下3种彩票：种彩票： 彩票彩票A赢得赢得1000美元的机会是美元的机会是1/1000；； 彩票彩票B赢得赢得100美元的机会是美元的机会是1/100；； 彩票彩票C是是AB的组合，的组合，赢得赢得1000的机会是的机会是1/2000，赢得，赢得100美元的机会是美元的机会是1/200 o你会选择哪一种彩票你会选择哪一种彩票？？A,B,or C?o选选C的的A or B?58o要要求求受受试试者者在在方方案案A,B,C之之间间进进行行选选择择，，他们经常会表示出对他们经常会表示出对C的明确偏好的明确偏好o但是，但是，UC不可能比不可能比UA 和和UB更大o对对那那些些显显示示偏偏好好C的的受受试试者者，，我我们们可可以以继继续续提提问问，，问问他他们们在在A和和B之之间间是是否否更更偏偏好好A或或者相反争论仍然存在争论仍然存在 59o为具体起见，我们假定为具体起见，我们假定A偏好偏好B。

我们再来我们再来询问他是否愿意要确定性的询问他是否愿意要确定性的A或者要得到或者要得到A或或B的机会各半的方案换言之，我们是的机会各半的方案换言之，我们是直接选中直接选中A还是通过抛硬币来决定选还是通过抛硬币来决定选A或或B?o实验证明，那些表示实验证明，那些表示A偏好偏好B的投资者一致的投资者一致认为，他们愿意选择认为，他们愿意选择A，而不是，而不是A或或B的机的机会各半 60o不难发现，抛硬币选择不难发现，抛硬币选择A或或B的结果的概率的结果的概率分布于彩票分布于彩票C的分布完全相同因此我们可的分布完全相同因此我们可以将投资者的偏好概括如下：以将投资者的偏好概括如下：C偏好偏好A；；A偏偏好好A或或B各各50%；但是；但是A和和B各各50%又恰又恰好与好与C一样好因此一样好因此C明确偏好明确偏好A, A明确偏明确偏好好C—矛盾 61例例 2：：阿莱斯悖论阿莱斯悖论方案方案A：确定得到：确定得到100万万美元；美元； 方案方案B: 得到得到500万美元的概率是万美元的概率是0.1 得到得到100万美元的概率是万美元的概率是0.89 得到得到0美元的概率是美元的概率是0.01o选选？？o（但（但A的期望效用的期望效用< B的期望效用）的期望效用）62 他发现，在他发现，在A和和B中，他的受试者中，他的受试者偏好于偏好于A。

于是，他进一步要求受试着考虑一下情形：于是，他进一步要求受试着考虑一下情形： 方案方案C：以：以0.11的概率得到的概率得到100万美元万美元 以以0.89的概率得到的概率得到0美元美元 方案方案D: 以以0.10的概率得到的概率得到500万美元万美元 以以0.90的概率得到的概率得到0美元美元 选选？？63o理性人，当理性人，当A和和B作为备选方案时选作为备选方案时选A，当，当C和和D作为备选方案时作为备选方案时选选Do违背了期望效用原则违背了期望效用原则――独立性公理（独立性公理（引引入一个不确定的投资或消费计划，不影响入一个不确定的投资或消费计划，不影响原来的偏好原来的偏好）方案A－－0.89概率得概率得100万＝方案万＝方案C；方案；方案B－－0.89概率得概率得100万＝方案万＝方案D，按照独立性，还应，按照独立性，还应选选Co这是一个矛盾这是一个矛盾64详细推导：详细推导：假设投资者的效用函数假设投资者的效用函数U，，E(UA)=U(1000000)E(UB)= 0.1*U(5000000)+0.89*U(1000000)+0.01*U(0)E(Uc)=0.11*U(1000000)+0.89*U(0)E(UD)= 0.1*U(5000000)+0.9*U(0)如果在方案ＡＢ中选择了如果在方案ＡＢ中选择了A，根据期望效用原则，应该有，根据期望效用原则，应该有:E(UA) > E(UB)<=> U(1000000) > 0.1*U(5000000)+0.89*U(1000000)+0.01*U(0)<=> U(1000000) －－0.89*U(1000000) > 0.1*U(5000000)+0.01*U(0)<=> 0.11* U(1000000) > 0.1*U(5000000)+0.01*U(0)<=> 0.11* U(1000000)+0.89*U(0) > 0.1*U(5000000)+0.90*U(0)<=> E(UC) > E(UD) 也就是说，由也就是说，由A偏好于偏好于B，根据期望效用最大化原则，，根据期望效用最大化原则，推出推出C偏好于偏好于D。

事实上，事实上，D好好于于C65o显然，期望效用理论受到了显然，期望效用理论受到了“阿莱悖论阿莱悖论”的严峻挑战的严峻挑战阿莱悖论阿莱悖论”实质上是要解实质上是要解释，许多建立在独立性假设上的期望效用，释，许多建立在独立性假设上的期望效用，尤其是建立在追求期望效用最大化基石上尤其是建立在追求期望效用最大化基石上的模型，都忽略的人的的模型，都忽略的人的心理因素对概率分心理因素对概率分布布的影响因此，在的影响因此，在“阿莱悖论阿莱悖论”提出后，提出后，许多学者包括经济学家和心理学家均尝试许多学者包括经济学家和心理学家均尝试着对不确定性下的选择行为进行进一步探着对不确定性下的选择行为进行进一步探索，力图揭示其中的心理因素与心理机制索，力图揭示其中的心理因素与心理机制 661.在在不不确确定定条条件件下下进进行行选选择择提提出出了了基基础础性性的的理理论论框框架架我我们们从从对对不不确确定定性性的的标标准准描描述述开开始始，，提出看待不确定体条件下的选择的两种方式：提出看待不确定体条件下的选择的两种方式：1.作为一种在依存状态结果之间进行的选择作为一种在依存状态结果之间进行的选择 2.作为一种在不同结果的概率分布之间进行的选择作为一种在不同结果的概率分布之间进行的选择2.还还讨讨论论了了期期望望效效用用准准则则，，偏偏好好关关系系的的效效用用函函数数表表示示，，以以及及期期望望效效用用函函数数存存在在的的条条件件，，并并给出了期望效用准则的反例。

给出了期望效用准则的反例总结总结67。