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1、湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功义务教育教科教育教科书（书（湘教湘教）九年九年级数学下数学下册册第第一一章章 二次函数二次函数湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功1. 1. 自自自自变变量量量量的最高次数是的最高次数是的最高次数是的最高次数是2 2。2. 2. 二次二次二次二次项项的系数的系数的系数的系数a0a0。3. 3. 二次函数解析式二次函数解析式二次函数解析式二次函数解析式必必必必须须是是是是整整整整式。式。式。式。湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功注意注意: :当二次函数当二次函数表示某个实际问题时表示某个实际问题时, ,还还必须根据题意确定自变必须根据题意确定自变量的取值范围量的取
2、值范围. .（一一）、二、二次函数的解析式次函数的解析式y=axy=ax +bx+c+bx+c( (其中其中a,b,ca,b,c是常数，是常数，a0)a0)想一想想一想: :函数的函数的自变量自变量x x是否可是否可以取任何值呢以取任何值呢? ?湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数. . y=ax+bx+c(a,b,c y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示的几种不同表示形式形式:
3、: (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定义的实质是：定义的实质是：ax+bx+cax+bx+c是整式是整式, ,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次, ,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. .湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功 1 1、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？是二次函数是二次函数的，
4、请说出它的二次项系数、一次项系数和常数的，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：项： (1)y=3x-1 (2)y=3x(1)y=3x-1 (2)y=3x2 2 (3)y=3x (3)y=3x3 3+2x+2x2 2 (4)y=2x(4)y=2x2 2-2x+1-2x+1 (5)y=x (5)y=x - -2 2 +x (6)y=x+x (6)y=x2 2-x(1+x)-x(1+x)2、当m m取何值时，函数是取何值时，函数是y= (m+2)x y= (m+2)x +mx+mx 分别分别 是正比例函数？是正比例函数？是一次函数？是一次函数？ 反比例函数？反比例函数？二次函数？二次函数？ m
5、2-2湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功3 3二次函数的图象二次函数的图象 二次函数的二次函数的图象是一条象是一条 ，它是，它是轴对称称图形，其形，其对称称轴平行于平行于轴 注意注意 二次函数二次函数y yaxax2 2bxbxc c的的图象的象的形状、大小、开口方向只与形状、大小、开口方向只与a a有关有关湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功（二）（二）二次函数图象二次函数图象及画法及画法顶点坐标顶点坐标与与X轴的交点坐标轴的交点坐标与与Y轴的交点坐标轴的交点坐标及它及它关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点（ ， ）(x1,0) (x2,0)(0, c) ( , c) （ ， ）x1x2O O
6、x xy yc( , c) 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功（三三）、平、平移移，配配方方向左向左(向右向右)平平移移|m|m|个单位个单位向向上上(向向下下)平平移移|k|k|个单位个单位通通过过配配方方1、将将函数函数y=x2-4x+5转化成化成y=a(x-h)2+k的的形形式式2、将将函数函数y=-2x2-4x+5转化成化成y=a(x-h)2+k的的形形式式湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功y y = = axax2 2y y = = axax2 2 + + k k y y = = a a( (x x h h ) )2 2y y = = a a( ( x x h h ) )2 2 +
7、+ k k上下平上下平移移左右左右平平移移上上下下平平移移左左右右平平移移各种各种顶点式的二次函数的关系顶点式的二次函数的关系左加右减左加右减上上加加下下减减 将将 向左向左平平移移3个单位个单位,再向再向下平下平移移2个单位后个单位后,所所得得的抛物线的关系式是的抛物线的关系式是(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)结论结论: 一般地一般地,抛物线抛物线 y = a(x-h)2+k与与y = ax2形状形状相同相同,位置不同。位置不同。湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功00A ABA AB （四四） 对称是一对称是一种种数学数学美美，它展它展示出示出整体整体的和的和谐与平与平衡之美衡之美，
8、抛物线是轴对称图抛物线是轴对称图形形，解题中，解题中应积极捕捉极捕捉，创造造对称关系，对称关系，以便以便从整体从整体上上把握把握问题，问题，由由抛物线抛物线捕捕捉捉对称对称信息信息的方式有：的方式有：1.1.从从抛物线上两点的抛物线上两点的纵坐标坐标相等相等获得得对称对称信息信息; ;2.2.从从抛物线上两点抛物线上两点之之间的线的线段段被被抛物线的对称轴抛物线的对称轴垂垂直平直平分分获得得对称对称信息信息. .湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功 抛物线抛物线 关于关于x轴对称的抛物轴对称的抛物线解析式是线解析式是解题思路解题思路:将原将原抛物线抛物线写成写成顶点式顶点式y=a(x-h)2+k
