机器人原理与应用3

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1、机器人原理与应用机器人原理与应用东北大学人工智能与机器人研究所2016.9第三章 机器人坐标系统第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2v机器人是个复杂的运动系统，它的每一个机器人是个复杂的运动系统，它的每一个动作都是各个元部件共同作用的结果。动作都是各个元部件共同作用的结果。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统33.1位置与姿态位置与姿态 3.2正交坐标系正交坐标系 3.3运动坐标表示运动坐标表示 3.4齐次坐标变换齐次坐标变换 3.5机器人坐标系统机器人坐标系统 为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们之间的关系，需要引入一套机

2、器人坐标系统。之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统4要要全全面面地地确确定定一一个个物物体体在在三三维维空空间间中中的的状状态态需需要要有有三三个个位位置置自自由由度度和和三三个个姿姿态态自自由由度度。前前者者用用来来确确定定物物体体在在空空间间中中的的具具体体方方位位，后后者者则则是是确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。 如如果果H H为为手手坐坐标标系系，用用以以描描述述手手的的姿姿态态，那那再再加加上上手手的的位位置置就就构成了手的位姿。构成了手的位姿。 3.

3、1位置与姿态位置与姿态 一一般般姿姿态态的的描描述述可可以以用用横横滚滚（Roll）、俯俯仰仰（Pitch）和和侧侧摆摆（Yaw）三轴的转角来实现。）三轴的转角来实现。 绕坐标系绕坐标系H H各轴转动各轴转动yawProllpitchHXHZHYH第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统5飞机飞行姿态变化第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统63.2正交坐标系正交坐标系3.2.1正交坐标系及矢量的基础知识正交坐标系及矢量的基础知识 右右图图是是所所谓谓的的正正交交坐坐标标系系B(x,y,z)B(x,y,z)，用用来来表表示示机器人的基坐标，机器人的基坐标，其其中中 ,分分别别是是三三个个

4、坐标轴的单位向量坐标轴的单位向量。 B B系系中中有有另另外外一一个个坐坐标标系系H H（x xH，yH，zH），用用来来表示手坐标表示手坐标,其其中中 ,分分别别是是H系系三个坐标轴的单位向量。三个坐标轴的单位向量。zyxBHHzHxHyanoijkP端点端点P P相对于机器人手坐标系相对于机器人手坐标系H H及基座坐标系及基座坐标系B B的定位的定位第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统73.2.1.1正交坐标系的性质正交坐标系的性质 单位矢量单位矢量 ,在基坐标系中可表示为在基坐标系中可表示为: : 根根据据矢矢量量点点积积和和叉叉积积的的性性质质，对对于于相相互互正正交交的的单单位

5、位矢矢量量，有有 对于单位矢量对于单位矢量,也有同样的性质。也有同样的性质。 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统其中其中是是a和和b两矢量间的夹角，如图两矢量间的夹角，如图3-2所示所示。矢量的点积（内乘积或标量积）矢量的点积（内乘积或标量积）换句话说：换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量方向上单位矢量的点积。方向上单位矢量的点积。方向上单位矢量的点积。方向上单位矢量的点积。再令再令a=j（j为为a方向上的单位矢量），则方

6、向上的单位矢量），则即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。图图3-2标量积标量积令令b=i（i为为b方向上的单位矢量），则方向上的单位矢量），则第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统矢量的叉积（矢量积或叉乘积）矢量的叉积（矢量积或叉乘积）其中矢量其中矢量c c的模为的模为: :其中其中是是a和和b间小于等于间小于等于1800的夹角，若将的夹角，若将a按右手法则绕按右手法则绕c转转角至角至b，右手拇指指向为右手拇指指向为c的正方向（

