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1、高中高中1上海嘉定区 2023-2024 学年第二学期期中教学质量检测高三数学试卷一、填空题1.设集合1,3A，(2,4)B，则AB _2.抛物线24yx的准线方程为_3.已知圆锥母线长为2，高为1，则其体积为_4.二项式5(1)x的展开式中，2x项的系数是_5.已知i是虚数单位，则243(1 2)ii_6.函数14yxx的值域为_7.数据1,2,3,4,5的方差为21s，数据3,6,9,12,15的方差为22s，则2221ss_8.已知曲线313yx上有一点82,3P，则过P点的切线的斜率为_9.小张，小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个
2、游玩，记事件A表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B表示“两家选择景点不同”，则概率(|)P B A _10.已知22(),0,sincos2f xxxx，则函数()yf x最小值为_11.在平面直角坐标系xOy中，点P在圆221xy上运动，定点,A B满足12OA OB 且1OAOB ，若kOA OPOB OP 恒成立，则实数k的取值范围为_12.若规定集合0,1,2,En,的子集123,ma a aa,为E的第k个子集，其中3122222maaaak，则E的第211个子集是_二、选择题13.双曲线221:142xy和双曲线222:142yx具有相同的（）.A焦点.B顶点.C渐近线.D离心
3、率高中高中214.已知11(,)OAx y，22(,)OBxy，且,OA OB 不共线，则OAB的面积为().A121212x xy y.B122112x yx y.C121212x xy y.D122112x yx y15.嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动。太阳高度角是指某时刻太阳光线和地面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成的二面角为120，墙的高度均为3米.在时刻 c，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（）.A
4、9:00.B 10:00.C 11:00.D 12:0016.已知函数()()yf x xR的最小正周期是1T，函数()()yg x xR的最小正周期是2T，且12(1)TkT k，对于命题甲：函数()()()yf xg x xR可能不是周期函数；命题乙：若函数()()yg x xR的最小正周期是3T，则31TT.下列选项正确的是（）.A甲和乙均为真命题.B甲和乙均为假命题.C甲为真命题且乙为假命题.D甲为假命题且乙为真命题三、解答题17.如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA 平面ABC，D为BC的中点，2AC，11A AABBC.（1）求证：1/AB平面1ADC；（2）求直线1DC与1
5、AB的所成角的大小.高中高中318.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，221cossin2BB.（1）求角B，并计算sin6B的值；（2）若3b，且ABC是锐角三角形，求2ac的最大值.19.据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91次，总花费4.91万亿元.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团走.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在S市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：青壮年中老年合计自由行6040跟团游2050合计（1）请补
6、充2 2列联表，并判断能否有95%的把握认为年龄与出游方式的选择有关；（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量X表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求X的分布和数学期望.0.100.050.025P2.7063.8415.024青壮年中老年合计自由行6040100跟团游205070合计8090170高中高中420.如图，已知三点,A B P都在椭圆22142xy上.（1）若点,A B P都是椭圆的顶点，求ABP的面积；（2）若直线AB的斜率为1，求弦AB中点M的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率为2，设直线PA的斜率为PAk，直线PB的斜率
7、为PBk，是否存在定点P，使得0PAPBkk恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P，若不存在，说明理由.21.已知常数mR，设()lnmf xxx，（1）若1m，求函数()yf x的最小值；（2）是否存在1230 xxx，且123,x x x依次成等比数列，使得123(),(),()f xf xf x依次成等差数列？请说明理由.（3）求证：“0m”是对“任意12,(0,)x x，12xx，都有121212()()()()2fxfxf xf xxx”的充要条件高中高中5上海嘉定区 2023-2024 学年第二学期期中教学质量检测高三数学试卷含答案一、填空题1.设集合1,3A，(2,4)B，则AB
8、 _【答案】1,42.抛物线24yx的准线方程为_【答案】1x 3.已知圆锥母线长为2，高为1，则其体积为_【答案】4.二项式5(1)x的展开式中，2x项的系数是_【答案】515rrrTC x，令3r，故2x项的系数是3510C 5.已知i是虚数单位，则243(1 2)ii_【答案】根据1122zzzz，1212zzzz，222243434351(1 2)(1 2)(5)1 2iiiiii6.函数14yxx的值域为_【答案】3,7.数据1,2,3,4,5的方差为21s，数据3,6,9,12,15的方差为22s，则2221ss_【答案】22211892ss8.已知曲线313yx上有一点82,3P
