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1、信号与系信号与系统B第四章 傅里叶变换和系统的频域分析第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 4.8 取样定理取样定理点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1
2、4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而可分解为一系列冲激函数；而yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任为基本信号，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和。数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。 矢量矢量Vx =
3、( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以，可以用一个三维正交矢量集用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组
4、合分量的线性组合表示。即表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，空间，在信号空间找到若干个在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 (两函数的内积为两函数的内积为0)则称
5、则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)（0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集
6、。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在是两组典型的在区间区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。( i =1，2，n)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C
7、1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为 即即 所以系数所以系数4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正
8、交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集）时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有，均方误差为零。此时有 上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。交分量能量的总和。 函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数
9、傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数条件时，它可分解为如下三角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数式中，式中，A0 = a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，其中， A0/
10、2为为直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原，它的角频率与原周期信号相同；周期信号相同； A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 . .
11、f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn =0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an =0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分，即分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2)此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数
12、中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式写为则上式写为 令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 所以所以4.2 4
13、.2 傅里叶级数傅里叶级数令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 n = 0, 1, 2， 表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 n0时，时， |Fn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功
14、率为4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化随信号频率变化的关系，称为的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振
15、幅频谱图和和相位频谱相位频谱图图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 。4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。的周期的周
16、期T1 = 8的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为举例：有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉
17、冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱, n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。画图。零点为零点为所以所以，m为整数。为整数。特点特点： (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置性。谱线位置是基频是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形
18、参数的关系：(a) T一定，一定， 变小，此时变小，此时 （谱线间隔）不变。两零点之（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：间的谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。于无穷小。 4.4
19、4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令
20、概念。令 (单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而同时，同时， 于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j) = F f(
21、t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 说明说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.单边指数函数单边指数函数f(t) = e t(t)， 0实数实数2. 双边指数函数双边指数函数f(t) =
22、et , 0 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)4. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的
23、。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f (t)=e- -t ， 0 所以所以又又因此，因此， 1212( ( ) ) 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有将将 t t，tt- - 再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得6. 符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换7. 阶跃函数阶跃函数 (t)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常
24、用函数 F 变换对：变换对：(t)(t) e - - t (t) g(t) sgn (t) e |t| 1 12()4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?Ans: f (t) =
25、 f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()- -4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、奇偶性二、奇偶性(Parity)如果如果 f(t) 是是 实函数实函数, 则则= R() + jX()则：则：(1)R()= R( ) , X() = X ( ) |F(j)| = |F( j)| , () = ( )(2) 如果如果f(t) = f(-t) ,则则 X() = 0, F(j) = R() 如果如果f(t) = -f(-t) ,则则 R() = 0, F(j) = jX()4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里
26、叶变换的性质三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:（1）in (1) t ，t then （2）in (2) - - then F(j t) 2f () endF( jt ) 2f ()4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?Ans:if =1,* ifF(j) = ?4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)若若 f (t) F(j) 则则 A为实常数（为实常数（a 0）.证
27、明证明:F f (a t ) =若若 a 0 ,F f (a t ) 若若 a 0 ,F f (a t ) 所以所以,f (a t ) 特例：特例： a = - -1,f (- t ) F( - -j) 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例1f(t) = F(j) = ?解解:利用对称性利用对称性,利用尺度变换，令利用尺度变换，令a = - -1,所以所以,4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、时移性质五、时移性质(Timeshifting Property)如果如果 f (t) F(j) ，则，则 “t0” 实常数实常数.证明证明: F f (t t0 ) 4.