7、如图的正方向（如图3-3），），c与与a、b两者垂两者垂直。直。则则图图3-3叉乘积叉乘积若若a和和b用分量的形式表示为用分量的形式表示为:第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统a和和b的点乘为：的点乘为：将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：有：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2008-711 令矩阵令矩阵R称为正交坐标变换矩阵。称为正交坐标变换矩阵。 当用列向量表示单位矢量时，有当用列向量表示单位矢量时，有于是，变换矩阵于是，变换矩阵R可以表示为：可以表示为：当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有当用矩阵表示两个矢量

8、的点乘时，有第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统123.2.1.2 正交坐标变换矩阵正交坐标变换矩阵R R的性质的性质 显然显然由上式可得由上式可得 从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。于是可得于是可得1-= RRT第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统133.2.1.3正交坐标变换矩阵的几何意义正交坐标变换矩阵的几何意义 ,上式可写成上式可写成其中其中 考虑到考虑到 上上式式表表明明正正交交坐坐标标变变换换矩矩阵阵R实实现现了了由由手手坐坐标标系系H到到基基坐坐标标系系B的的正正交交坐坐标标变变换换，它它可可以以将将一一组组3个个相相互互正正

9、交交的的单单位位矢矢量量变变换换为为另另一一组组3个个相相互互正正交交的的单单位位矢矢量量，每每一一组组单单位位矢矢量量均均代代表表了了一一个个正正交交坐坐标标系系。这这也也说说明明了了将将矩矩阵阵R称称为为正正交交坐坐标标变变换换矩矩阵阵的的原原因因。在在机机器器人人学学中中经经常常要要用用到到这这种种正正交交坐标变换。坐标变换。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统143.2.2位置的描述位置的描述 一一旦旦建建立立起起一一个个坐坐标标系系，我我们们就就可可以以用用3 3维维的的位位置置矢矢量量来来确确定定该该空空间间内内任任一一点点的的位位置置 。其其中中，x x、y y、z z是是

10、p p点点在在笛笛卡卡尔尔坐坐标标系系的的三三个个坐坐标标轴轴上上坐坐标标分分量量。用用这这种种方方法法可可以以很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。3.2.3姿态的描述姿态的描述 物物体体的的姿姿态态可可由由某某个个固固接接在在物物体体上上的的坐坐标标系系来来描描述述。设设在在空空间间中中除除了了有有参参考考坐坐标标系系B B外外，还还有有物物体体质质心心上上的的一一个个笛笛卡卡尔尔正正交交坐坐标标系系H H，且且H H系系与与此此物物体体的的空空间间位位置置关关系系是是固固定定不不变变的的，那那么么就就可可以以以以H H系系

11、三三个个坐坐标标轴轴的的单单位位矢矢量量相相对对于于B B系系的的方方向向来来表表示示H H系和系和B B系的姿态。系的姿态。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统15第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统16 假设假设 为为H H坐标系中某轴的单位向量，即它在坐标系中某轴的单位向量，即它在B B坐标系的方坐标系的方向可以以向可以以 与与B B系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图. . 故有故有jlgxyzkBllalbi 矢量的方向矢径表示矢量的方向矢径表示由：由：且：且：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统17 因此正交坐标变换矩阵

12、因此正交坐标变换矩阵R R为一方向余弦矩阵，也被称为旋为一方向余弦矩阵，也被称为旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。 根据前面的推导可得：根据前面的推导可得：当：当：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统b)b)姿态（方位）的描述姿态（方位）的描述姿态（方位）的描述姿态（方位）的描述采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位）采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位），即由，即由B系的三个系的三个单位主矢量相对于坐标系单位主矢量相对于坐标系A的方向余弦组成：的方向余弦组成：既表示了刚体既表示了刚体F在在A系中的方位，也描述了系中的方位，也描述了B系在系在A系中的系中

