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1、第8讲轨迹与方程考纲要求考点分布考情风向标1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程.2.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程2011年新课标卷以求三角形的面积为背景，考查抛物线的方程与几何性质；2013年新课标卷考查椭圆方程的求法(定义法)；2014年新课标卷考查求椭圆的轨迹方程求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力.备考时要关注以下几点：(1)能够利用定义或待定系数法求椭圆、双曲线及抛物线的方程.(2)能够利用相关点法、参数法等求动点的轨迹方程求轨迹方程的常用方法直接法待定系数法定义法相关点法参数法将动点满
2、足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程已知所求曲线的类型，求曲线方程.先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，则用定义直接探求动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得到普通方程1.已知ABC的顶点B(0,0)，C(
3、5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_.2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在原点 O，且过点 P(2,4)，则该抛物线的方程是_.3.动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x20 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为_.(x10)2y236(y0)y28xy28x4.设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则)圆 C 的圆心轨迹为(A.抛物线C.椭圆 B.双曲线D.圆A考点 1 利用直接法求轨迹方程例 1：如图 781，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的直线CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂
4、直的直线 CB 与 y轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程.图 781解：方法一(直接法)：设点M的坐标为(x0，y0)，则点A的坐标为(2x0,0)，点B的坐标为(0,2y0)，因为直线 CA 垂直于直线 CB，化简，得x0y020.所以点 M 的轨迹方程为 xy20.方法二(参数法)：若CAx 轴，则CBy 轴，故A 为(2,0)，B 为(0,2)，所以 M 为(1,1).若 CA 不垂直 x 轴，则设直线 CA 的方程为 y2k(x2)，两式相加，得x0y02，即x0y020(x01).又(1,1)在直线x0y020上，所以点M的轨迹方程为xy20.到点 C
5、，O 的距离相等，故点 M 在线段 OC 的垂直平分线上.又线段 OC 的垂直平分线过 OC 中点(1,1)，斜率 k1，即 y1(x1)，化简，得 xy20.所以点 M 的轨迹方程为 xy20.【规律方法】求轨迹的步骤是“建系、设点、列式、化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系.【互动探究】1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_.考点 2 利用定义法求轨迹方程图D39例2：已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆
6、心M的轨迹方程.解：如图D39，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.【规律方法】本题考查了双曲线的定义，可以利用相同方法解决以下变式：【互动探究】2.已知动圆M与圆C1：(x3)2y264内切，与圆C2：(x3)2y24外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解：设动圆M的半径为r，根据两圆相切的充要条件，得|MC1|8r，|MC2|2r.所以|MC2|MC1|10.这表明动点M到两定点C2，C1的距离
7、之和是常数10.根据椭圆的定义，动点M的轨迹为椭圆，即2a10，a5.又|C1C2|62c，则c3，b2a2c216.3.已知动圆M过定点A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，则动圆圆心M的轨迹方程为_. 解析：设动圆M 半径为r，根据两圆相切的充要条件，得|MB|8r，|MA|r，所以|MA|MB|8.这表明动点M 到两定点C2，C1的距离之和是常数8，根据椭圆的定义，动点M的轨迹为椭圆，这里a4，c3，则b27，设点M的坐标为(x，考点 3 利用相关点法求轨迹方程例3：已知点A在圆x2y216上移动，点P为连接M(8,0)和点 A 的线段的中点，求点 P 的轨迹方程.【规律方
8、法】动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线方程得出要求的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫相关点法(也叫转移法).【互动探究】4.设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹方程.思想与方法轨迹方程中的分类讨论例题：(2014年广东汕头一模，由人教版选修11P35例3改编)已知动点 P(x，y)与两个定点 M(1,0)，N(1,0)的连线的斜率之积等于常数(0).(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)试根
9、据的取值情况讨论轨迹 C 的形状.解：(1)由题设知，PM，PN 的斜率存在且不为 0，(2)讨论如下：当0 时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；当10 时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴上的两个端点)；当1 时，轨迹C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)；当1 时，轨迹C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴上的两个端点).【互动探究】解：设点 M 的坐标为(x，y)，6.设点 A，B 的坐标分别为(5,0)，(5,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是1，求点 M 的轨迹方程.解：设点 M 的坐标为(x，y)，解：设点 M 的坐标为(x，y)，能用定义法求轨迹方程可以减少大量的运算，因此对椭圆、双曲线、抛物线的定义要理解透彻；利用参数法求轨迹方程要注意参数的范围，要注意转化的等价性.