28、5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例1：F(j) = ?解解: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =+4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例2已知已知f (t)F( j), 求求 f (at b) ?解解: f (t b)e - -jb F( j)f (at b) 或或f (at) f (at b) =4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)若若 f (t) F(j) 则则证明证明:“0”
29、 是实常数是实常数.F e j0t f(t)= F j(- -0)例例1f(t) = ej3t F(j) = ?解解: 1 2() ej3t 1 2(- -3)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例2f(t) = cos0t F(j) = ?解解:F(j) = (+0)+ (- -0)例例3已知：已知：f(t) F(j) 调制信号调制信号f(t) cos0t ? 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积性质七、卷积性质(Convolution Property)时域卷积：时域卷积：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)则则 f1(t)*f2(t)
30、F1(j)F2(j)频域卷积：频域卷积：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)则则 f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质证明证明: F f1(t)*f2(t) =利用时移特性：利用时移特性：所以所以, F f1(t)*f2(t) = F1(j)F2(j)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例1：解解:利用对称性利用对称性,4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)若若
31、 f (t) F(j) 则则 证明证明:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)= 1/t2 ?For example 1解解:4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例2 求波形的频谱求波形的频谱解解:f ” ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ” ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =注意注意:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变
32、换的性质例例3已知已知f (t) F1(j)证明证明f (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )证明：证明：所所以以结论结论: 若若 f (n)(t) Fn(j)， f(-)+ f() = 0 则则 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)若若 f (t) F(j) 则则 频域微分频域微分(jt)n f (t) F(n)(j) 频域积分频域积分例例1求求 f (t) = t(t) F
33、 (j)=?Ans:4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质讨论讨论: t(t) =(t) * (t) 错误错误. 因为因为 ( ) ( ) and (1/j ) ( ) 未定义未定义.例例2求解求解Ans:一、帕斯瓦尔关系一、帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)证明证明|F(j)|2 称为称为f(t)的的能量密度谱能量密度谱（单位频率上的信号能量）（单位频率上的信号能量）4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱例例1求信号能量求信号能量解解:4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶
34、变换周期信号的傅里叶变换4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2( 0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) ( 0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= 解解：(1)4.6 4.6
35、 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作也可看作一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) F(j) =本题本题 f0(t) = g2(t)(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较，得式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里
36、叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。率的虚指数函数之和。对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为 ej t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为( ，)，而，而t= 总可认为系统的状态为总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态，因此本章的响应指零状态响应，常写为响应，常写为y(t)。 4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激
37、励是角频率，当激励是角频率的基本的基本信号信号ej t时，其响应时，其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。，常称为系统的频率响应函数。y(t) = H(j ) ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j ) ej tF(j ) ej t d F(j )H(j ) ej t d 齐次齐次性性可加可加性性f(t
38、)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析频率响应频率响应H(j )可定义为系统零状态响应的傅里叶变可定义为系统零状态响应的傅里叶变换换Y(j )与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )之比，即之比，即 H(j ) 称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；( ) )称为称为相相频特性频特性（或（或相频响应相频响应）。）。 H(j ) 是是 的偶函数，的偶函数，( )是是 的奇函数。的奇函数。 频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法4.7 LTI4.7 LT
39、I系统的频域分析系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号周期信号若若则可推导出则可推导出4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析例例：某：某LTI系统的系统的 H(j ) 和和( ) )如图，如图，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。，求系统的响应。解法一解法一：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(
40、10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j ) ej(ej( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析解法二解法二：用三角傅里叶级数：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)4.7 L
41、TI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析三、频率响应三、频率响应H(jH(j ) )的求法的求法1. H(j ) = F h(t) 2. H(j ) = Y(j )/F(j )(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。由电路直接求出。 例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分