13、的姿态。姿态。其中：其中： xB yB zB xA yA zA 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统193.3运动坐标表示运动坐标表示 3.3.1平动的坐标表示平动的坐标表示 设设手手坐坐标标系系H H与与基基坐坐标标系系B B具具有有相相同同的的姿姿态态，但但H H系系坐坐标标原原点点与与B B系系的的原原点点不不重重合合。用用矢矢量量 来来描描述述H H系系相相对对于于B B系系的的位位置置（如如右右图图所所示示），称称 为为H H系系相相对对于于B B系系的的平平移移矢矢量量。如如果果点点p p在在H H系系中中的的位位置置为为 ，那那么它相对于么它相对于B B系的位置矢量系的位置

14、矢量可由矢量相加得出，即可由矢量相加得出，即称其为称其为坐标平移方程坐标平移方程。rH0rHxPHzyxHyHzBpr 表示移动的坐标变换表示移动的坐标变换第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统20 下下面面以以绕绕z z轴轴转转动动 角角为为例例来来研研究究绕绕坐坐标标轴轴转转动动某某个个角角度度的的表表示示法法。设设H系系从从与与B系系相相重重合合的的位位置置绕绕B系系的的z轴轴转转动动角角，H系系与与B系系的的关关系系如如右图所示。右图所示。3.3.2转动的坐标表示转动的坐标表示 (1) (1) 绕坐标轴转动某个角度的表示法绕坐标轴转动某个角度的表示法 naHxxyzHzHyHB,o

15、zqzq H H系相对系相对B B系绕系绕z z轴转动轴转动zz角的坐标关系角的坐标关系第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统21 若将若将H系的系的3个单位矢量表示在个单位矢量表示在B系中，则有：系中，则有：实实现现两两个个坐坐标标系系之之间间转转动动关关系系的的矩矩阵阵，又又叫叫转转动动矩矩阵阵R，可表示为：可表示为：，第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统22同理，可以得出当绕同理，可以得出当绕X轴旋转时：轴旋转时：当绕当绕Y轴旋转时：轴旋转时： 上上面面的的分分析析说说明明了了R矩矩阵阵可可以以用用来来表表示示绕绕坐坐标标轴轴的的转转动动，这表征了这表征了R矩阵的另一种几何意义

16、。矩阵的另一种几何意义。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和和z轴转轴转角的旋转角的旋转矩阵：矩阵：x y zxyzx y zxyzx y zxyz第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统24 设设B系与系与H系的系的z轴相重合，轴相重合，B系绕系绕z轴转动角轴转动角 就得就得H系，系，如下图所示。如下图所示。 (2) (2) 两个坐标系的投影之间的关系两个坐标系的投影之间的关系xyHy),(HBzq qzq qzq qHxyxA CuP v 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系

17、OP第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统25已知矢径已知矢径在在H系三轴投影分别为系三轴投影分别为u,v,w。则由上图可知。则由上图可知 由由上上式式可可见见，R矩矩阵阵可可以以将将矢矢径径在在手手坐坐标标系系上上的的投投影影变变换换到到该该矢矢径径在在基基坐坐标标系系上上的的投投影影，这这表表征征了了R矩矩阵阵的的又又一种几何意义。一种几何意义。于是有于是有（）（）xyHy),( HBzq qzq qzq qHxyxACuP v 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系O第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统例例3.1若从基坐标系若从基坐标系(B)到手爪坐标

18、系到手爪坐标系(E)的旋转变换的旋转变换矩阵为矩阵为。（。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑E的的原点位置）；（原点位置）；（2）如果给出）如果给出OE(E系的原点）在系的原点）在B中的位置矢中的位置矢量为（量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系。），画出两坐标系的相对位姿关系。解：解：xE yE zExB yB zB(1)(2)第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统27(3) (3) 具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系 设矢量设矢量 在坐标系在坐标系Bxy的投影为的投影为u，v，w；将矢量；将矢量

19、 绕绕z轴转动轴转动 角，得到矢量角，得到矢量 ，设矢量，设矢量 在同一坐标系的在同一坐标系的投影为投影为x,y,z，如下图所示。，如下图所示。 yxHy),(HBzqzqHxyuPvxQ具有转动关系的两个矢量投影之间的关系具有转动关系的两个矢量投影之间的关系O第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统28yxHy),(HBzqzqHxuPvxQ具有转动关系的两个矢量投影之间的关系具有转动关系的两个矢量投影之间的关系OxyHy),( HBzq qzq qzq qHxyxACuP v 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系O 如如果果注注意意到到在在x,y轴轴的的投投影

