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1、第四章 振动 基 本 要 求 一、掌握描述简谐振动的各物理量 (特别是相位) 及各量之间的关系 。 二、掌握旋转矢量法。 三、掌握简谐振动的基本特征，能根据初始条件写出一维谐振动的振动方程，并理解其物理意义。四、理解两个同方向、同频率的简谐振动的合成规律。 41简谐振动（ S H M ）n简谐振动是一种最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可以看成是若干个简谐振动的合成。n简谐振动现象的举例：n考察一质量为 m 的物体与弹簧组成的弹簧振子，41 简谐振动（ S H M ） 简谐振动 (谐振动)一维弹簧振子模型 OxkmkmO平衡位置xx物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下
2、，不断重复相同的运动过程。n根据胡克定律，物体所受到的弹性力 F 与物体的位移成正比，即 1、复摆：n弹簧振子:简谐振动（ S H M ） 振动位移 x (或角位移 ) 随时间 t 的变化可表示为余弦函数或正弦函数：余弦或正弦函数n单摆(simple pendulum) :Ammg O ln弹簧振子:n轨迹:n绳振动:n弦振动轨迹:nU 型管液面振动:n比重计或钓鱼漂:nLC电路电磁振荡:n晶格振动:简谐振动 (谐振动) 物体振动时，离开平衡位置的位移 x (或角位移 ) 随时间 t 的变化可表示为余弦函数或正弦函数：一、一维弹簧振子模型 弹簧振子：OxkmkmO平衡位置xxn物体在平衡位置的
3、两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下，不断重复相同的运动过程。二、简谐振动方程： 1. 动力学特征： x平衡位置kmOx2. 运动学特征：由牛顿定律：令： 得谐振动的微分方程： 3.谐振动的运动方程： 振动方程。x t 关系曲线称振动曲线。 tOxTA简谐振动特点：AA (1) 等幅振动； (2) 周期振动。TT4. 简谐振动的特征:n 合外力与位移成正比且反向： (1)拍皮球时，球的运动是否是简谐振动?n 受弹性或准弹性回复力： n 加速度与位移成正比且反向：n 位移是时间的正余弦函数： 思考题：(2) 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 切向运动： mg O 因为 很小，所以
4、令： 是谐振动。 二、旋转矢量图示法 nx 轴上取O点，n自 O 点起作一矢量 A，n矢量 A 以匀角速度绕 O 旋转， 二、旋转矢量图示法 n n矢量末端 Q Q， n n在 x 轴上的投影点 P P ，n n作简谐振动。n设 t = 0 时，A 与 x 轴的夹角为；经时间 t 后，A 与 x 轴的夹角变为( (t+t+) )，n投影点 P 相对于原点 o 的位移： x = A cos (t+)作坐标轴 O x，Ox t =0 t+ 参考圆 PM三、简谐振动的速度和加速度n将位移： 对时间求一阶导数，得简谐振动物体的速度为：n速度：n将位移： 对时间求二阶导数，得简谐振动物体的加速度为：n比
5、较位移、速度和加速度有：n n位移。位移。n n速度超前速度超前 于位移于位移（/2/2）。）。n n加速度超加速度超 前于位移前于位移（）。）。简谐振动的位移、速度、加速度：tOx / v / a x1.速度： v2.加速度： a四、简谐振动的初始条件：将 t = 0 代入位移和速度方程，有： 初位移和初 速度的平方相加由初始条件，可求出振幅和初相位。五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量 以弹簧振子为例：以弹簧振子为例：弹簧振子总机械能：弹簧振子总机械能：n n系统 Ek k 和 Ep p 都随时间作周期性变化。n n位移最大时，Ep p = Emaxmax，Ek k = 0；n n物体过平
6、衡位置时，Ep p = 0，Ek k = Emaxmax。n n振动过程中， SHM 系统 ： Etottot = C 。l 动能和弹性势能可相互转换。n nSHM 中，能量的转换和守恒问题。n n任意时刻，系统 Ek k 和 Ep p 可相互转换。 n表述 简谐振动的能量为一常数，且与振幅的平方成正比。n小结：n 简谐振动的动能和势能都随时间作周期性变化。n动能和势能随位移变化而变化。位移最大时，势能达最大值，动能为零；在平衡位置时，势能为零，动能最大值。简谐振动的总能量为一恒量。简谐振动的能量简谐振动的能量 3. 总能： 结论：简谐振动的总能量与振幅的平方成正比且守恒。1. 动能： 2.
7、势能： tOE / E k / E p T说明： （1）在运动过程中，动能和势能相互转换。（2）总机械能保持不变，且与振幅的平方成正比。 （3）动能和势能的极大值相等。 4. 能量平均值：简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均值相等, 且等于总能量的一半。结论：简谐振动的重要特征： 六、举例： 动能和势能相互转换例1 单摆质量为m长度为L。使其细线与竖直方向成一小角度，然后由静止释放，物体在平衡位置附近往返摆动起来。忽略空气阻力，证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。解： 选择角位移为描述单摆位置的变量，并规定物体处于平衡位置右方，为正。物体受力为： 一是重力 mg，另一是细线张力 T，
8、沿弧形路径，将重力分解成 mg cos的径向分量和 mgsin的切向分量。 因此，单摆的振动方程为：当偏角很小时，sin，上式为：令2 = g / L ，得：显然，单摆的振动方程与弹簧振子的振动方程完全相似，只是用变量代替了变量 x 。所以单摆的角位移与时间 t 的关系也可写成余弦函数的形式： =0 cos( (t + ) )式中积分常数0 为单摆的振幅，为初相位。这就证明了，在偏角 很小时单摆的振动是简谐振动。 单摆系统的机械能包括两部分，一部分是物体运动的动能，另一部分是单摆与地球系统的重力势能。物体运动的动能：另一部分是系统重力势能：式中 h 为角位移时物体相对平衡位置上升的高度。可将式中 cos展开：因为很小，可以只取上式的前两项。可见，单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数。单摆总能量等于其动能和势能之和：上式表明单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量守恒，并与振幅（0 0 ）的平方成正比。 42 简谐振动的特征量