42、析系统的频域分析f(t) = e-t(t)Y(j ) = H(j )F(j )y(t) = (e- -t e- -2t )(t) 例例2：如图电路，：如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。解解：画电路频域模型：画电路频域模型h(t)= e- -t (t) 4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的信号的传输传输，一类是，一类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的
43、成分，必然伴随着失真。波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输、无失真传输 （1）定义定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与是指系统的输出信号与输入信号相比，只有输入信号相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不出现时间的先后不同同，而没有波形上的变化。即，而没有波形上的变化。即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(ttd) 其频谱关系为其频谱关系为 Y(j )=Ke j tdF(j ) 4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析系统要实现无失真传输，对
44、系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j )的要求是：的要求是： (a)对对h(t)的要求的要求： h(t)=K (t td) (b)对对H(j )的要求的要求： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td即即 H(j ) =K ,( )= td 上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。当传输有限带宽条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。相频特性满足以上条件即可。 (2)无失真传输条件无失真传输条件：4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分
45、析例例：系统的幅频特性：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信所示，则下列信号通过该系统时，不号通过该系统时，不产生失真的是产生失真的是(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性具有如图所示幅频、相频特性的系统称为的系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。 c称为截止角频率。称为截止
46、角频率。 理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应可写为：可写为： (1)冲激响应冲激响应 h(t)= - -1g 2 c( )e)e-j-j t td d =可见，它实际上是不可实现的非因果系统。可见，它实际上是不可实现的非因果系统。4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析(2)阶跃响应阶跃响应 g(t)=h(t)* (t)= 经推导，可得经推导，可得称为正弦积分称为正弦积分特点特点：有明显失真，只要：有明显失真，只要 c，则必有振荡，其过冲，则必有振荡，其过冲比稳态值高约比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为象称为吉布
47、斯现象吉布斯现象。gmax=0.5+Si()/=1.08954.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就就时域特性时域特性而言，一个而言，一个物理可实现的系统物理可实现的系统，其冲激，其冲激响应在响应在t0时必须为时必须为0，即，即 h(t)=0 ,t0 即即 响应不应在激励作用之前出现响应不应在激励作用之前出现。 就就频域特性频域特性来说，佩利（来说，佩利（Paley)和维纳（和维纳（Wiener)证证明了物理可实现的幅频特性必须满足明了物理可实现的幅频特性必须满足 并且并且称为称为佩利佩利-维纳准则维纳准则。（。（必要条件必要条
48、件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带，但不能在某个有限频带内为内为0。 4.8 4.8 取样定理取样定理4.8 4.8 取样定理取样定理 取样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用全可以用离散样本值离散样本值表示。这些样本值包含了该连续表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了在连
49、续信号与离散信号之间架起了一座桥梁一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。为其互为转换提供了理论依据。 一、信号的取样一、信号的取样 所谓所谓“取样取样”就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信从连续信号号f(t)中中“抽取抽取”一系列一系列离散样本值离散样本值的过程。的过程。 这样得到的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号。 4.8 4.8 取样定理取样定理如图一连续信号如图一连续信号f(t)用取样脉冲序列用取样脉冲序列s(t)(开关函数开关函数）进行取样，进行取样，取样间隔取样间隔为为TS，fS =1/TS称为称为取样频率取样频率。得取样信号得取样信号 fS(t
50、) = f(t)s(t)取样信号取样信号fS(t)的频谱函数为的频谱函数为 FS(j )=(1/2 )F(j )*S(j )4.8 4.8 取样定理取样定理冲激取样冲激取样 若若s(t)是周期为是周期为Ts的冲激函数序列的冲激函数序列 Ts(t),则称为则称为冲激取样冲激取样。 如果如果f(t) 是是带限信号带限信号 即即f(t)的频谱只在区间的频谱只在区间（- - m， m)为有限值，而其余区间为为有限值，而其余区间为0 。 设设f(t)F(j )，取样信号，取样信号fS(t)的频谱函数的频谱函数 FS(j )= (1/2 )F(j )* S s() S =2/TSs(t)=s(t)= Ts
51、(t) S s() 4.8 4.8 取样定理取样定理=*=上面在画取样信号上面在画取样信号fS(t)的频谱时，设定的频谱时，设定S 22m , ,这时这时其频谱其频谱不发生混叠不发生混叠，因此能设法，因此能设法( (如利用低通滤波器如利用低通滤波器) )，从从FS(j )中取出中取出F(j )，即，即从从fS(t)中恢复原信号中恢复原信号f(t)。否则。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。将发生混叠，而无法恢复原信号。4.8 4.8 取样定理取样定理二、时域取样定理二、时域取样定理当当S 22m 时，将取样信号通过下面的低通滤波器时，将取样信号通过下面的低通滤波器其截止角频率其截止角频率C取取m
52、 C S - -m 。即可恢复原信。即可恢复原信号。号。由于由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t) H(j ) h(t) =为方便，选为方便，选C = 0.5= 0.5S , ,则则TsTsC /=1 /=1 4.8 4.8 取样定理取样定理所以所以根据根据f(t)=fS(t)*h(t) ，有，有只要已知各取样值只要已知各取样值f(nTs),就出唯一地确定出原信号就出唯一地确定出原信号f(t)。 时域取样定理时域取样定理： 一个频谱在区间（一个频谱在区间（- m， m)以外为以外为0的带限信号的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts2fm，或者说，
53、或者说，取样间隔不能太大，必须取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm);否则将否则将发生混叠。发生混叠。 通常把最低允许的取样频率通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为称为奈奎斯特奈奎斯特（Nyquist)频率频率，把最大允许的取样间隔，把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为称为奈奎斯特间隔。奈奎斯特间隔。 频域取样定理频域取样定理：根据根据时域与频域的对偶性时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。，可推出频域取样定理。P191 一个在时域区间（一个在时域区间（- -tm,tm)以外为以外为0的的时限信号时限信号f(t)的频谱的频谱函数函数F(j )，可唯一地由其在均匀频率间隔，可唯一地由其在均匀频率间隔fsfs1/(2tm)上上的样值点的样值点F(jn s)确定。确定。 4.8 4.8 取样定理取样定理同学们同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们同学们来学校和回家的路上要注意安全