20、影相相当当于于在在轴轴的的投投影影，再再对对比比6页页和和9页页的的两两个个图图所所示示的的相相同同几几何何关关系系，便便可可得得到到与与式式（）相相同同结结果果，只只是是此此时时的的u，v，w与与x，y，z同同前前面面讨讨论论的的情情况况的的几几何何含含义义不不同同。这这时时矩矩阵阵R用用来来表表示示具具有有转转动动关关系系的的两两个个矢矢量量在在同同一一坐坐标标系系中中的的投影之间的关系，这表征了投影之间的关系，这表征了R矩阵的最后一种几何意义。矩阵的最后一种几何意义。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统29 至此，归纳了至此，归纳了R矩阵的四种几何意义：矩阵的四种几何意义：1、实现

21、了由手坐标系、实现了由手坐标系H到基坐标系到基坐标系B的正交坐标变换。的正交坐标变换。2、用来表示绕坐标轴的转动。、用来表示绕坐标轴的转动。3、将将矢矢径径在在手手坐坐标标系系上上的的投投影影变变换换到到该该矢矢径径在在基基坐坐标标系系上上的投影。的投影。4、表表示示具具有有转转动动关关系系的的两两个个矢矢量量在在同同一一坐坐标标系系中中的的投投影影之之间的关系。间的关系。这这对对于于认认识识R矩矩阵阵的的本本质质，研研究究机机器器人人的的坐坐标标系系统统很很有有帮助。帮助。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统303.3.3复合运动的坐标表示复合运动的坐标表示 基基坐坐标标系系B和和手手

22、坐坐标标系系H的的原原点点不不重重合合，而而且且两两坐坐标标系系的的姿姿态态也也不相同的情况。不相同的情况。 设设H相相对对于于B的的位位置置矢矢量量为为 ，由由H H到到B B的坐标变换矩阵是的坐标变换矩阵是 。 在在H H中中有有一一点点P P ，点点P P 相相对对于于H H 的的位位置置矢矢量量为为 ，如如右右图所示。图所示。z zy yx xB BH Hr0rHzHxHyanoPP AuvwHr 表示转动和移动的坐标变换表示转动和移动的坐标变换第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统31 对于任意一点对于任意一点P P在在B B和和H H系中的描述有以下的关系系中的描述有以下的关系

23、其中，其中，是是p点相对点相对于于B B系的位置矢量。系的位置矢量。 至至此此，我我们们由由浅浅入入深深地地介介绍绍了了物物体体的的基基本本宏宏观观运运动动在在坐坐标标系系中中的的表表示示方方法法，这这是是我我们们学学习习机机器器人人复复杂杂运运动动的的最最基基本本的的数数学学工工具具。在在后后续续章章节节中中会会频频繁地用到。繁地用到。再由式再由式(rp) ，可得复合变换，可得复合变换 可可把把上上式式看看成成坐坐标标旋旋转转和和坐坐标标平平移移的的复复合合变变换换。实实际际上上，规规定定一一个个过过渡渡坐坐标标系系C C，使使C C的的坐坐标标原原点点与与H H系系重重合合，而而C C的的

24、姿姿态态和和B B系系保保持持一一致致。根根据据式式（）可得由（）可得由H系到过渡坐标系系到过渡坐标系C的坐标变换为的坐标变换为其中，其中，是点是点P在在C中的位置矢量。中的位置矢量。(rp)cr第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统例例3.2已知坐标系已知坐标系B初始位姿与初始位姿与A重合，首先重合，首先B相对相对A的的zA轴轴转转30，再沿，再沿A的的xA轴移动轴移动10个单位，并沿个单位，并沿A的的yA轴移动轴移动5个单个单位。求位置矢量位。求位置矢量和旋转矩阵和旋转矩阵。若。若,求求。解：解：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统所以有：所以有：最后得：最后得：第三章第三章 机

