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1、应用概率统计应用概率统计返回定义定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A A与与B B独立独立。 推论推论1 A.B为两个事件,若P(A)0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).第第1.51.5节节 独立性及其应用独立性及其应用 推论推论2 在 A 与 B, 与 B,A 与 ， 与 这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。返回返回返回返回返回返回返回返回数据分布特征的测度1、分布的集中趋势：(1)众数： 出现频率最高的值， 用记之。算法(1) 例 1,2,4,4,5,6则1,
2、2,3,3,4,5,6,6,7 则返回(2)中位数：中间位置的数，用记之。算法(1) 例 1,2,3,4,5,6,7则1,2,3,4,5,6则返回(4)均值：1)简单平均2)加权平均3)调和平均4)加权调和平均5)几何平均其中返回众数、中位数、均值的比较对称分布左偏分布右偏分布返回2、分布的离散程度：(1)(2)平均离差样本方差(3) 样本标准差（4）极差返回例：求1,2,3,4,5的样本均值，样本样本方差。解：返回试验考察可能的结果抛掷一枚硬币100次一家餐馆营业一天抽查一批电子元件新建一座住宅楼销售一辆汽车正面出现的次数顾客数使用寿命(小时)半年完成百分比顾客性别0,1,2, ,1000,
3、1,2, 0, ) 0, 100男性为0,女性为1一、随机变量一、随机变量(random variables)概念概念记为记为是一个随机事件。是一个随机事件。第第2.1节节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布返回例如例如 (1)随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点,: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点X(): 1 2 3 4 5 6 (2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，表示射击次数，则 射击1次 射击2次 . 射击n次 .X() 1 2 . n .(3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间, 候车
4、时间X() 0, 101.1.随机变量随机变量 (4)掷一枚硬币，表示正反面，则X(): 1 0返回特别特别离散型离散型连续型连续型定义定义 设E为随机试验,它的样本空间记为=,如果对于每一个都有实数X()与之对应,则称这个定义在上的实单值函数X()为随机变量.随机变量一般用X,Y,Z,或,等表示.取值为有限个和至多可列个的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.例如例如 S=R2中,其中R为测量中的随机变量,S为随机变量R的函数.此外,若X是一个随机变量,则以X为自变量的函数Y=f(X)称为随机变量随机变量X的函数的函数.随机变量函数也是随机变量.返回2.2.离散型随机变量的概率分布离散型随
5、机变量的概率分布 定义定义 设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,.,xn,.,且 pn=P(X=xn),n=1,2,.,称此公式为X的概率分布或分布列概率分布或分布列.或者X x1 x2 . xn .P p1 p2 . pn . 性质性质 (1)pn0,n=1,2,. ； (2)p1+p2+.+pn+=1； 计算计算 对ab 有 P(aXb)=例如例如 在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的点数,则X的概率分布为X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 设A表示出现奇数点,则P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/2返回注意注意离散型随机变量
6、的概率分布分以下几步来求离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值确定随机变量的所有可能取值; (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.返回例例1 1 某试验出现“成功”的概率为p(0p0)的Possion分布,记为XP().可以证明可以证明 当n很大, p很小,=np是一个不太大的常数时,可以用泊松分布作为二项分布的近似.即返回 即即即即 Poisson Poisson 分布可作为二项分布的近似。实际应分布可作为二项分布
7、的近似。实际应分布可作为二项分布的近似。实际应分布可作为二项分布的近似。实际应用中，当用中，当用中，当用中，当 p p 0.25 0.25，n n 20 20，np np 5 5时，近似效果良好。时，近似效果良好。时，近似效果良好。时，近似效果良好。返回 例例例例3 3 在一部篇幅很大的书籍中，发现只有在一部篇幅很大的书籍中，发现只有13.5%的页数没有印刷错误，如果我们假定每页的页数没有印刷错误，如果我们假定每页的错字数是服从的错字数是服从 Poisson Poisson 分布的，求正好有一个分布的，求正好有一个分布的，求正好有一个分布的，求正好有一个错字的页数的百分比错字的页数的百分比错字
8、的页数的百分比错字的页数的百分比. .解解 设为每页的错字个数，由已知得设为每页的错字个数，由已知得又已知又已知 返回解解 1月月1日公司收入日公司收入 (元元) 设一年中死亡人数为（人），则设一年中死亡人数为（人），则 例例例例4 4 在保险公司里有在保险公司里有2500个同一年龄和同社会个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为率为0.002，每个参加保险的人在，每个参加保险的人在 1月月1日付日付 12 元保险元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元，问下元，问下列事件的概