9、，则过P点的切线的斜率为_【答案】22yx，故斜率4k 9.小张，小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B表示“两家选择景点不同”，则概率(|)P B A _【答案】122211113322()4(|)()5C PP ABP B AP AC CC C高中高中610.已知22(),0,sincos2f xxxx，则函数()yf x最小值为_【答案】2 sincos22()sincossin cosxxf xxxxx，令sincostxx，1,2t222441112tttttt，当2t 时取得最
10、小值4 211.在平面直角坐标系xOy中，点P在圆221xy上运动，定点,A B满足12OA OB 且1OAOB ，若kOA OPOB OP 恒成立，则实数k的取值范围为_【答案】以O为原点建立直角坐标系，(1,0)A，13(,)22B，(cos,sin)P，则33cossin3sin223OA OPOB OPOAOBOP ，故3k 12.若规定集合0,1,2,En,的子集123,ma a aa,为E的第k个子集，其中3122222maaaak，则E的第211个子集是_【答案】0,1,4,6,772128211，而82256211 E的第211个子集包含7，此时211 12883，626483
11、，而7212883，E的第211个子集包含6，此时836419，421619，而523219，E的第211个子集包含4，此时19 163，1223，而2243，E的第211个子集包含1，此时321，021.综上所述E的第211个子集是0,1,4,6,7二、选择题13.双曲线221:142xy和双曲线222:142yx具有相同的（）.A焦点.B顶点.C渐近线.D离心率【答案】D高中高中714.已知11(,)OAx y，22(,)OBxy，且,OA OB 不共线，则OAB的面积为().A121212x xy y.B122112x yx y.C121212x xy y.D122112x yx y【答
12、案】B直线OB方程为220y xx y，点A到直线OB的距离12212222x yx ydxy，故1221222212212222111222OABx yx ySOB dxyx yx yxy15.嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动。太阳高度角是指某时刻太阳光线和地面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成的二面角为120，墙的高度均为3米.在时刻 c，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（）.A9:00.B 10:00.C
13、11:00.D 12:00【答案】B16.已知函数()()yf x xR的最小正周期是1T，函数()()yg x xR的最小正周期是2T，且12(1)TkT k，对于命题甲：函数()()()yf xg x xR可能不是周期函数；命题乙：若函数()()yg x xR的最小正周期是3T，则31TT.下列选项正确的是（）.A甲和乙均为真命题.B甲和乙均为假命题.C甲为真命题且乙为假命题.D甲为假命题且乙为真命题【答案】A高中高中8三、解答题17.如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA 平面ABC，D为BC的中点，2AC，11A AABBC.（1）求证：1/AB平面1ADC；（2）求直线1DC与1
14、AB的所成角的大小.【答案】（1）连结1AC交1AC于点M，连结MD，MD为1ABC的中位线，故1/MDAB，又因为MD在平面1ADC上，所以1/AB平面1ADC（2）在1ADC中，52AD，152DC,13AC,直线1DC与1AB的所成角就是1C DM，1111152sin5ACC DMDC，故直线1DC与1AB的所成角的大小为15arcsin518.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，221cossin2BB.（1）求角B，并计算sin6B的值；（2）若3b，且ABC是锐角三角形，求2ac的最大值.【答案】（1）221cossincos22BBB，因为0B，所以3B或23B
15、，当3B时，sin16B；当23B时，1sin62B；高中高中9（2）因为ABC是锐角三角形，所以3B，由正弦定理：32sinsinsinsinsinsin33abcacABCAA，故222sin4sin4sin2 3cos2 7sin3acAAAAA，其中3tan2，因为022032AA得62A，故当2A时，2ac取得最大值2 719.据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91次，总花费4.91万亿元.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团走.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等
16、于40岁）.现在S市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：青壮年中老年合计自由行6040跟团游2050合计（1）请补充2 2列联表，并判断能否有95%的把握认为年龄与出游方式的选择有关；（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量X表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求X的分布和数学期望.0.100.050.025P2.7063.8415.024【答案】（1）青壮年中老年合计自由行6040100跟团游205070合计8090170高中高中1022()()16.3253.841()()()()abcd adbcab cd ac bd,所以有95%的把握认为年龄与出游方式的选择有关；（2）按照分层抽样从跟团游中抽取的14个人中，青壮年有4人，中老年有10人，X的分布如下：13574063355143143143143，4063355439()1357143143143143143E X 20.如图，已知三点,A B P都在椭圆22142xy上.（1）若点,A B P都是椭圆的顶点，求ABP的面积；（2）若直线AB的斜率为1，