25、器人坐标系统机器人坐标系统343.4 齐次坐标变换齐次坐标变换 3.4.1 齐次坐标的定义和性质齐次坐标的定义和性质 3.4.1.1 齐次坐标的概念 用用四四个个数数所所组组成成的的列列向向量量 来来表表示示三三维维空空间间中的一点中的一点，这两个坐标向量之间的关系是，这两个坐标向量之间的关系是:， 则则 称称为为三三维维空空间间点点 的的齐齐次次坐坐标标。通通常常情况下取情况下取w=1, ,则则 的齐次坐标表示为的齐次坐标表示为 。 一般说来，以（一般说来，以（N+1)维维矢量来表示矢量来表示N维维位置矢量，称位置矢量，称为为齐齐次坐次坐标标表示法表示法。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐

26、标系统353.4.1.2 齐次坐标的性质齐次坐标的性质（1）齐次坐标的不唯一性 所所谓谓不不唯唯一一性性是是指指某某点点的的齐齐次次坐坐标标有有无无穷穷多多点点，不不是是单值确定的。例如单值确定的。例如 是某点的齐次坐标，则是某点的齐次坐标，则也是该点的齐次坐标。也是该点的齐次坐标。（2）齐次坐标的原点和坐标轴 根根据据齐齐次次坐坐标标的的定定义义，齐齐次次坐坐标标表表示示坐坐标标原原点点，而而，分分别别表表示示OX轴轴、OY轴轴和和OZ轴轴的的无无穷穷远远点点，即即表表示示直直角角坐坐标的标的OX轴、轴、OY轴和轴和OZ轴。轴。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统36=常量标量常量标量

27、设设则有则有其中，其中，（）（）第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统373.4.2 齐次变换和齐次矩阵齐次变换和齐次矩阵 在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔坐标系统表示出了物体的复合运动，最后得出了坐标系统表示出了物体的复合运动，最后得出了 的结论，它表示了的结论，它表示了 由到由到 的变换。现在我们利用齐次坐的变换。现在我们利用齐次坐标来表示出上式：标来表示出上式： 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统38 A A矩

28、矩阵阵称称为为齐齐次次矩矩阵阵（Homogeneousmatrix）, ,在在机机器器人人学学中中是是个个重重要要的的术术语语，它它将将转转动动和和移移动动组组合合在在一一个个4 44 4矩矩阵阵中中。 其其中中 为为33的的转转动动矩矩阵阵， 为为13的的零零阵阵 ， 为为表表示示移移动动的的31的的列列阵阵。接接下下来来我我们们将将利利用用齐次矩阵来表示物体的运动。齐次矩阵来表示物体的运动。 式中式中旋转矩阵旋转矩阵平移矢量平移矢量透视变量透视变量比例因子比例因子齐次矩阵齐次矩阵齐次矩阵用途很广，更一般形式为：齐次矩阵用途很广，更一般形式为：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统393

29、.4.2.1 利用齐次矩阵表示平移变换 设向量设向量，要和向量要和向量相加得相加得V，即，即（）（）欲求一变换矩阵欲求一变换矩阵H，使得，使得U经过经过H变换之后变成向量变换之后变成向量V，即，即（）（）考虑到式考虑到式（）（）和式和式（）（）等效，根据式（）可知等效，根据式（）可知 平移变换就是用于两个向量的相加。平移变换就是用于两个向量的相加。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统40 此此变变换换矩矩阵阵有有一一性性质质就就是是它它的的每每一一个个元元素素乘乘上上一一个个非非零的元素后不会改变这个变换。零的元素后不会改变这个变换。 由此可知得由此可知得第三章第三章 机器人坐标系统机器