9、率各为多少？列事件的概率各为多少？(1)保险公司亏本保险公司亏本(2)保险公司获利不少于保险公司获利不少于10000元元(3)保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元元返回(1)保险公司亏本保险公司亏本= (2)保险公司获利不少于保险公司获利不少于10000元元 =(3)保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元元 = 返回例例5 5 设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.解解 设X表示试验次数,X取值为1,2,.,n,., P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p)p, ., P(X=n)=(1-p)n-1p,., 记
10、 q=1-p, 则X的概率分布为:几何分布几何分布P(X=n)=qP(X=n)=qn-1n-1p, (n=1,2,.)p, (n=1,2,.)返回 例例6 一批产品共一批产品共100只，其中有只，其中有10只次品只次品. 求任求任意取出的意取出的5只产品中次品数的概率分布。只产品中次品数的概率分布。解解 设任意取出的设任意取出的5只产品中次品数为只产品中次品数为可能取值为：可能取值为： 0, 1, 2, 3, 4, 5.超几何分布超几何分布一般地，若一集合成员分一般地，若一集合成员分A、B两类，总成员有两类，总成员有N个，其中个，其中A类有类有M个，现从中任取个，现从中任取 n个个,则其中所含
11、则其中所含的的 A 类个数的分布为：类个数的分布为：返回例例7 7 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解解 (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有
12、P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为Y 1 2 3 4P 5/8 15/56 5/56 1/56(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56返回例例8 8 某车间有5台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦.每台机床工作时平均每小时实际开动 20分钟,且每台开动与否相互独立.因电力供应紧张,电力部门仅提供30千瓦的电力给这5台机床.问5台机床正常工作的概率有多大?解解 设A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床数”,则 P(A)=1/3,XB(n,p),其中n=5,p=1/3,所求概率为P(X3)=1-P(
13、X=4)-P(X=5)0.95或P(X3)返回随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义定义 设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P(Xx), x 为随机变量X的分布函数分布函数. (1) 0F(x)1, x, (2)F(x)是x的单调不减函数; (3) (4)F(x)在每一点处均是右连续的,即: F(x+0)=F(x)1. 分布函数分布函数性质性质 返回 (1) F(x)= (3) 对任意ab有 P(aXb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a); P(a Xb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b-0)-F(a-0); P(Xa)=F(a-0); P(Xa)=1-P(Xa)=1-F
14、(a-0). 对于离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数有返回例例9 设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,即: X 0 1 P 0.3 0.7,求X的分布函数.解解 (1) 当x0时,F(x)=P(Xx)=0 (2)当0x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)=0.3 (3)当1x时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=1分布函数图形如下xF(x)110.30所以返回对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2 (1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2) 图形上表现为阶梯形跳跃递增;(3)函数值跳跃高度是X取值区
15、间中新增加点的对应概率值.例例10 设X的分布函数为求X的概率分布.解解 X的取值为 X 0 1 2由此可见由此可见返回例如例如 设某厂生产某产品的规定尺寸为25.40cm,已知某批产品的最小尺寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现从这批产品中任取100件,得到100个测量值.计算得如下数据表: 分组25.235-25.265 25.265-25.295 25.295-25.325 25.325-25.355 25.355-25.385 25.385-25.415 25.415-25.445 25.445-25.475 25.475-25.505 25.505-25.535 25.5
16、35-25.5651 2 5 12 18 25 16 13 4 2 20.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 频数频率2.2 连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数返回25.23525.565产品X尺寸(mm)建立频率柱形图如下:当n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线,此即为随机变量X的概率密度曲线概率密度曲线,以该曲线为图形的函数称为X的概率密度函数概率密度函数.记为Xf(x).返回(1)f(x)0, x;(2) 显然,连续型随机变量的概率密度曲线具有以下性质性质25.235
