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1、9.3 全微分全微分教学要求教学要求：理解理解多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；会会求函求函数的全微分；数的全微分；了解了解多元函数可微的必要条件和充多元函数可微的必要条件和充分条件分条件. .全微分及其应用由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义一元一元: y = f(x+ x) - f(x) = f (x) x+ ( x)线性主部线性主部, dy增量增量全微分及其应用一元函数一元函数 y = f (x) 的微分概念：的微分概念：若函数的增量：若函数的增量：能表示为：能表示为：则称函数则称函数 y = f (x) 在点
2、在点 x 处是可微的，并称处是可微的，并称 为函数的微分为函数的微分当当例如：例如：存在时，存在时，全微分及其应用考虑边长分别为考虑边长分别为 x 和和 y 的矩形的面积：的矩形的面积：当两边长分别取得增量当两边长分别取得增量 和和 时的改变量时的改变量 第一部分第一部分是是 的线性函数的线性函数 第二部分第二部分全微分及其应用 第一部分第一部分是是 的线性函数的线性函数 第二部分第二部分全微分及其应用全增量的概念全增量的概念全微分及其应用全微分的定义全微分的定义全微分及其应用事实上事实上可微与连续的关系可微与连续的关系全微分及其应用二、可微的条件二、可微的条件全微分及其应用总成立总成立,同理
3、可得同理可得证明：证明：因为因为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 可微，可微，故故全微分及其应用所以，当函数可微时，全微分可写成所以，当函数可微时，全微分可写成 若分别取若分别取 z = x 和和 z = y ，则，则叠加原理：叠加原理：二元函数的二元函数的全微分全微分等于它的两个等于它的两个偏偏 微分之和微分之和。全微分及其应用叠加原理：叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。微分之和。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。如设如设 u = f ( x , y , z ) 则
4、则有有（1）对于一元函数，可微）对于一元函数，可微 可导；可导；几点说明：几点说明：（2）对于多元函数，可微一定连续，）对于多元函数，可微一定连续，（3）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，问题问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一对于多元函数，偏导数存在，函数是否一 定可微？定可微？ 全微分及其应用一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在？例如，例如，全微分及其应用则则当当 时，时，全微分及其应用说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全说明：多元函数
5、的各偏导数存在并不能保证全 微分存在微分存在.证证全微分及其应用（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）全微分及其应用同理同理全微分及其应用解解所以全微分所以全微分全微分及其应用解解全微分及其应用例例3求函数求函数的偏导数和全微分的偏导数和全微分.解解全微分及其应用解解全微分及其应用全微分及其应用证证令令则则同理同理全微分及其应用不存在不存在.全微分及其应用全微分及其应用多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导全微分及其应用全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成全微分及其应用计算计算的近似值的近似值. .解解设函数设函数取取由二元函数全微分近似计算公式得由二元函数全微分近似计算公式得例例 5全微分及其应用、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结全微分及其应用思考题思考题全微分及其应用作业：习题作业：习题9-3: 1(1, 3), 2, 3全微分及其应用