30、人坐标系统413.4.2.2 利用齐次矩阵表示旋转变换 根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕X，Y，Z轴旋轴旋转一个角度的相应旋转变换是转一个角度的相应旋转变换是 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统纯旋转的齐次变换矩阵纯旋转的齐次变换矩阵纯旋转的齐次变换矩阵纯旋转的齐次变换矩阵中中P31为零矩阵，即为零矩阵，即，因此写出绕因此写出绕x，y和和z轴旋转轴旋转角的基本齐次变换矩阵为：角的基本齐次变换矩阵为：纯平移的齐次变换矩阵纯平移的齐次变换矩阵纯平移的齐次变换矩阵纯平移的齐次变换矩阵中中R33=I33（单位阵），因此可以写单位阵），因此可以写出沿出沿x

31、，y和和z轴移动轴移动Px，Py和和Pz单位的基本平移变换阵：单位的基本平移变换阵：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统43例例如如，已已知知一一个个向向量量U绕绕Z轴轴旋旋转转90变变成成V，则则用用旋旋转矩阵表示为转矩阵表示为如，一个向量如，一个向量U先后绕先后绕X、Y轴分别旋转轴分别旋转90、60得到得到V，用旋转矩阵表示为，用旋转矩阵表示为第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统443.4.2.3 利用齐次矩阵表示旋转加平移变换 把把上上述述两两种种变变换换结结合合起起来来用用齐齐次次矩矩阵阵表表示示，这这时时的的齐次变换矩阵就是齐次变换矩阵就是第三章第三章 机器人坐标系统机器

32、人坐标系统45可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵和和表示平移的列阵表示平移的列阵确实是分离的。确实是分离的。注意，一般情况下注意，一般情况下第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统463.4.2.4 利用齐次矩阵表示手的转动和移动 手手的的转转动动可可以以表表示示为为绕绕X X轴轴的的侧侧摆摆 ，绕绕Y Y轴轴的的俯俯仰仰 和和绕绕Z Z轴轴横横滚滚 ，依依次次构构成成的的复复合合转转动，采用简化符号动，采用简化符号 ，则有，则有第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统47 上上式式表表示示了了手手的的转转动动运运动动。如如果果手手除除了了转转动动运运动动以以外外

33、还还可可做做移移动动运运动动，只只需需将将上上式式中中齐齐次次矩矩阵阵的的第第4 4列列用用表表示示移移动动的的矩矩阵阵块块 来来代代替替，便便可可得得到到包包括括3 3个转动和个转动和3 3个平动的个平动的6 6自由度运动的齐次矩阵。自由度运动的齐次矩阵。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统483.4.3 齐次变换的性质齐次变换的性质 3.4.3.1 变换过程的相对性相对变换 前前面面所所介介绍绍的的所所有有旋旋转转和和平平移移变变换换都都是是相相对对于于参参考考坐坐标标系系B B系而言的。例如系而言的。例如上上述述的的变变换换过过程程是是：手手坐坐标标系系H首首先先绕绕着着基基坐坐标

34、标系系B旋旋转转，然然后后平平移移。这这种种变变换换的的顺顺序序是是从从右右向向左左进进行的。行的。 这这样样的的过过程程也也可可以以以以相相反反的的顺顺序序进进行行，即即从从左左向向右右进进行行。此此 时时 可可 以以 理理 解解 为为 首首 先先 手手 坐坐 标标 系系 H在在 基基 坐坐 标标 系系 B中中 平平 移移 然后绕当前的手坐标系然后绕当前的手坐标系H的的 轴旋转轴旋转 。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统49一般的变换过程可以分两种情况：一般的变换过程可以分两种情况： (1)如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，左左乘一个

35、坐标系的变换乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋转就，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于是相对于静止坐标系静止坐标系进行的。进行的。(2)如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，右右乘一个坐标系的变换乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于转就是相对于运动坐标系运动坐标系进行的。进行的。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统相对于固定坐标系运动相对于固定坐标系运动相对于活动坐标系运动相对于活动坐标系运动第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统513.4.3.2变换过程的可逆性逆变换 在在机