9、写写出顶点出顶点(h,k)写写出顶点出顶点(h,k)关于关于x轴的点的坐标轴的点的坐标(h,-k)则关于则关于x轴对称的抛物线解析式是轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k关于关于x轴对称轴对称:关于关于y轴对称轴对称:将原将原抛物线抛物线写成写成顶点式顶点式y=a(x-h)2+k写写出顶点出顶点(h,k)写写出顶点出顶点(h,k)关于关于y轴的点的坐标轴的点的坐标(-h,k)则关于则关于x轴对称的抛物线解析式是轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功（1） a0时，对称轴时，对称轴左左侧(x- )，函数，函数值y
10、随随x的的增增大大而增而增大大 。 a0时，对称轴时，对称轴左左侧(x- )，函数，函数值y随随x的的增增大大而减小而减小 。 （2） a0时，时，y= a0时时,开口向开口向上；上； a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h h，k k）（h h，k k）直线直线x=hx=h直线直线x=hx=h由由h h和和k k的符号确定的符号确定由由h h和和k k的符号确定的符号确定向上向上向下向下当当x=hx=h时时, ,最小值为最小值为k.k.当当x=hx=h时时, ,最大值为最大值为k.k.在对称轴的在对称轴的左左侧,y随着随着x的的增增大大而减小而减小. 在对称轴的在对称轴的右右侧, y随着随
11、着x的的增增大大而增而增大大. 在对称轴的在对称轴的左左侧,y随着随着x的的增增大大而而增增大大. 在对称轴的在对称轴的右右侧, y随着随着x的的增增大大而减小而减小. 根根据据图图形填表形填表：湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功xy0a0x0xy0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:c0x0(0,c)c=0xy0(0,0)c0x=-b2aab=0xy0x=-b2aab0开口向下a0交点在x轴下方c0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac0,则a+b+c0当x=1时，y0，则a+b+c0,则a-b+c0当x=-1，y0,则a-b+c0当x=-1，y=0,则a-b+c=0湖北
12、鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功已已知知y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示的图象如图所示, , a_0, b_0, c_0, abc_0a_0, b_0, c_0, abc_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b b2 2-4ac_0-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0 4a-2b+c_00 0-1-11 1-2-2湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功2 2、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)与一次函数与一次函数y=ax
13、+cy=ax+c在同在同一坐标系内的大致图象是（）一坐标系内的大致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功3.3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2ab=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（ ）A 1A 1个个 B 2B 2个个 C 3C 3个个 D 4D 4个个D Dx x-1-11 10 0y y要要点：点：寻求思路时，求思路时，要着重要着重观察察抛物线的抛物线的开口开口方方向向，对称轴，顶
14、点的位，对称轴，顶点的位置置，抛物线与，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位交点的位置置，注意注意运运用用数数形形结结合合的思想。的思想。湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功2 2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（m, km, k），），通常通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_1 1、已知抛物线上的、已知抛物线上的三三点，点，通常通常设解析式为解析式为_y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)y=a(x-m)y=a(x-m)2 2+k+k(a0)(a0)（七七）、求抛物线解析式、求抛物线解析式常用常用的的二二种种方方法法一般式一般式顶点式顶点式湖北鸿鹄志文化传媒有限公
15、司助您成功1.1.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点（0 0，0 0），（），（1 1，33），（），（2 2，88）。）。求下列求下列条件条件下的二次函数的解析式下的二次函数的解析式:3.3.已知二次函数的图象的对称轴是直线已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,x=3,并且经过点并且经过点(6,0),(6,0),和和(2,12)(2,12)2.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为已知二次函数的图象的顶点坐标为（2 2，3 3），且图象过点（），且图象过点（3 3，2 2）。）。湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功（八）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的一元二次方