17、25.565产品X尺寸(mm)返回对于连续型随机变量连续型随机变量X的分布函数的分布函数有(1) (3) F(x)是(-,+)上的连续函数; (4) P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;(2) f(x)=(5) 对任意ab有 P(aXb)= P(a Xb)= P(aXb) = P(a Xb) =F(b)-F(a); P(Xa) =1-P(Xa)=1-F(a). 返回例例1111 设随机变量X求(1)A;(2)P(-1/2X1/2); (3)P(-3X2)解解 (1) 即所以 A=1/A=1,(2)P(-1/2X1/2)=1/(/6+/6)=1/3(3)P(-3X2)=1思考思考: P(-
18、1/2X2)=?返回例例12 设连续型随机变量X满足解解 密度函数曲线如图0 1 3 6 xf(x)S1S2=2/3 表示k点右侧的面积值.由f(x)的几何意义知又由S2=2/3可知返回例例1313 设随机变量X求(1)A;(2)P(-1/2X1/2); (3)F(x)返回例例14 设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A; (2)P(0.3X0.7); (3)X的概率密度f(x).解解 (1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:即:所以, A=1(2) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4(3) f(x)=0 x 02x 0x10 1x即:返回例
19、例15 设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A,B; (2)P(-1X1); (3)X的概率密度f(x).返回常见的连续型随机变量的概率密度常见的连续型随机变量的概率密度(1) (1) 均匀分布均匀分布称X服从a,b上的均匀分布.记为XU(a,b).0 a b xf(x)返回例例16 设随机变量X服从-1,2区间上的均匀分布,求X的分布函数.解解如图:-12分析分析 F(-2)=0-213F(1)=2/3F(3)=1F(1)xf(x)F(3)(1)x-1时,F(x)=0=1(2)-1x3,则P(A)=P(X3)=2/3设Y表示三次独立观测中A出现的次数, 则YB(3,2/3)所求为P(Y2
20、)= P(Y=2)+P(Y=3)=20/27返回(2) (2) 指数分布指数分布则称 X服从参数为的指数分布,记为XE() (0).定义定义若随机变量X的概率密度函数为概率密度曲线如图:xf(x)注注 指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.返回注注 指数分布具有“永远年青”性。即例例1919 设随机变量XE（0.0001）,求x2000的概率。返回称 随机变量 X服从参数为 ,2的正态分布, 0，是任意实数，记为(3) (3) 正态分布正态分布定义定义 若随机变量X的概率密度函数为注注 (1) 概率密度曲线是以x=为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;f(x)x0(2)在x=点f(x)取
21、得最大值:X N(,2)(3) 曲线f(x)与x轴之间的面积是1.返回特别特别若=0,2=1,即则称X服从标准正态分布标准正态分布. .记为XN(0,1)x0注注 标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.返回x0注注 (1) x-x标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数2. 正态分布的分布函数及其计算正态分布的分布函数及其计算(2) P(|X|a)= (a) - (-a) = (a) 1-(a)= 2 (a)-1.返回正态分布的分布函数正态分布的分布函数若XN(,2),则所以所以,若若XN(,2),则对任意的则对任意的ab有有返回例例20 设XN(10,4),求P(10X13), P(
22、|X-10|2).解解 P(10X13)=(1.5)-(0)= 0.4332P(|X-10|2)= P(8X96)=0.023 =1-(96-72)/=1-(24/)所以 ,(24/)=1-0.023=0.97724/=2,故:=12所求P(60XC=PXC则C=（ )2. 设XN(，42),YN(，52),记 p1=PX-4，p2=PY+5则( ) 对任意实数，都有p1=p2 对任意实数，都有p1p23课堂练习课堂练习f(x)x0P(X)P(X)返回3.设XN(，2),则随的增大， 概率P|X-| （ ） 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定4.设X N（2，2),且P2X4=0.3, 则
23、 PX0 =( ).0.2返回离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 定义定义 设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,.,xn,.,且 pn=P(X=xn),n=1,2,.,称此公式为X的概率分布或分布律概率分布或分布律.或者X x1 x2 . xn .P p1 p2 . pn . 性质性质 (1)pn0,n=1,2,. ； (2)p1+p2+.+pn+=1； 计算计算 对ab 有 P(a0)的Possion分布,记为XP().可以证明可以证明 泊松分布作为二项分布的近似(np=).即返回巴斯卡巴斯卡分布分布 在n重贝努里试验中,如果第r次“成功” 出现在第n 次试验中,则几何几何