36、机器器人人学学中中很很多多时时候候要要用用到到齐齐次次变变换换矩矩阵阵的的逆逆阵阵，下下面面我我们们将将推推导导齐次变换矩阵的逆阵求法。齐次变换矩阵的逆阵求法。由此可见由此可见将上两式表示成矩阵的形式，即将上两式表示成矩阵的形式，即由公式由公式易得易得HprRrr+=0第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统523.4.3.3 变换过程的封闭性-变换方程的建立 在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。（1）机器人机器人

37、 变换变换Z Z：参考坐标系：参考坐标系U U 基坐标系基坐标系B B 变换变换A A：基坐标系：基坐标系B B 手坐标系手坐标系H H 变换变换E E：手坐标系：手坐标系H H 加工工具加工工具T T（2 2） 变位机变位机 变换变换P P：参考坐标系：参考坐标系U U 变位机变位机V V变换变换Q Q：变位机：变位机V V 被加工件被加工件W WBUHAEPQWT 操作机坐标系及变换过程分析操作机坐标系及变换过程分析ZV第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统53 这种联系亦可由一有向变换图表示，见右图。这种联系亦可由一有向变换图表示，见右图。 右右图图中中每每一一段段弧弧表表示示一一个

38、个变变换换，由由参参考考坐坐标标系系向向外外指指向向，封封闭闭于于物物体体的的某某一一个个点点。由由于于变变换换Z-A-EZ-A-E与与P-QP-Q具具有相同的起点与终点，故有有相同的起点与终点，故有 如如果果我我们们希希望望解解上上述述方方程程，求求出出变变换换A A ，就就必必须须对对方方程程左左乘乘 ，然然后右乘后右乘 ，得到，得到 实实际际上上，可可以以从从封封闭闭的的向向变变换换图图的的任任一一变变换换开开始始列列变变换换方方程程。从从某某一一变变换换弧弧开开始始，顺顺箭箭头头方方向向为为正正方方向向，逆逆箭箭头头方方向向为为逆逆变变换换，一一直直连连续续列列写写到到相相邻邻于于该该

39、变变换换弧弧为为止止（但但不不再再包包括括该该起起点点变变换换），如如果果包包括括该该起起点点变变换换，则得到一个单位变换。则得到一个单位变换。变换过程的封闭性变换过程的封闭性ZQPEA第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统3.1.2.5旋转变换通式旋转变换通式一一.旋转变换通式旋转变换通式如果不是单位如果不是单位矢量，要化为矢量，要化为单位矢量单位矢量令令是过是过A系原点的单位矢量，求绕系原点的单位矢量，求绕K旋旋转转角到角到B系的旋转矩阵系的旋转矩阵R(K,)，即即。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统因此因此将上式展开得将上式展开得图图图图3-113-11尺寸链图尺寸链图尺寸链

40、图尺寸链图第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统把上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质把上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质进行化简整理后得进行化简整理后得其中，其中，s=sin;c=cos;Vers=(1-cos)。如果如果与坐标轴重合，则可得到绕与坐标轴重合，则可得到绕x,y和和z轴旋转的基本旋转矩阵。轴旋转的基本旋转矩阵。例：求绕过原点的轴线例：求绕过原点的轴线转动转动1200的旋转矩阵的旋转矩阵第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统二二.等效转轴与等效转角等效转轴与等效转角对于给定的旋转矩阵对于给定的旋转矩阵R令令R=R(K,)，得得 任何一组经过有限次基本旋转变换后的复合