16、程根的情况情况与与b-4ac的关系的关系我我们知知道道:代代数式数式b2-4ac对于方程的根起对于方程的根起着着关关键的的作用作用.湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功判别式：判别式：b b2 2-4ac-4ac二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）图象图象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O与与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x x1 1，0 0）（x x2 2，0 0）有两个不同的有两个不同的解解x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0x xy y
17、O O与与x x轴有唯一个轴有唯一个交点交点有两个相等的有两个相等的解解x x1 1=x=x2 2= =b b2 2-4ac=0-4ac=0xyO与与x x轴没有轴没有交点交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac-4ac0 0湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功(1)(1)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个相等的有两个相等的实数根实数根, ,则则m=m=, ,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m-2x+m与与x x轴有个交轴有个交点点. .(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2 8x +c 8x +c
18、的顶点在的顶点在 x x轴上轴上, ,则则c=c=. .1 11 11616 (3)(3)一元二次方程一元二次方程 3 x3 x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根是的两个根是x x1 1= -2 = -2 ,x,x2 2=5/3, =5/3, 那么二次函数那么二次函数y= 3 xy= 3 x2 2+x-10+x-10与与x x轴的交点坐标轴的交点坐标是是. .（-2-2、0 0）（）（5/35/3、0 0）湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功利用利用二次函数的图象求一元二次方程的二次函数的图象求一元二次方程的近似近似解解 （4）、根、根据据下列下列表格表格的对的对应值：判判断断方程方程a
19、x2+bx+c=0（a0,a、b、c为为常常数）一个数）一个解的解的范范围是（）是（） 、3x3.23 、3.23x3.24 、3.24x3.25 、3.25x3.26x x3.23 3.23 3.243.243.253.253.263.26y=ay=ax x2 2+bx+c+bx+c-0.06-0.06-0.02-0.020.030.030.090.09湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功ABCD1 1、如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为2424米的篱笆，围米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽成中间隔有二道篱笆的长方
20、形花圃，设花圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S平方米。平方米。(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)(2)当当x x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，则求围成花圃的最大面米，则求围成花圃的最大面积。积。 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功ABCD解：解： (1) AB(1) AB为为x x米、篱笆长为米、篱笆长为2424米米 花圃宽为（花圃宽为（24244x4x）米）米 (3) (3) 墙的的可用可用长
21、度为长度为8 8米米(2)2)当当x x 时，时，S S最大最大值 3636（平方米）（平方米） S Sx x（24244x4x） 4x4x2 224 x 24 x （0x60x6） 0240244x 8 4x 8 4x64x6当当x x4m4m时，时，S S最大最大值32 32 平方米平方米湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？x x xy y yo o o 2.如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m
22、，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m. 3.05 m3.05 m3.05 m2.5m2.5m2.5m3.5m3.5m3.5m问题问题1 1 建立如图所示的直角坐标系，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；4 m4 m4 m湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功3.3.某某商商场场将将进进价价4040元一个的某元一个的某种商品按种商品按5050元一个元一个售售出出时，时，能能卖卖出出500500个，已知这个，已知这种商品每种商品每个个涨涨价价一元，一元，销销量量减减少少1010个，为个，为赚赚得得最大最大利利润润，售价定售价定为多少？最大为多少？最大利利润
23、润是多少？是多少？分分析：析：利利润润= =（每件商品每件商品所所获获利利润润） （销销售件售件数）数）设设每每个个涨涨价价x x元，元， 那么那么（3）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为（50+x）元（x 0x 0，且，且为为整整数）数）(500-10x)(500-10x) 个（2）一个商品所获利润润可以表示为（50+x-40）元（4）共获利润润可以表示为(50+x-40)(500-10x)(50+x-40)(500-10x)元元湖北鸿鹄志文化传媒有限公司助您成功 读书和学习是在别人思想和知识的读书和学习是在别人思想和知识的帮助下，建立起自己的思想和知识。帮助下，建立起自己的思想和知识。 普希金普希金