24、分布分布 在n重贝努里试验中,如果第1次“成功” 出现在第n 次试验中,则超几何分布超几何分布返回(1)f(x)0, x;(2) 性质性质连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数返回随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义定义 设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P(Xx), x 为随机变量X的分布函数分布函数. (1) 0F(x)1, x, (2)F(x)是x的单调不减函数; (3) (4)F(x)在每一点处均是右连续的,即: F(x+0)=F(x)1. 分布函数分布函数性质性质 返回 (1) F(x)= (3) 对任意ab有 P(aXb)=P(Xb)-P(Xa)=F
25、(b)-F(a); P(a Xb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b-0)-F(a-0); P(Xa)=F(a-0); P(Xa)=1-P(Xa)=1-F(a-0). 对于离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数有返回对于连续型随机变量连续型随机变量X的分布函数的分布函数有(1) (3) F(x)是(-,+)上的连续函数; (4) P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;(2) f(x)=(5) 对任意ab有 P(aXb)= P(a Xb)= P(aXb) = P(a Xb) =F(b)-F(a); P(Xa) =1-P(X0).定义定义若随机变量X的概率密度函数为注注 指数分布具有
26、“永远年青”性。即返回(3) (3) 正态分布正态分布定义定义注注 (1) 概率密度曲线是以x=为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;f(x)x0(2)在x=点f(x)取得最大值:X N(,2)(3) 曲线f(x)与x轴之间的面积是1.返回若=0,2=1,即标准正态分布标准正态分布. . XN(0,1)x0注注 标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.返回x0注注 (1) x-x标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数2. 正态分布的分布函数及其计算正态分布的分布函数及其计算(2) P(|X|a)= (a) - (-a) = (a) 1-(a)= 2 (a)-1.返回正态分布的分布
27、函数正态分布的分布函数若XN(,2),则所以所以,若若XN(,2),则对任意的则对任意的ab有有返回离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布:例例23 设随机变量X的概率分布如下,Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布.X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4解解 (1)Y的对应取值为-1,1,3,5,P(Y=-1)=P(2X+1=-1)=P(X=-1)=0.2P(Y=1)=P(X=0)=0.3, P(Y=3)=P(X=1)=0.1, P(Y=5)=P(X=2)=0.4,所以Y的概率分布为Y -1 1 3 5P 0.2 0.3 0.1 0.4(2)Z的取值为0
28、,1,4,P(Z=0)=P(X=0)=0.3,P(Z=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3,P(Z=4)=P(X=2)=0.4Z 0 1 4P 0.3 0.3 0.4所以Z的概率分布为:2.3. 随机变量函数的分布随机变量函数的分布返回注意注意离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求:(1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,.,yn,.;(2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.X x1 x2 . xn .g(X) g(x1) g(x2) g(xn) P p1 p2 . pn . 返回例例24 设随机变量X,Y=2X+1,求随机变量Y的概率密度函数f
29、Y(y).解解 (1)求求Y的分布函数的分布函数FY(y):FY(y)=P(Yy)=FX(P(2X+1y) =P(X(2)对分布函数求导对分布函数求导:f Y(y)=,利用复合函数求导链式法则得:f Y(y)=将fX(x)代入得:f Y(y)=连续型随机变量函数的概率密度函数连续型随机变量函数的概率密度函数返回进一步可以推广得到以下结果：定理定理1 设XfX(x),y=g(x)是x的单调可导函数,其导数不为0,值域为(a,b),-ab+,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,则Y=g(X)的概率密度函数为:FY(y)=P(Yy)=f Y(y)=设y=g(x)返回特别特别:对随机变量对随机变量X
30、的线性函数有以下定理的线性函数有以下定理,定理定理2 设随机变量XFX(x),Y=kX+b(k0),则Y的概率密度为例如例如 设X为连续型随机变量,XFX(x),Y= -4X+3, 则Y的密度函数为返回例例25 设XN(,2),则YN(0,1).证明证明所以 YN(0,1)返回返回返回第第2 2章章 一维随机变量及分布一维随机变量及分布补充例子补充例子返回1.离散型随机变量的分布函数为 0.32.已知随机变量X只能取-1、0、1、2四个值,其相应的概率依次为c,2c,3c,4c.求:（1）常数c；Y 0 1 4P 0.2 0.4 0.4.返回4.当随机变量（）5已知随机变量X的概率密度为求:1) A;2) 分布函数; 3)概率P(-1/2X1/2).1)A=2;2) 分布函数3)概率P(-1/2X1/2)=1/4 .返回6.已知X的分布函数为7.设随机变量X的密度f(X)满足f(x)=f(-x),分布函数F(x)满足（）返回8:设随机变量的分布函数为求：（1）A；（2）X的概率密度；（3） 。