41、旋转总可以等任何一组经过有限次基本旋转变换后的复合旋转总可以等效成绕某一过原点的轴线转效成绕某一过原点的轴线转角的单一旋转。角的单一旋转。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统将方程两边的主对角线元素分别相加，得将方程两边的主对角线元素分别相加，得于是可得：于是可得：再把方程两边的非对角元素成对相减得：再把方程两边的非对角元素成对相减得：将上式两边平方后再相加得：将上式两边平方后再相加得：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统于是：于是：两点注意两点注意:多值性：多值性：多值性：多值性：K和和的值不唯一。实际上，对于任意一组的值不唯一。实际上，对于任意一组K和和，都对应另一组都对应另一

42、组-K和和-，(K,)和和(k,+n360)对应的转动对应的转动效果相同，效果相同，的取值也有多种，一般取在的取值也有多种，一般取在0到到180之间。之间。例：例：求复合变换求复合变换的等效转轴的等效转轴k和转角和转角。病态情况：病态情况：病态情况：病态情况：当转角当转角很小时，转轴难确定；当很小时，转轴难确定；当接近接近0或或180时，转轴完全不能确定，需另寻解法。时，转轴完全不能确定，需另寻解法。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统603.5 机器人坐标系统机器人坐标系统 3.5.1 机器人坐标系统的构成机器人坐标系统的构成 如何将螺栓拧入螺母这样一项简单的工作如何将螺栓拧入螺母这样

43、一项简单的工作, , 在每个人看来都是非常容易的。在每个人看来都是非常容易的。 而而机机器器人人必必须须规规划划出出每每个个关关节节的的运运动动过过程程和和运运动动轨轨迹迹，而而这这样样的的轨轨迹是相对于每个关节所对应的坐标系而言的。迹是相对于每个关节所对应的坐标系而言的。 除此之外，还需要为工件和周围环境定义出坐标系统。除此之外，还需要为工件和周围环境定义出坐标系统。（1 1）机器人自身的坐标系）机器人自身的坐标系（2 2）作业工件和变位机的坐标系）作业工件和变位机的坐标系（3 3）作为共同参考的世界坐标系）作为共同参考的世界坐标系 其其中中，世世界界坐坐标标系系是是联联系系前前两两种种坐坐

44、标标系系的的纽纽带带。下下面面我我们们举举一一个个例例子来说明如何建立机器人的坐标系统。子来说明如何建立机器人的坐标系统。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统613.5.2 变换方程的建立变换方程的建立 机机器器人人变变换换方方程程的的建建立立主主要要是是根根据据上上一一节节所所介介绍绍的的齐齐次次变变换换的的封封闭闭性性。接接下下来来将将利利用用右图来说明如何建立变换方程。右图来说明如何建立变换方程。设由设由P P系到系到U U系的变系的变换矩阵为换矩阵为 ，由由B B系到系到U U系的变换系的变换矩阵为矩阵为 ，由由H H系到系到B B系的变换系的变换矩阵为矩阵为 ，由由E E系到系

45、到H H系的变换系的变换矩阵为矩阵为 。BUBUTHHBTEPPUTEPTEHT操作机坐标系及变换方程的建立操作机坐标系及变换方程的建立第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统62于于是是，固固定定在在钻钻头头端端点点处处的的工工具具坐坐标标系系E E系系相相对对世世界界坐坐标标系系U U系系的的位位置可表示为置可表示为 另另一一方方面面，由由P系系到到U系系的的变变换换矩矩阵阵为为，由由E系系到到P系系的的变变换换矩矩阵阵为为，工件上孔的位置（即，工件上孔的位置（即E系）相对于系）相对于U系的位置为系的位置为（）（）由以上两个公式可得由以上两个公式可得 式式（）即即所所谓谓的的机机器器人人的的变变换换方方程程。解解此此方方程程，由由上上式式左左乘乘，右乘右乘 ，则得，则得 由由此此可可以以求求出出手手坐坐标标系系相相对对于于基基坐坐标标系系的的变变换换矩矩阵阵，于于是是便便可可以以知知道手相对于基座处于何种姿态时，便可以完成在工件上的钻孔工作。道手相对于基座处于何种姿态时，便可以完成在工件上的钻孔工作。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统63The End of Chapter 3