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1、第第五五章章 留留数数1孤立奇点孤立奇点2.留数留数3.留数在定积分计算留数在定积分计算上的应用上的应用 1. 定义定义例如例如-z=0为孤立奇点为孤立奇点-z=1为孤立奇点为孤立奇点定义定义孤立奇点的充要条件xyo这说明这说明奇点未奇点未必是孤立的必是孤立的。-z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇点奇点奇点=孤立奇点？2. 分类分类以下将以下将f (z)在在孤立奇点的邻域孤立奇点的邻域内展成内展成洛朗级数洛朗级数，根，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。特点：特点：没有负幂次项没有负幂次项特点：特点：只有有限多个负幂次项
2、只有有限多个负幂次项特点：特点：有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项注意前提定义定义 设设z0是是f (z)的一个孤立奇点，在的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域的去心邻域内，内， 若若f (z)的洛朗级数的洛朗级数没有负幂次项，称没有负幂次项，称z=z0为为可去奇点可去奇点;只有有限多个负幂次项，称只有有限多个负幂次项，称z=z0为为m 级极点级极点;有无穷多个负幂次项，称有无穷多个负幂次项，称z=z0为为本性奇点本性奇点。例：可去奇点一级极点本性奇点3. 性质性质若若z0为为f (z)的的可去奇点可去奇点 若若z0为为f (z)的的m (m 1) 级极点级极点例如：例如：z=1为为f (z)
3、的一个三级极点，的一个三级极点， z= i为为f (z)的一级极点。的一级极点。 若若z0为为f (z)的的本性奇点本性奇点例如：例如：z=0为为f (z)的本性奇点的本性奇点综上所述综上所述4. 零点与极点的关系零点与极点的关系定义定义 不恒等于不恒等于0的解析函数的解析函数f (z)如果能表示成如果能表示成 则称则称z=z0为为f (z) 的的m 级零点级零点。例如：例如：定理定理事实上，事实上，例如例如定理定理:证明证明“”若若z0为为f (z)的的m 级极点级极点利用零点与极点的关系判断极点解解显然，显然，z= i 是是(1+z2)的一级零点的一级零点练习：对 讨论函数 在 处的性态,
4、m1。解：5. 函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态定义定义研究方法第第五五章章 留留数数1孤立奇点孤立奇点2.留数留数3.留数在定积分计算留数在定积分计算上的应用上的应用洛朗级数在计算闭路积分中的应用洛朗级数在计算闭路积分中的应用定义定义设设 z0 为为 f (z) 的孤立奇点，的孤立奇点， f (z) 在在 z0 邻域内邻域内的洛朗级数中负幂次项的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数的系数 c1 称为称为f (z)在在 z0 的的留数留数，记作，记作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0)。由留数定义由留数定义, Res f (z), z0= c1 (1)1.
5、留数的定义留数的定义2. 留数定理留数定理定理定理证明证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：由复合闭路定理得：用用2 i 除上式两边得除上式两边得:A 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分，归之为求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数。奇点的留数。 留数定理留数定理 孤立奇点孤立奇点复合闭路定理复合闭路定理洛朗展开洛朗展开 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用将是采用将 f (z) 在在 z0 邻域内邻域内展开成洛朗级数求系数展开成洛朗级数求系数 c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。奇点的类型，对求留数更为有利。以下就三类孤立奇点
6、进行讨论：以下就三类孤立奇点进行讨论：3. 留数的计算规则留数的计算规则规则规则I规则规则II事实上，事实上，由条件由条件A当当m=1时，式时，式(5)即为式即为式(4).规则规则IIIP156例例1解解例例2解解例例3解解例例4解解故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。数，不要死套规则。如如是是f (z)的三级极点的三级极点。注意点：-该方法较规则该方法较规则II更简单！更简单！p159奇点的类型m 阶极点本性奇点一阶极点可去奇点普遍公式奇点留数计算公式总结：奇点留数计算公式总结：4. 在无穷远点的留数在
7、无穷远点的留数定义定义 设函数设函数f( (z) )在圆环域在圆环域R|z| 内解析内解析, ,C为圆环域内为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线绕原点的任何一条简单闭曲线, ,则积分则积分的值与的值与C无关无关, 称其为称其为f (z)在在 点的留数点的留数, 记作记作f(z)在圆环域在圆环域R|z| 内解析：内解析： 理解为圆环域内绕理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。 这就是说，这就是说，f(z)在在 点的留数等于它在点的留数等于它在 点的去心邻域点的去心邻域R|z|+ 内洛朗展开式中内洛朗展开式中z-1 的系数变号的系数变号.定理定理 如果如果f(z)在扩充复平
8、面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末那末f(z)在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数总和必等于零的留数总和必等于零.证证：除：除 点外点外,设设f(z)的有限个奇点为的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 且且C为为一条绕原点的并将一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简包含在它内部的正向简单闭曲线单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有有规则规则IVn n判断z = 是f(z)的奇点类型的方法n n计算f(z)在孤立奇点z = 的留数的方法P162 例4，例5第第五五章章 留留数数1
9、 孤立奇点孤立奇点2 留数留数3 留数在定积分计算留数在定积分计算上的应用上的应用 一、形如 的积分 二、形如 的积分三、形如 的积分一、形如一、形如 的积的积分分思想方法思想方法 :封闭路线的积分封闭路线的积分 .两个重要工作两个重要工作:1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条形如形如当当历经变程历经变程时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿沿单位圆周单位圆周z的有理函数的有理函数 , 且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围在单位圆周包
10、围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.例例1 计算积分计算积分解解则则例例2 计算计算解解 令令极点为极点为 :(在单位圆内在单位圆内)(在单位圆外在单位圆外)若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子的分母至少比分子高两次高两次, 并且并且分母在实轴上无孤立奇点，积分存在分母在实轴上无孤立奇点，积分存在.一般设一般设分析分析可先讨论可先讨论最后令最后令即可即可 .二、形如二、形如 的积分的积分2. 2. 积分区域的转化积分区域的转化: :取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线, 并使并使R(z)在其
11、内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1. 1. 被积函数的转化被积函数的转化: :(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) 可取可取 f(z)=R(z) .xy.这里可补线这里可补线(以原点为中心以原点为中心 , R为半径为半径的在的在上半平面的半圆周上半平面的半圆周)与与一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C , R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大, 使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点都包在
12、这积分路线内都包在这积分路线内.根据留数定理得根据留数定理得 :当当 充分大时充分大时, 总可使总可使例例3 计算积分计算积分解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点一级极点一级极点xy.积分存在要求积分存在要求: R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次, 并且并且R(z)在实轴上在实轴上无孤立奇点无孤立奇点.与与曲线曲线C ,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内包在这积分路线内 .同前一型同前一型: 补线补线一起构成封闭一起构成封闭都都三、形如三、形如 的积分的积分对于充分大的对于充分大的 , 且且 时时, 有有从而从而由留数定理由留数定理:例例4 计算积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.
